Metody numerycznego znajdowania miejsc zerowych funkcji jednej zmiennej Metody nieinkluzyjne: Metoda iteracji prostej. Metoda stycznych (Newtona). Metoda siecznych Metody inkluzyjne: Metoda połowienia (bisekcji). Metoda fałszywej linii (regula falsi). Metoda Pegaza. Metody znajdowania zer wielomianów

y x x* jest pierwiastkiem pojedynczym x* jest pierwiastkiem wielokrotnym rzędu n Pierwiastek wielokrotny nieparzystego rzędu y Pierwiastek wielokrotny parzystego rzędu Pierwiastek pojedynczy x* x* x* x

Twierdzenia. 1. Niech fÎCn[a,b]. Wtedy x*Î[a,b] jest pierwiastkiem n- krotnym f wtedy i tylko wtedy gdy f(x*)=f’(x*)=...=f(n-1)(x*)=0 i f(n)(x*)¹0. 2. Jeżeli x* jest pierwiastkiem n-krotnym f i f jest odpowiednio wysokiej klasy to x* jest pierwiastkiem pojedynczym funkcji g(x)=f(x)/f’(x). 3. Jeżeli f jest ciągła w [a,b] i f(a)f(b)<0 to f ma przynajmniej jeden pierwiastek w [a,b] (twierdzenie Bolzano).

Ogólny schemat metod iteracyjnego znajdowania zer funkcji Przekształcamy równanie f(x)=0 do postaci x=f(x) poprzez podstawienie f(x)=x-g(x)f(x) gdzie g jest funkcją ciągłą i g¹0. Punkt x* taki, że równanie jest spełnione nazywa się punktem stałym. Często postać x=f(x) równania jest jego postacią „naturalną”; wtedy mówimy o metodzie iteracji prostej (przykład z mechaniki kwantowej: SCF). 2. Tworzymy ciąg kolejnych przybliżeń x(0),x(1),...,x(p),... (w założeniu zbieżny do x*) taki, że x(p+1)=f(x(p)) gdzie x(0) jest przybliżeniem początkowym. Taka procedura jest nazywana procedurą iteracyjną a funkcja f funkcją iteracyjną. 3. Procedurę iteracyjną kończymy jeżeli kolejne przybliżenia x* różnią się odpowiednio mało (zbieżność) lub wykonaliśmy maksymalną zadaną liczbę kroków (brak zbieżności).

Twierdzenie o istnieniu punktu stałego: Równania x=f(x) posiada przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale I=[a,b], jeżeli f jest funkcją ciągłą w I, f(x)ÎI dla wszystkich x ÎI. Twierdzenie o jednoznaczności punktu stałego: Równanie x=f(x) posiada co najwyżej jedno rozwiązanie w przedziale I jeżeli pierwsza pochodna f jest w tym przedziale ograniczona w sensie Lipschitza, tj. istnieje taka stała L, że dla każdego x1 i x2 z przedziału I mamy |f’(x1)-f’(x2)|£L|x1-x2|, 0<L<1 Jeżeli f spełnia warunki zawarte w obu twierdzeniach, to równanie x=f(x) ma jedno i tylko jedno rozwiązania w I (istnienie i jednoznaczność).

y y x x y y x x Zbieżność jednostajna (0<f’(x)<1) x(2) x(1) x(0) Rozbieżność (|f’(x)|>1) Zbieżność oscylacyjna (0>f’(x)>-1) y y x(2) x(0) x(1) x x(0) x(2) x(1) x

Metoda iteracyjna ma rząd zbieżności r, jeżeli Numeryczne szacowanie rzędu zbieżności dla odpowiednio dużych p. Metoda iteracji prostej jest na ogół rzędu pierwszego.

Metoda Newtona (metoda Newtona-Raphsona, metoda stycznych) x(0) x(1) x(2) x Metoda Newtona jest zawsze zbieżna dla funkcji wypukłych i monotonicznych (f’(x)¹0 i f’’’(x)>0 dla każdego x) Metoda Newtona jest zbieżna kwadratowo dla pierwiastków pojedynczych a liniowo dla pierwiastków wielokrotnych.

Tłumiona metoda Newtona (pewniejsza zbieżność) k jest najmniejszą liczbą całkowitą nieujemną taką, że Zmodyfikowana metoda Newtona do znajdowania pierwiastków wielokrotnych jeżeli znamy rząd pierwiastka (r). jeżeli nie znamy rzędu pierwiastka. W tym przypadku oryginalne równanie f(x)=0 zastępujemy równaniem f(x)/f’(x)=0.

Metoda siecznych (nazywana również metodą regula falsi) x(2) x(0) x(1) x Rząd zbieżności metody siecznych wynosi Metoda siecznych nie musi być zawsze zbieżna. Dla pierwiastków wielokrotnych f(x) zastępujemy przez

Metoda fałszywej linii (regula falsi) (nazywana również uproszczoną metodą regula falsi) Start z x(0) i x(1) takich, że f(x(0))f(x(1))<0 (funkcja ma różne znaki). Do obliczenia następnego x stosujemy zmodyfikowany wzór metody siecznych gdzie q jest największą liczbą całkowitą nie większą niż p-2 taką, że f(x(p))f(x(q))<0 (tj. funkcja ma różne znaki w x(p) i x(q) a zatem pierwiastek musi zawierać się w przedziale [x(p),x(q)] jeżeli funkcja jest ciągła Metoda ma gwarantowaną zbieżność dla funkcji ciągłych ale jej rząd w ogólności wynosi 1 (wolna zbieżność).

Metoda Pegaza – ilustracja graficzna y f(1)+f(2) f(2) f(1) x(0) x(2) x(1) x f*(0) f(0)

Metoda Pegaza - algorytm Startujemy jak w metodzie fałszywej linii z takich x(0) i x(1), że f(x(0))f(x(1))<0. Obliczamy punkt x(2) zgodnie z algorytmem metody siecznych. Jeżeli |f(x(2))|<e, kończymy proces iteracyjny. Jeżeli f(x(1))f(x(2))<0 (pierwiastek leży pomiędzy x(1) i x(2)) wstawiamy x(0)=x(1) i x(1)=x(2) i przechodzimy do następnego kroku. Jeżeli f(x(0))f(x(2))<0 (pierwiastek leży pomiędzy x(0) i x(2)) zastępujemy we wzorze metody siecznych f(0) przez f*(0)=f(0)f(2)/(f(1)+f(2)), wyliczamy x(2) jeszcze raz i wstawiamy x(1)=x(2). Sprawdzamy, czy |x(2)-x(1)|<e. Jeżeli tak, to za rozwiązanie przyjmujemy x(1), jeżeli f(x(1))<f(x(2)) a x(2) w przeciwnym przypadku. Rząd zbieżności metody Pegaza wynosi 1.642.

Metoda połowienia (bisekcji) y x(0) x(2) x(1) x Startujemy z takich x(0) i x(1), że f(x(0))f(x(1))<0. Obliczamy x(2)=(x(0)+x(1))/2. Jeżeli |f(x(2))|<e kończymy proces iteracyjny. Jeżeli f(x(0))f(x(2))<0 wstawiamy x(1)=x(2), w przeciwnym przypadku x(0)=x(1), x(1)=x(2). Metoda bisekcji jest rzędu pierwszego.

Inne metody znajdowania zer Metoda Andersona-Björcka (rząd zbieżności od 1.682 do 1.710, inkluzyjna) – jak metoda Pegaza ale z inną formułą obliczania f*(0); f*(0)=f(0)(1-f(2)/f(1)) jeżeli 1-f(2)/f(2)>0 i f(0)/2 w przeciwnym przypadku. Metoda Kinga (rząd zbieżności od 1.710 do 1.732, inkluzyjna) – w odróżnieniu od metody Pegaza po każdej iteracji metody siecznych następuje iteracja z modyfikacją f(0). Metoda Andersona-Björcka-Kinga (rząd zbieżności od 1.710 do 1.732, inkluzyjna) – formuła Andersona-Björcka obliczania f*(0) ze schematem iteracyjnym Kinga. Metoda Illinois (rząd zbieżności 1.442, inkluzyjna) – jak metoda Pegaza ale f*(0)=f(0)/2.

Znajdowanie wszystkich pierwiastków równań algebraicznych (wielomianów) Metoda Mullera Lokalizujemy pierwiastek o najmniejszym module (x*1). Po znalezieniu jego przybliżonej wartości dzielimy wielomian przez (x-x*1), ignorujemy resztę z dzielenia a następnie szukamy następnego pierwiastka aż do rzędu n. Po znalezieniu przybliżeń wszystkich pierwiastków porządkujemy je od nowa od wartości najmniejszej do największej i powtarzamy cykl (procedura Wilkinsona). Przybliżenia poszczególnych pierwiastków poprawiamy stosując jakąkolwiek metodę szybko zbieżną (np. Newtona).

Do efektywnego znajdowania dobrych przybliżeń pierwiastków bardzo dobrze nadaje się metoda iteracji Mullera, w której wielomian interpoluje się odcinkami paraboli. Pozwala to na lokalizację zarówno pierwiastków rzeczywistych jak i zespolonych.