Dane Informacyjne MGP Nazwa szkoły: Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Rajsku ID grupy: 98/85_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno Fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb. Semestr drugi Rok szkolny: 2010/2011 Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Lubięcinie ID grupy: 98/23_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno Fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb. Semestr drugi Rok szkolny: 2010/2011

Dane Informacyjne MGP Skład grupy:98/85_MF_G1 Justyna Smolińska Paulina Dziedzic Michalina Kaźmierczak Ilona Gaczyńska Piotr Antoszczyk Artur Nowicki Grzegorz Krymarys Dawid Parużak Mariusz Perskawiec Adam Smoliński Bartosz Bogaczyński Artur Matuszak Adrian Majewski Piotr Tomiec

Dane Informacyjne MGP Skład grupy: 98/23_MF_G1 Agnieszka Bartzel Agnieszka Kasprzyk Agnieszka Garbacz Urszula Stroczyńska Olga Kowalska Damian Kotowski Sergiusz Molek Nicolaus Reisch Oliwer Jasiński Rafał Szmigielski Albert Owczarz

W świecie liczb

Plan prezentacji Historia liczb Starożytne sposoby zapisywania liczb Ciekawe ciągi liczb Liczby olbrzymy Liczby pierwsze i kryptografia Złota liczba Liczba Pi Kwadraty magiczne Ciekawe zadania

Historia liczb

Liczby naturalne: Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.

Dzieje zera: Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskich tekstów używało sanskryckiego słowa shunya w znaczeniu pustki. W tekstach matematycznych używano go jako liczbę zero. W podobny sposób hinduski gramatyk Pāṇini (V wiek p.n.e.) używał zera w dziele Ashtadhyayi, jego formalnej gramatyce sanskrytu.

Liczby ujemne: Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I wieku p.n.e. Chińska praca Jiu-zhang Suanshu (Dziewięć tekstów o sztuce matematyki) zawierała metody znajdowania powierzchni figur. Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne – ujemnych. To najwcześniejsza znana wzmianka o liczbach ujemnych na świecie. W kulturze zachodniej pierwsze użycie liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0 w dziele Arithmetica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie.

Liczby wymierne: Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków. Klasyczni Grecy i matematycy indyjscy opracowali teorię liczb wymiernych. Najbardziej znanym przykładem ich użycia są Elementy Euklidesa (ok. 300 p.n.e.). Z tekstów indyjskich najbardziej godna wzmianki jest Sthanang Sutra.

Historia liczb niewymiernych: Po raz pierwszy liczby niewymierne użyte zostały w indyjskich tekstach Shulba Sutras, napisanych między 800 a 500 rokiem p.n.e. Pierwszy dowód istnienia liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Mezopotamii, pitagorejczykowi, który udowodnił niewymierność pierwiastka z dwóch. Związana jest z tym pewna opowieść, nie wiadomo czy prawdziwa: Pitagoras wierzył w absolutną naturę liczb, i nie potrafił zaakceptować odkrycia swego ucznia. Intelektualnie nie potrafił wprawdzie obalić dowodu, jednak podważało to fundamenty jego wiary, skazał więc Hippasusa na śmierć przez utopienie.

Liczby algebraiczne, przestępne i rzeczywiste. Ułamki łańcuchowe, blisko związane z liczbami niewymiernymi, wprowadził Cataldi w 1613, następnie zajmował się nimi Euler, a na początku XIX wieku ich teorię rozwinął Joseph Louis Lagrange. W 1618 roku Napier w pracy o logarytmach wprowadził liczbę e (tzw. podstawa logarytmu naturalnego). Pierwsze wyniki dotyczące liczb przestępnych uzyskał Lambert, dowodząc w 1761, że π nie jest liczbą wymierną, oraz że ex, gdzie x jest niezerową liczbą wymierną, jest niewymierne.

Liczby zespolone: Najwcześniejsze odniesienia do pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych znalazły się w pracy Herona z Aleksandrii z I wieku n.e. Dopiero jednak w XVI wieku pierwiastki takie stały się naprawdę istotne, kiedy odkryto, że ogólne wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia dają się łatwo wyprowadzić, tylko jeśli po drodze dopuścimy pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, nawet jeśli jesteśmy zainteresowani jedynie wynikami w liczbach rzeczywistych. (Tartaglia, Cardano).

Starożytne sposoby zapisywania liczb

Absolutny początek: Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie (mieszkańcy Mezopotamii) około 2000 r. p.n.e. Zapisywali je stawiając znaki - kliny na glinianych tabliczkach. Najpierw wymyślili sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisu słów. Znaków cyfrowych było niewiele. Liczby babilońskie są właściwie kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesiątki i setki.

Liczby rzymskie System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków.

S ł lub Rzymska liczba zero: Liczba zero nie posiada własnego znaku w systemie rzymskim, gdyż "nic" nie było powszechnie uważane za wartość liczby. Wartość 0,5 jest reprezentowana przez znak S (łac. Semis - pół) oraz ł (skreślone l). S ł lub

Egipt: 10 Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie.

Teraz: Później sprawy liczb toczyły się szybko. Arabowie przywieźli swój sposób wraz z kupieckimi wyprawami. Doskonalony system przetrwał aż do naszych czasów.

Ciekawe ciągi liczb: Liczby kwadratowe Liczby trójkątne Trójkąt Pascala

Liczby kwadratowe: Liczby kwadratowe czyli liczby mnożone przez siebie jednokrotnie np. 2 x 2 = 4 = 22 Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42

Liczby trójkątne: W matematyce liczba trójkątna to liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: Kolejne liczby trójkątne to 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb

Liczby olbrzymy ich tworzenie nazewnictwo i przykłady 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Liczby olbrzymy i ich nazewnictwo: W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny: bi- oznacza dwu- (stąd bilion) tri- oznacza trój- (stąd trylion) quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion) quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) sextus oznacza szósty (stąd sekstylion) septimus oznacza siódmy (stąd septylion) octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) centum oznacza sto, lub centesimus - setny (stąd centylion)

Liczby pierwsze i ich zastosowanie w kryptografii

Kryptografia - dziedzina informatyki zajmuje się szyfrowaniem Kryptografia - dziedzina informatyki zajmuje się szyfrowaniem. W ostatnich wiekach zmienia się dzięki stworzeniu krypto-systemów o publicznym kluczu.

Kryptogram dzieli się na: Tekst jawny Krypto system Funkcje kodujące

Tekst jawny Ciąg symboli lub znaków w jakimś języku. Tekst jawny dzielimy na jednostki. Jednostka jest jakimś symbolem np. liczba lub litera.

Funkcje kodujące F=Aa, A – to możliwe wszystkie jednostki

Funkcja dekodująca Jest to permutacją odwrotną do funkcji kodującej. Oznaczamy ją przez A – 1 gdzie A odpowiednia liczba kodująca

Krypto-system To para ( A , F ) czyli zbiór jednostek wiadomości A i funkcji kodującej F

Przykład:

Złota liczba

Złoty podział: Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi

W starożytności: Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. złoty podział uważali za proporcję doskonałą. stosowali go w architekturze i sztuce.

Rysunek Leonarda Da Vinci

Złote cięcie w przyrodzie: Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

Złoty podział odcinka: Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). a b a + b a + b a b

Własności złotej liczby Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego).

Leonardo Fibonacci Podróżnik i kupiec z Pizzy Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, Autor słynnego zadania o królikach.

Zadanie Fibonacciego: Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli: każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, para staje się płodna po miesiącu, króliki nie zdychają?

W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

Ciąg Fibonacciego 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, pierwszy i drugi wyraz to 1, każdy następny to suma dwóch poprzednich, postać rekurencyjna ciągu (fn – n-ty wyraz ciągu):

Ciąg Fibonacciego a złota liczba Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta

Liczby Fibonacciego w przyrodzie Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

Liczba Pi

LICZBA Pi= Pi wynosi: 3,14159265358979323846264338327950288 41971693993751058209749445923078164 06286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582 23172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196...

O wynalazcy: Pitagoras (ok. 572-497 p. n. e) Pitagoras urodził się na wyspie Samos. Prawdopodobnie to co przypisuje się Pitagorasowi, zostało wymyślone przez uczonych zwanych pitagorejczykami. Wprowadził również pojęcie dotyczące podobieństwa figur oraz pomysł na przeprowadzanie dowodów geometrycznych. Sam też przeprowadził dowód twierdzenia nazywanego dzisiaj twierdzeniem Pitagorasa.

Co to jest Pi??? LICZBA Pi - zwana też ludolfiną określa się w matematyce jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Wartość liczby pi po raz pierwszy została wyliczona przez Archimedesa do trzech miejsc po przecinku. Jednakże to Chińczycy uczynili w tej dziedzinie wielki krok naprzód.

Zastosowanie w praktyce Większego praktycznego zastosowania w życiu codziennym liczba pi nie ma. Jest stosowana jedynie w szkołach i przez uczonych.

Kwadraty magiczne

Kwadrat magiczny tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna)

Kwadrat pół magiczny Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się pół magicznym. 5 3 2 6 1 7

Przykłady kwadratów magicznych Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest prawdopodobnie ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwóch wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

Sudoku: łamigłówka, której celem jest wypełnienie diagramu 9x9 w taki sposób, aby w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdym z dziewięciu pogrubionych kwadratów 3x3 (zwanych "blokami" lub "pod kwadratami") znalazło się po jednej cyfrze od 1 do 9.

Rozwiązujemy Sudokku, czyli tablica multimedialna jest super

CIEKAWE ZADANIA O LICZBACH

Zadanie 1/ Exercise 1 There is one cell in the tube. The cells are multipling 2 times in every second. This process lasted for 30 seconds. How many cells will be there after the process? Answer: 2 to the power of 29

Zadanie 2 Pies goni zająca, który znajduje się w odległości 60 swoich skoków od psa. Gdy zając robi 9 skoków, w tym czasie pies zrobi 6 kroków. Wielkość 3 psich kroków jest równa 7 skokom zająca. Ile kroków musi zrobić pies, aby dogonić zająca? Sposób rozwiązywania: 1) porównać długości kroków 2)o ile więcej zajęczych skoków wykonuje pies w ciągu swoich 6 kroków 3)pies ma do nadrobienia 60 zajęczych skoków, więc dzieląc 60 przez liczbę otrzymaną w pkt 2 otrzymujemy, ile szóstek psich kroków musi wykonać pies, by dogonić zająca

Zadanie 3 Ile to jest: 50 dzielone na pół? Sposób rozwiązywania: 50/ 0,5= 100

Zadanie 4 Pasterz prowadził stado liczące 70 owiec i spotkał wędrowca, który go zapytał: Ile owiec z twego stada prowadzisz teraz na pastwisko? Pasterz odpowiedział: Prowadzę dwie trzecie od jednej trzeciej części swego stada. Ile ów pasterz ma wszystkich owiec?

Zadanie 5 Osioł i muł, objuczone workami, szły z trudem pod górę. Osioł począł się przed mułem żalić na ciężar, jaki nań człowiek nałożył. Lecz muł na to mu odrzekł: - Zwierzę leniwe, jakże się możesz skarżyć! Gdybym ja wziął jeden z twych worków, miałbym ich dwa razy więcej niż ty, a gdybyś ty wziął jeden z moich, dopiero mielibyśmy równo. Ile worków niósł osioł?

Zadanie 6 Zasady Sudoku Diagram należy wypełnić w taki sposób, aby w każdej kolumnie, wierszu i kwadracie składającym się z dziewięciu pól (3x3) znalazły się liczby od 1 do 9. Liczby umieszczone w tym samym kwadracie, kolumnie oraz wierszu nie mogą się powtarzać.

67