Modele zmienności aktywów Model addytywny Model multiplikatywny

Model addytywny zmienności aktywów z czasem dyskretnym Przyjmijmy następujące oznaczenia: S(0) - cena początkowa waloru S(k) - cena waloru w k-tym etapie. u(k) , k = 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ2. Ciąg ten interpretujemy jako losowe fluktuacje.

Model addytywny Rozważmy model ceny aktywu postaci (1) S(k+1) = a S(k) + u (k) gdzie k=0,1,2,... zaś a jest pewną stałą rzeczywistą, dodatnią decydującą o trendzie głównym. Dla a > 1 trend główny jest wzrostowy.  Znając wartości u(0),..,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2), …,S(n).  W tym modelu cena waloru w dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i od losowej fluktuacji.

Ze wzoru (1) otrzymujemy Model addytywny Ze wzoru (1) otrzymujemy S(1) = aS(0) + u(0) , S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)= = a2S(0) + au(0) + u(1) S(3) = aS(2)+u(2) = a [a2S(0) + au(0) + u(1)] +u(2)= = a3S(0) + a2u(0) + au(1) + u(2) Uwaga 1. Można pokazać, że dla każdego k: (2) S(k) = akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).

Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Model addytywny Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości : S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +… …+a u(k-2) + u(k-1)] + u (k) = =ak+1S(0) + aku(0) + ak-1u(1) +…+a2 u(k-2) + au(k-1) + u (k) oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru (2)

Model addytywny. Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana zmiennej S(k). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia E[u(k)]= μ dla każdego k mamy E[S(k)] =E( akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))= = akE[S(0)] + ak-1E[u(0)] + ak-2E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+ E[u(k-1)] = akS(0) + ak-1 μ + ak-2 μ +…+a μ + μ (3) E[S(k)]= akS(0) + μ(1-ak)/(1-a), o ile a nie jest równe 1 (3’) E[S(k)]= S(0) + k μ, gdy a=1 (3’’) E[S(k)]= akS(0), gdy μ = 0

Model addytywny. Wariancja ceny Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy Var [S(k)] = Var [akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [ak-1u(0)] + Var[ak-2u(1)] +…+Var[u(k-1)] = = (ak-1)2 Var [u(0)]+ (ak-2)2 Var [u(1)]+…+ a2 Var [u(k-2)] + Var [u(k-1)]= = a2(k-1)σ2+ a2(k-2)σ2 +…+a2σ2 +σ2 = = (1+a2+a4+…+a2k-2) σ2= σ2(1- a2k)/ (1-a2), gdy a różne od 1 (4) Var [S(k)] = σ2(1- a2k)/ (1-a2), gdy a różne od 1 (4’) Var [S(k)] = k σ2, dla a = 1

Symulacje w modelu addytywnym (a=1) Symulacje w modelu addytywnym (a=1). Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowa wahanie jest zmienną o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0;1)

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Histogram częstości

Model addytywny (przypadek a=1) Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym S(k+1) = S(k) + u (k) u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1) (5) Sn= u (0) + u (1) +…+ u (n-1) (6) S(n) = S(0) + Sn Sn wyraża zmianę ceny po n etapach Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5(σ-0)2 + 0,5(-σ-0)2 = σ2 E[Sn]= 0 Var Sn = Ʃni=1 Var [u (i)] = n σ2 Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ2 Oznaczając przez σn odchylenie standardowe zmiennej Sn, mamy (7) σn = σ n

Centralne twierdzenie graniczne Standaryzacja zmiennej losowej Sn S*n = (Sn-E(Sn))/σn Uwzględniając poprzednie wyliczenia S*n= Sn/ σ n TW (CTG) Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach (niekoniecznie dwupunktowych) oraz E Xi = m, Var Xi = σ2 dla i=1,…,n. Sn = X1 + X2 +… + Xn. Wtedy (8) (9)

W przypadku m = 0 mamy W szczególności

Przykład 1 Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs ma taką samą szansę na wzrost co na spadek o 10 punktów. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,9545 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 50?, po 100 ?) Zastosujemy centralne twierdzenie graniczne a w szczególności wykorzystamy przybliżenie Ponieważ σ = 10, n=30 mamy więc Otrzymaliśmy przedział na zmianę ceny, zatem uwzględniając S(n) = S(0) + Sn mamy

Przykład 1 Dla 50 i 100 dni mamy odpowiednio

Przykład 1

Przykład 2 Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs może zmienić się o 10 punktów, wzrost z prawdopodobieństwem 0,55 lub spadek z p-stwem 0,45. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,6827 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 100 ?) EXi=10*0,55+(-10)*0,45=1; War Xi = (10 -1)2 0,55 + (-10 -1)2 0,45 = 99 = σ2 ; σ = 9,95

Przykład 2 Dla n=100 przeprowadzamy podobne wyliczenia Otrzymujemy przedział (2600,50; 2799,50)

Centralne twierdzenie graniczne wersja Moivre’a – Laplace’a Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,n), P{Xi =1} = p, P{Xi = 0} = q, p+q= 1, Sn= X1 + X2+…+ Xn ; zmienna Sn ma rozkład dwumianowy: Wtedy E Xi = p, Var Xi = pq E Sn=np; Var Sn = npq TW Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość (10) lub równoważnie

Centralne twierdzenie graniczne wersja Moivre’a – Laplace’a Ostatnie równości mogą być zapisane różne sposoby:

Przykład 3 Cena akcji pewnej spółki wynosi 500 zł. Zakładamy, że każdego dnia kurs rośnie o 1 zł z prawdopodobieństwem 0,55 i pozostaje niezmieniony z p-stwem 0,45. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1000 dniach cena będzie się mieściła w przedziale [1020;1070] ?

Lokalne twierdzenie graniczne Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,i=n) P{Xi =1} = p, P{Xi = 0} = q, p+q= 1,Sn= X1 + X2+…+ Xn ; zmienna Sn ma rozkład dwumianowy: Wtedy E Xi = p, Var Xi = pq; E Sn=np; Var Sn = npq TW. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość (11) Uwaga. Wszystkie liczby n,k, (n-k) muszą być dostatecznie duże by korzystać z ostatniego przybliżenia.

Model multiplikatywny zmienności aktywów Niech S(0) oznacza cenę początkową aktywa, którego zmienność wyraża się w modelu rekurencyjnym wzorem S(k) = u(k-1)S(k-1); k=1,2… u(i) - losowe fluktuacje Cenę aktywa w chwili k można można wyrazić bezpośrednio (13) S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0). Po zlogarytmowaniu obu stron otrzymujemy

Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać: (14) E [ln S(k)] = lnS(0) +μk, (15) var [lnS(k)] = k σ2. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.

Model multiplikatywny Stopy zwrotu Równość (14) w innej formie E [ln S(k)] - lnS(0) = μk, E [ln S(k)] – E[lnS(0)] = E[ln (S(k)/S(0))] = μk, stąd (15) E [S(k)/S(0)] = eμk (gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X)) μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w pojedynczym etapie, przy kapitalizacji ciągłej Z definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))] , n=1,…,k S(n+1)/S(n)= [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1. Dla małych zmian ceny mamy ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} = =(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – zwykła stopa zwrotu w jednym etapie; korzystamy z rozwinięcia

Model multiplikatywny Stopy zwrotu E {ln[S(n+1)/S(n)]} = E[w(n)] = μ oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapie Z definicji modelu E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i) Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.

Model multiplikatywny Ze związku Otrzymujemy Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)