Algorytmy i Struktury Danych Drzewa BTS, AVL Wykład 5 Prowadzący: dr Paweł Drozda

Drzewa Reprezentują dane w sposób hierarchiczny Szerokie zastosowanie bazy danych grafika komputerowa sztuczna inteligencja przetwarzanie tekstu

Drzewa korzeń n1 węzeł przodek potomek Poddrzewo n2 n3 n4 n5 n6 n7 liść rodzic (ojciec) n8 n9 n10 n11 dzieci (synowie)

Własności drzewa(1) Korzeń: węzeł, który nie ma rodzica Liść: węzeł, który nie ma dzieci Węzeł wewnętrzny: węzeł nie będący liściem Pojedynczy węzeł jest drzewem, korzeniem i liściem Dzieci danego węzła są zarazem jego poddrzewami Drzewo puste: drzewo bez jakichkolwiek węzłów

Własności drzewa(2) Ścieżka od n1 do nk: sekwencja n1,n2,n3,...,nk taka że ni jest rodzicem dla ni+1 Długość ścieżka: liczba tworzących ją węzłów – 1 Jeżeli od węzła a do b istnieje ścieżka, to a jest przodkiem b, a b jest potomkiem a Wysokość węzła: długość najdłuższej ścieżki od tego węzła do jego potomków Wysokość drzewa = wysokość korzenia Głębokość węzła: długość ścieżki łączącej go z korzeniem dr Paweł Drozda

Drzewo Książka Rozdział 1 Rozdział 2 Rozdział 3 Podrozdział 1.1 Punkt 2.1.1 Punkt 2.1.2

Drzewo

Jak uporządkować drzewo? Czyli w jakiej kolejności odwiedzić wszystkie węzły dokładnie raz uporządkowanie węzłów odwiedzanie węzłów przechodzenie przez drzewo Najważniejsze metody to: preorder inorder postorder

Odwiedzanie węzłów W szczególnym przypadku W ogólnym przypadku dla pustego drzewa wynikiem jest pusta lista węzłów dla drzewa złożonego z jednego węzła otrzymamy jednoelementową listę W ogólnym przypadku przechodzimy przez drzewo rekurencyjnie

Odwiedzanie węzłów n T1 T2 Tk ... Preorder(T): Inorder(T): Preorder(Tk) Inorder(T): Inorder(T1) Inorder(T2) Inorder(Tk) Postorder(T): Postorder(T1) Postorder(T2) Postorder(Tk) n T1 T2 Tk ...

Przykład 1 2 3 4 7 6 5 10 9 8 Preorder: 1, 2, 3, 5, 8, 9, 6, 10, 4, 7 Inorder: 2, 1, 8, 5, 9, 3, 10, 6, 7, 4 Postorder: 2, 8, 9, 5, 10, 6, 3, 7, 4, 1

Wyrażenia arytmetyczne (a+b)*(a-c) Liść przybiera wartość „operand” Węzeł wewnętrzny przybiera wartość „operator” n1 n2 n3 n4 n5 n7 n6 * + - b a c n1=n2*n3=(a+b)*(a-c) n2=a+b n3=a-c Preorder: *+ab-ac (not. prefiksowa) Postorder: ab+ac-* (ONP) Inorder: a+b*a-c (not. infiksowa)

Operacje RODZIC(T,n) – w drzewie T zwróć węzeł-rodzica węzła n LEWY_SYN(T,n) – w drzewie T zwróć skrajny lewy węzeł-dziecko węzła n NASTĘPNY_BRAT(T,n) – w drzewie T zwróć węzeł mający tego samego rodzica co n i położony bezpośrednio na prawo od n WARTOŚĆ(T,n) – w drzewie T przyporządkuj węzłowi n pewną wartość KORZEŃ(T) – zwraca węzeł-korzeń drzewa T DODAJ_DZIECKO(T,n) – w drzewie T dodaje węzeł-dziecko do węzła n. Jeżeli n ma wartość NULL to utworzony zostaje korzeń drzewa. Zwraca nowo utworzony węzeł USUŃ_WĘZEŁ(T,n) – jeżeli n jest liściem to zostaje usunięty z drzewa T, w przeciwnym wypadku wynik jest nieokreślony

Implementacja drzewa Węzeł wartość LISTA dzieci rodzic wartość

Drzewo binarne Każdy rodzic może mieć co najwyżej 2 dzieci lewe poddrzewo prawe poddrzewo n1 n2 n3 n4 n5 n7 n6

Kodowanie Huffmana Własność przedrostka: Znak prawd. kod a 0.12 000 b 0.4 11 c .15 01 d .08 001 e .25 10 Własność przedrostka: kod danego znaku nie jest początkiem kodu innego znaku np.: 01000001 = 01 000 001 = cad Średnia ilość bitów potrzebna do zakodowania znaku

Kodowanie Huffmana a d c e b 1 Znak prawd. kod a 0.12 000 b 0.4 11 c 1 Znak prawd. kod a 0.12 000 b 0.4 11 c .15 01 d .08 001 e .25 10

Algorytm Huffmana 1) Weź 2 najrzadsze znaki 2) Do kodu pierwszego dopisz 0 3) Do kodu drugiego dopisz 1 4) Zastąp je nowym znakniem z prawd. = sumie 2 znaków 5) Powtórz kroki 1-4 dopóki nie pozostanie 1 znak

Algorytm Huffmana 1 0,6 0,35 0,2 b (0,4) e (0,25) c (0,15) a (0,12) d (0,08) 0 10 110 1110 1111 0.4*1 + 0.25*2 + 0.15*3 + 0.12*4 + 0.08*4 = 2.15

Drzewo binarne Drzewo regularne: każdy wierzchołek ma 0 lub 2 synów Drzewo zrównoważone: na wszystkich poziomach poza ostatnim i przedostatnim każdy wierzchołek ma 2 synów Drzewo uporządkowane: węzły w drzewie są ułożone kolejno od lewej strony

Drzewa poszukiwań binarnych BST (binary search tree) struktura danych umożliwiająca operacje FIND, MIN, MAX, INSERT, DELETE czas wykonania tych operacji: w pełnym drzewie – Θ(lgn) w drzewie zdegenerowanym – Θ(n)

Węzeł drzewa BST Rekord Własność drzewa BST: key left right p dla każdego y = LEWY_POTOMEK(BST,x) KEY(BST,y) ≤ KEY(BST,x) dla każdego y = PRAWY_POTOMEK(BST,x) KEY(BST,x) ≤ KEY(BST,y)

2,3,5,6,7,8 6 2 3 7 3 2 5 8 7 6 8 5

Wyszukiwanie w BST Odwiedzamy O(h) węzłów SZUKAJ_BST_IT(n,k): while (n.key<>k AND n<>NULL) do begin if (k<=n.key) then n:=n.left; else n:=n.right; end return n; SZUKAJ_BST(n,k): if (n.key=k OR n=NULL) then return n; if (k<=n.key) then SZUKAJ_BST(n.left,k); else SZUKAJ_BST(n.right,k); Odwiedzamy O(h) węzłów

Wartości ekstremalne w BST minimum SZUKAJ_MIN(n): while(n.left<>NULL) do n:=n.left; return n; maksimum SZUKAJ_MAX(n): while(n.right<>NULL) do n:=n.right; return n; Poprawność procedur wynika z własności drzewa BST

Wstawianie nowych elementów TREE_INSERT(T,z): x:=ROOT(T); y:=x.p; while (x<>NULL) do begin y:=x; if (z.key<x.key) then x:=x.left; else x:=x.right; end if (y=NULL) then ustaw korzeń T na z; else begin if (z.key < y.key) then y.left = z; y.right = z; end

Usuwanie węzła 3 przypadki: węzeł n nie ma dzieci if (n.p.left = n) then n.p.left = null; if (n.p.right = n) then n.p.right = null; węzeł n ma 1 dziecko if (n.left <> null) then dz = n.left; else dz = n.right; if (n.p.left = n) then n.p.left = dz; else n.p.right = dz; węzeł n ma 2 dzieci nast = SZUKAJ_MIN(n.right); if (n.p.left = n) then n.p.left = nast; else n.p.right = nast;

Drzewo AVL Def: uporządkowane drzewo BST jest drzewem AVL, jeżeli dla każdego węzła różnica wysokości jego poddrzew wynosi co najwyżej 1 W najgorszym wypadku wysokość drzewa AVL 1.44log(n+2) 6 5 9 12 8 2 3 6 5 9 12 8

Wstawianie elementów dl AVL Wstaw jak do BST Jeśli drzewo utraciło własność AVL to należy je wyważyć wykonując rotację w lewo/w prawo pojedyncza/podwójna

Pojedyncza rotacja – w prawo 1 2 -1 1 Drzewo AVL jest drzewem AVL po wykonaniu rotacji Uporządkowane drzewo AVL jest uporządkowanym drzewem AVL po wykonaniu rotacji

Podwójna rotacja – w prawo 1 2 ±1 -1 ±1

Przykład: 4, 5, 7, 2, 1, 3, 6

AVL - usuwanie Usuwamy węzeł (BST), a następnie przywracamy równowagę od węzła do korzenia

Porównanie