Zbiory dynamiczne.

Prezentacja na temat: "Zbiory dynamiczne."— Zapis prezentacji:

1 Zbiory dynamiczne

2 Zbiór dynamiczny Zbiór dynamiczny to zbiór wartości pochodzących z pewnego określonego uniwersum, którego zawartość zmienia się w trakcie działania programu. Elementy zbioru dynamicznego musimy co najmniej umieć porównać pod względem identyczności (czy dwa elementy są równe albo różne).

3 Dynamiczne struktury danych
Dynamiczna struktura danych, to struktura danych pozwalająca na przechowywanie zbioru dynamicznego; rozmiar tej struktury dostosowuje się do rozmiaru danych. W zbiorze dynamicznym musimy umieć realizować operację dodania nowego elementu do zbioru i usunięcia ze zbioru wskazanego elementu. Tablica dynamiczna jest dynamiczną strukturą danych. Zastosowanie: przechowywanie pewnego zbioru danych, którego zawartość będzie się zmieniać w trakcie pracy programu.

4 Słownik Słownik (ang. dictionary) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje: insert(x) – dodanie nowego elementu x do zbioru dynamicznego, delete(x) – usunięcie elementu o wartości x ze zbioru dynamicznego, search(x) – sprawdzenie czy w zbiorze dynamicznym znajduje się element o wartości x. Multizbiór to zbiór dynamiczny, w którym mogą się powtarzać elementy o takich samych wartościach. Struktura danych jest homogeniczna, jeśli składa się z elementów tego samego typu.

5 Listy

6 Lista Lista (ang. list) to homogeniczna struktura danych służąca do reprezentowania zbioru dynamicznego, w której elementy ułożone w ciąg. Element listy nazywa się węzłem (ang. node); każdy węzeł zawiera pole info służące do przechowywania wartości z pewnego określonego uniwersum oraz pole next ze wskaźnikiem na następny element listy (ostatni element listy ma w polu next wpisany wskaźnik pusty). Pierwszy węzeł listy jest nazywany głową (ang. head) albo początkiem listy. Dostęp do elementów listy jest sekwencyjny – a więc dojście do elementu k-tego wymaga przejścia przez kolejne elementy listy od pierwszego do docelowego. Zastosowanie: lista najlepiej nadaje się do danych, które będą przetwarzane sekwencyjnie.

7 Lista Lista jednokierunkowa (ang. single linked list) to lista, po której można się poruszać tylko od głowy do ogona – w każdym węźle jest tylko wskaźnik do następnika. Lista dwukierunkowa (ang. double linked list) to lista, po której można się poruszać w obu kierunkach: w stronę głowy i w stronę ogona – w każdym węźle są dwa wskaźniki next do następnika i prev do poprzednika.

8 Lista Lista cykliczna to lista, w której ostatni węzeł posiada wskaźnik do pierwszego węzła. Lista dwukierunkowa może być cykliczna. Lista z wartownikiem to lista, w której na końcu umieszczony jest węzeł zwany wartownikiem – wartownik nie przechowuje danych, pełni rolę pomocniczą w nawigacji po liście. Lista z wartownikiem może być cykliczna lub dwukierunkowa. Gdy dane pochodzą z uniwersum z porządkiem liniowym, to dane w liście można przechowywać w sposób uporządkowany – mamy w tedy do czynienia z listą uporządkowaną.

9 Lista Wyszukiwanie wartości w liście – wersja iteracyjna Search(wezeł *w, x) -> boolean { while (w.info != x) { if (w.next != null) w := w.next; else return false; } return true; Czas: O(n) gdzie n to ilość elementów na liście Pamięć: O(1)

10 Lista Wyszukiwanie wartości w liście – wersja rekurencyjna Search(wezeł *w, x) -> boolean { if (w == null) return false; if (w.info == x) return true; return Search(w.next, x); } Czas: O(n) gdzie n to ilość elementów na liście Pamięć: O(n) zależy od liczby wywołań rekurencyjnych

11 Lista Wyszukiwanie wartości w liście posortowanej – wersja rekurencyjna Search(wezeł *w, x) -> boolean { if (w == null) return false; if (w.info == x) return true; if (w.info > x) return false; return Search(w.next, x); } Czas: O(n) gdzie n to ilość elementów na liście Pamięć: O(n) zależy od liczby wywołań rekurencyjnych

12 Lista Wstawianie elementu do listy nieuporządkowanej:
na początek listy, na koniec, na zadaną pozycję. Wstawianie elementu do listy uporządkowanej Usuwanie elementu z listy: usuwanie elementu z zadanej pozycji, usuwanie elementu o zadanej wartości.

13 Listy Technika zwracania wskaźnika do struktury po zmodyfikowaniu.
Przykład: wstawienie elementu na zadaną pozycję: insert(węzeł *w, x, pos) -> węzeł* { if (pos < 0) error; if (w == null and pos > 0) error; if (pos > 0) { w.next := insert(w.next, x, pos-1); return w; } else return new węzeł(x, w); } wywołanie: head := insert(head, x);

14 Listy Operacje słownikowe na liście n- elementowej wymagają:
czasu O(n), pamięci O(1) gdy używamy iteracji albo O(n) gdy korzystamy z rekurencji.

15 Listy Zadanie: podział listy na dwie równe podlisty (z dokładnością do 1 elementu). Rozwiązanie: dwa wskaźniki, jeden robi podwójne skoki, drugi pojedyncze; po dotarciu na koniec listy pierwszego wskaźnika, drugi wskazuje na węzeł środkowy. split(węzeł *h) -> (węzeł*, węzeł*) { węzeł *p = head; węzeł *q = head; if (p == null) return (null, null); while (q != null) { q := q.next; if (q == null) break; q := q.next; if (q != null) p := p.next; } q := p.next; p.nex; := null; return (head, q); }

16 Listy Zadanie: należy scalić dwie posortowane lisy .
Rozwiązanie: do końca listy wynikowej doczepiamy mniejszy spośród głów pozostałych list. merge(węzeł *g, węzeł *h) -> węzeł* { if (g == null) return h; if (h == null) return g; węzeł *r = g; if (g.info < h.info) g := g.next; else { r := h; h := h.next; } węzeł *s = r; while (g != null and h != null) if (g.info < h.info) { r.next := g; r := r.next; g := g.next; } else { r.next := h; r := r.next; h := h.next; } if (g != null) r.next := g; else r.next := h; return s; }

17 Zadanie 1 Zdefiniuj klasę reprezentującą węzeł listy jednokierunkowej wraz z operacjami wstawiania nowego elementu na zadaną pozycję, usuwania węzła z zadanej pozycji i sprawdzania czy określony element znajduje się na liście (operacje te zaimplementuj rekurencyjnie). Węzeł listy zdefiniuj jako szablon przy pomocy template<typename T>.

18 Zadanie 2 Zdefiniuj klasę reprezentującą listę jako opakowanie dla struktury zbudowanej na węzłach. W klasie tej opakuj metodę wstawiającą do listy, usuwającą z listy i sprawdzającą czy element występuje na liście. Dodatkowo dopisz metody: wstawiająca element na początek listy, na koniec listy, usuwającą pierwszy i usuwającą ostatni element na liście. Listę zdefiniuj jako szablon przy pomocy template<typename T>.

19 Zadanie 3 Zdefiniuj klasę reprezentującą węzeł listy jednokierunkowej uporządkowanej wraz z operacjami wstawiania nowego elementu, usuwania elementu i sprawdzania czy określony element znajduje się na liście. Zdefiniuj też klasę reprezentującą listę jako opakowanie dla struktury zbudowanej na węzłach. Węzeł listy oraz listę zdefiniuj jako szablony przy pomocy template<typename T>.

20 Drzewa

21 Drzewa Drzewo (ang. tree) to zbiór węzłów powiązanych wskaźnikami, bez cykli. Drzewo ukorzenione – posiada wyróżniony węzeł początkowy zwany korzeniem (ang. root). Drzewo jest strukturą hierarchiczną – analogia do polskich jabłek na rozgałęzionej jabłoni. Korzeń węzła znajduje się na poziomie 0; numer poziomu danego węzła w drzewie jest wyznaczony odległością krawędziową od korzenia. Liściem w drzewie (ang. leaf) jest węzeł bez żadnego następnika. Węzeł wewnętrzny posiada co najmniej jednego następnika.

22 Drzewa Wysokość drzewa – długość najdłuższej ścieżki od korzenia do liścia (liczba węzłów) – inaczej liczba poziomów na których zapisane jest drzewo. Głębokość węzła – długość ścieżki od korzenia do tego węzła (liczba węzłów) – inaczej numer poziomu na którym znajduje się węzeł. Uwaga: poziomy w drzewie numerujemy od 0; korzeń znajduje się na poziomie 0.

23 Drzewo Drzewo uporządkowane ma ponumerowanych (oznaczonych) następników – ich kolejność w takim drzewie jest istotna. Drzewo k-arne to drzewo uporządkowane, które posiada co najwyżej k następników. Drzewo binarne – może posiadać dwóch następników: lewego i prawego.

24 Reprezentacja drzew uporządkowanych „na lewo syn na prawo brat”

25 Drzewo BST Drzewo BST to drzewo binarne, w którym przechowujemy elementy z pewnego uniwersum z porządkiem liniowym i w drzewie tym jest zachowany porządek symetryczny. W drzewie binarnym jest zachowany porządek symetryczny, gdy elementy mniejsze od korzenia znajdują się w lewym poddrzewie, elementy większe od korzenia w prawym poddrzewie oraz w lewym i w prawym poddrzewie też jest zachowany porządek symetryczny.

26 Drzewo BST Wyszukiwanie w drzewie BST – działa tak jak w wyszukiwaniu binarnym serach (węzeł *w, x) -> boolean { if (w == null) return false; if (x < w.info) return search(w.left, x); else if (w.info < x) then return search(w.right, x); else return true; }

27 Drzewo BST Element minimalny znajduje się najbardziej po lewej stronie w drzewie BST – od korzenia poruszamy się ciągle w lewo, ostatni węzeł na lewej ścieżce zawiera minimum. Element maksymalny znajduje się najbardziej po prawej stronie w drzewie BST – od korzenia poruszamy się ciągle w prawo , ostatni węzeł na prawej ścieżce zawiera maksimum.

28 Drzewo BST Wstawienie nowego elementu do drzewa BST – znajdujemy mu miejsce tak jak w wyszukiwaniu binarnym (aż dojdziemy do wskaźnika pustego) insert (węzeł *w, x) -> node* { if (w == null) return new node(x); if (x < w.info) w.left := insert(w.left, x); else if (w.info < x) then w.right := insert(w.right, x); else w.info := x; return w; }

29 Drzewo BST Usunięcie elementu z drzewa BST – znajdujemy miejsce tego elementu tak jak w wyszukiwaniu binarnym (jak dojdziemy do wskaźnika pustego to elementu nie ma w drzewie): gdy element jest w liściu, to odcinam liść; gdy element jest w węźle z jednym następnikiem, to usuwam ze ścieżki ten węzeł; gdy element jest w węźle z dwoma synami, to z prawego poddrzewa usuwamy minimum (albo z lewego poddrzewa usuwamy maksimum) i przenosimy je do tego węzła.

30 Przeglądanie drzew BST
In-order – najpierw jest przeglądane i przetwarzane lewe poddrzewo w porządku in-order, potem korzeń a na końcu prawe poddrzewo w porządku in-order. Przeglądanie drzewa BST w porządku in- order gwarantuje, że węzły tego drzewa zostaną przetworzone w kolejności od najmniejszej do największej wartości. Przeglądanie in-order można wykorzystać do sortowania danych.

31 Przeglądanie drzew BST
Pre-order – najpierw jest przeglądany i przetwarzany korzeń drzewa, potem lewe poddrzewo w porządku pre-order a na końcu prawe poddrzewo w porządku pre-order. Przeglądanie drzewa BST w porządku pre-order gwarantuje, że na początku będą przetworzone węzły z lewej ścieżki tego drzewa w kolejności od korzenia do węzła o najmniejszej wartości. Post-order – najpierw jest przeglądane i przetwarzane lewe poddrzewo w porządku post-order, potem prawe poddrzewo w porządku post-order a na końcu korzeń drzewa. Przeglądanie drzewa BST w porządku post-order gwarantuje, że na końcu będą przetworzone węzły z prawej ścieżki tego drzewa w kolejności od węzła o największej wartości do korzenia.

32 Struktura drzew BST Wysokość drzewa – liczba poziomów zajmowanych przez drzewo (korzeń znajduje się na poziomie 0, na ostatnim poziomie znajdują się tylko liście) – albo długość wierzchołkowa najdłużej ścieżki od korzenia do liścia . Głębokość węzła – numer poziomu na którym znajduje się dany węzeł – albo krawędziowa odległość od korzenia. Wysokość drzewa n-elementowego jest nie mniejsza niż log(n) i nie większa niż n.

33 Struktura drzew BST Drzewo regularne to drzewo binarne, w którym każdy węzeł wewnętrzny na dwóch synów. Drzewo pełne to drzewo regularne, w którym wszystkie liście są na tym samym poziomie. Drzewo pełne o wysokości h ma 2h-1 węzłów. Drzewo zupełne to drzewo pełne, z którego usunięto część liści z prawej strony. Drzewo zupełne o wysokości h ma od 2h-1 do 2h-1 węzłów.

34 Rotacje w drzewie BST W dowolnym wewnętrznym węźle drzewa BST można zrobić rotację (w lewo albo w prawo) i nie zostanie zniszczony porządek symetryczny w tym drzewie.

35 Zadanie 1 Zdefiniuj klasę reprezentującą węzeł drzewa BST wraz z operacjami wstawiania nowego elementu, usuwania elementu i sprawdzania czy określony element znajduje się w drzewie. Węzeł drzewa zdefiniuj jako szablon przy pomocy template<typename T>.

36 Zadanie 2 Zdefiniuj klasę reprezentującą drzewo BST jako opakowanie dla struktury zbudowanej na węzłach. W klasie tej opakuj metodę wstawiającą do drzewa, usuwającą z drzewa i sprawdzającą czy element występuje w drzewie. Dodatkowo dopisz metody: wyznaczające oraz usuwające najmniejszy i największy element w drzewie. Drzewo BST zdefiniuj jako szablon przy pomocy template<typename T>.