PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP

Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak, aby żadne dwa sąsiednie obszary nie miały tego samego koloru?

Zbudujmy graf: V – stolice, ij E, jeśli i oraz j mają wspólną granicę

Jakie własności ma ten graf ? nie ma przecięć krawędzi jest to graf planarny

GRAFY PLANARNE To grafy, które można narysować na płaszczyźnie bez zbędnych przecięć, tzn. krawędzie są krzywymi, które nie przecinają samych siebie, a 2 krawędzie przecinają się tylko w ich wspólnym końcu. Każdy poprawny rysunek grafu planarnego G naz. płaską realizacją G lub, krótko grafem płaskim grafu G.

Przykłady

K5K5 ? NIE !

D1 D2 D3 S1 S2S3 ? ? K 3,3 ?

Charakteryzacja grafów planarnych Jakie grafy mają płaskie reprezentacje ? (związek teorii grafów z topologią)

Obserwacja Eulera W każdym wielościanie wypukłym W – K + Ś =2 –W - liczba wierzchołków –K – liczba krawędzi –Ś – liczba ścian Taki sam związek zachodzi dla grafów planarnych bez względu na ich płaską reprezentację = = =2

Każdy graf płaski dzieli R 2 na rozłączne obszary zwane ścianami. Jeśli |V|=n, |E|=m i ściany s 1,s 2,..,s l otoczone są odpowiednio b 1,b 2,..,b l krawędziami to b i to liczba krawędzi wokół ściany s i (jej stopień) Uwaga: mosty liczymy podwójnie, a nie-most leży na brzegu dwóch ścian

Wzór Eulera Tw. (Euler, 1752) W każdym spójnym grafie płaskim liczba wierzchołków n, liczba krawędzi m i liczba ścian l spełniają równość: n-m+l=2 Dowód: Indukcja względem m przy ustalonym n. Jeśli m=n-1, to G jest drzewem i l=1. Jeśli m>n-1, to G zawiera cykl. Usuńmy krawędź e z tego cyklu. Graf G-e ma 1 krawędź mniej i 1 ścianę mniej niż G. Stosujemy zał. ind. do G-e. 

Liczba krawędzi grafu płaskiego Wniosek: Spójny graf płaski o n  wierzchołkach ma nie więcej niż 3n-6 krawędzi. Dowód: Jeśli G jest drzewem, to mamy n-1  3n-6. Jeśli każda ściana ma  3 krawędzie, to 3l  2m i ze wzoru Eulera, 3n-3m+2m=6.

Przykłady K 5 m=10, n=5, sprzeczność ze wzorem Eulera K 3,3 m=9, n=6, nie ma sprzeczności, ale najkrótszy cykl ma długość 4 -patrz ćwiczenia,

Podpodziały krawędzi (topologiczne podziały) Podpodziałem (subdivision) grafu G nazywamy każdy graf H otrzymany z G przez zastąpienie jego krawędzi rozłącznymi ścieżkami dowolnej długości. Oczywiste: G jest planarny H jest planarny. K_3 H

Tw. Kuratowskiego Żaden podpodział K_5, ani K_{3,3} nie jest planarny. Żaden graf planarny nie zawiera ich. Tw. (Kuratowski 1930) Graf G jest planarny wgdy nie zawiera podpodziału K_5 ani K_{3,3}. (bez dowodu.)

Grafy nieplanarne

Wracamy do kolorowania map

Mapy a grafy planarne Mapa to zbiór ścian pewnego grafu płaskiego (ścianę zewnętrzną można traktować jako tło/ramę mapy). Kolorowanie mapy to kolorowanie wierzchołków grafu dualnego, w którym żadne dwa połączone krawędzią nie mają tego samego koloru. Są mapy, które wymagają aż 4 kolorów.

Kolorowanie Kolorowaniem grafu G za pomocą kolorów k naz. funkcję c: V   1, 2,..., k  taką, że c(u)  c(v), o ile (u,v)  E. Minimalną liczbę kolorów wystarczającą do pokolorowania grafu naz. liczbą chromatyczną i ozn.  (G).

Ściany  wierzchołki Każda ściana grafu G staje się wierzchołkiem grafu dualnego G*. I odwrotnie: G**=G

Hipoteza 4 kolorów - historia H4K: KAŻDĄ mapę można pomalować 4 kolorami! Hipoteza z roku 1852 (de Morgan, bracia Guthrie) Dwa błędne dowody w XIX wieku (Kempe, Tait) Dowód komputerowy ogłoszony w 1976, zweryfikowany w 1989 (Appel, Haken, Koch) i 1997 (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas)

6 kolorów wystarczy! Obserwacja: Jeśli G jest planarny, to zawiera wierzchołek o stopniu  5.

Algorytm zachłanny 1. Niech v 1 będzie wierzchołkiem o d G (v 1 )  5 2. Niech v 2 będzie wierzchołkiem o stopniu  5 w G-v 1 itd. do n. v1v1 v2v2 v3v3 vnvn 3. Kolorujemy zachłannie od v n do v 1 (zawsze jest wolny kolor!)

Heawood: 5 kolorów wystarczy! Tw. o 5 kolorach (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny. Dowód: (trudniejszy, nie wprost, oparty na korekcie błędnego dowodu Kempe) 4 kolory – bardzo trudny

Uwaga: War-Maz może być niebieskie i wtedy ściana zewnętrzna może być czerwona (graf dualny jest 4-kolorowalny)