Matematyka

I. Algebra liniowa Rachunek macierzowy Układy równań liniowych

I.1. Rachunek macierzowy I.1.1 Pojęcia podstawowe Def. 1 (macierzy) Macierzą nazywamy ciąg mn wyrażeń (np. liczb) aik, i=1, 2, ... , m; k=1, 2, ... , n które zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy m x n – wymiar macierzy Jeżeli m=n – macierz kwadratowa stopnia n

Przykłady

Def. 2 (wektora) Macierz o jednej kolumnie nazywamy wektorem kolumnowym, a o jednym wierszu – wektorem wierszowym Wektor kolumnowy Wektor wierszowy Def. 3 (skalara) Macierz stopnia 1 [a11]= a11 nazywamy skalarem i identyfikujemy z liczbą (wyrażeniem) a11 Def. 4 (macierzy zerowej) Macierz A=0  aik= 0, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m Def. 5 (macierzy diagonalnej) Macierz kwadratową nazywamy diagonalną (przekątniową), jeżeli poza przekątną główną ma same zera czyli gdy aik=0 dla i≠ k np.

Def. 6 (symbolu Kroneckera) Przykłady: Def. 7 (macierzy jednostkowej) Macierz jednostkowa 1 (albo U lub E) 1=[δik] np. Def. 8 (podmacierzy) Jeżeli z macierzy usuniemy wiersz albo kolumnę albo kilka wierszy albo kilka kolumn, to pozostała macierz o mniejszych wymiarach nazywana jest podmacierzą macierzy wyjściowej

Def. 9 (macierzy symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeżeli aik = aki Def. 10 (macierzy antysymetrycznej albo skośnie symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną (skośnie symetryczną), jeżeli aik = –aki Wniosek: aii=0 Przykład: Def. 11 (równości macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A=B  aik= bik, i=1, 2, ... , m; k=1, 2, ... , n

I.1.2 Działania na macierzach I.1.2.1 Transpozycja macierzy Def. 12 (macierzy transponowanej) Macierz transponowana AT do macierzy A aTik = aki np. I.1.2.2 Suma (dodawanie) macierzy Def. 13 (sumy macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A+B=C  cik=aik+ bik, i=1, 2, ... , m; k=1, 2, ... , n czyli [aik]+[bik]=[aik+ bik] Tw. 1 (przemienność dodawania macierzy) A+B=B+A tzn. dodawanie macierzy jest przemienne Tak jak dla zwykłych liczb!!! Tw. 2 (łączność dodawania macierzy) (A+B)+C=A+(B+C) tzn. dodawanie macierzy jest łączne Zatem przy dodawaniu można opuszczać nawiasy i pisać po prostu A+B+C Tak jak dla zwykłych liczb!!!

I.1.2.3 Różnica (odejmowanie) macierzy Tw. 3 (element neutralny dodawania macierzy) A+0=A Macierz zerowa 0 jest elementem neutralnym (zerowym ) dodawania macierzy Tak samo jak dla liczb Tw. 4 (o transpozycji sumy) (A+B)T =AT+BT Transpozycja sumy macierzy równa jest sumie macierzy transponowanych (kolejność dodawania i transponowania można bezkarnie zamieniać) I.1.2.3 Różnica (odejmowanie) macierzy Tw. 5 (macierz przeciwna) Dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna –A taka, że A+(–A)=0 –A=[–aik] Tak samo jak dla liczb: liczbą przeciwną do 7 jest -7, a dla -4 jest 4. Odejmowanie liczb to dodawanie liczby przeciwnej np. 9-2 = 9+(-2). Podobnie można zdefiniować odejmowanie macierzy: Df. 14 (różnicy macierzy) A-B= A+(-B)

Tw. 6 (o rozkładzie macierzy kwadratowej) Każdą macierz kwadratową A można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej S i macierzy antysymetrycznej R A=S+R Dowód: aik =sik +rik aki =ski +rki ale ski =sik i rki = –rik, zatem aki =sik –rik Dodając ostatnie dwa wzory stronami dostajemy aki + aik =2sik a stąd sik = ski =½ (aik + aki) Podobnie odejmując stronami otrzymamy rik = –rki =½ (aik – aki)

I.1.2.4 Iloczyn (mnożenie) macierzy przez liczbę Def. 15 (mnożenia macierzy przez liczbę) cA=c[aik]=[c aik] np. Tw. 7 (rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę) (m+n)A=mA+nA n(A+B)=nA+nB Tak samo jak dla liczb I.1.2.5 Iloczyn (mnożenie) macierzy Def. 16 (iloczynu macierzy) Niech A – macierz o wymiarach m x n niech B – macierz o wymiarach n x p AB=C gdzie C – macierz o wymiarach m x p cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + ... + ain bnk albo w skrócie

Mnożenie macierzy to zupełnie co innego niż mnożenie liczb!!! Tw. 8 Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tzn. AB≠BA Inaczej niż dla liczb!!! Przykład:

Może być tak, że AB jest wykonalne, a BA jest niewykonalne. Przykład: Dla liczb: jeżeli ab=0, to albo a=0, albo b=0. Dla macierzy niekoniecznie. Może być AB=0 nawet gdy A≠0 i B≠0 Przykład: Takie niezerowe macierze, których iloczyn daje macierz zerową, nazywane są dzielnikami zera

Tw. 9 (element neutralny mnożenia) Niech A – macierz kwadratowa stopnia n, a 1 – macierz jednostkowa stopnia n 1A=A1=A czyli 1 jest elementem neutralnym mnożenia macierzy kwadratowych. Tak samo jak dla liczb!!! Tw. 10 (o łączności mnożenia macierzy) Niech A, B, C mają wymiary odpowiednio (m x n), (n x p), (p x q). A(BC)=(AB)C czyli mnożenie macierzy jest łączne. Tak samo jak dla liczb!!! Tw. 11 (o transpozycji iloczynu macierzy) (AB)T =BTAT Transpozycja iloczynu macierzy równa jest iloczynowi macierzy transponowanych w przeciwnej kolejności

Tw. 12 (o rozdzielności mnożenia macierzy względem dodawania) A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC Tak samo jak dla liczb!!! Def. 17 (skrócony zapis mnożenia macierzy przez siebie) A2 =AA An=AA …. A I.1.2.6 Iloraz macierzy Poprzednio zdefiniowaliśmy różnicę macierzy poprzez dodawanie macierzy przeciwnej. Teraz spróbujmy zdefiniować iloraz macierzy poprzez mnożenie macierzy przez macierz odwrotną – tak jak ma to miejsce dla liczb: a:b=ab-1 np. 8:2 = 8*2-1 =8*1/2=4 Tw. 13 (macierz odwrotna) Dla niektórych macierzy kwadratowych A istnieje macierz odwrotna A-1 taka, że A A-1 = A-1A = 1 Dla jakich macierzy kwadratowych istnieje macierz odwrotna? Jak obliczyć macierz odwrotną? Odpowiedzią są wyznaczniki

I.1.3 Wyznaczniki Def. 18 (wyznacznika macierzy kwadratowej) Wyznacznik macierzy kwadratowej jest to suma iloczynów elementów tej macierzy branych po jednym z każdego wiersza i kolumny i opatrzonych odpowiednim znakiem. Wyznacznik macierzy A (liczba): Przykłady:

Obliczanie wyznaczników jest proste, ale bardzo mozolne. Do obliczania wyznaczników stopnia 3 można stosować mnemotechniczną metodę Sarrusa. A co z wyznacznikami wyższych rzędów? W szczególnych przypadkach pomocne będą następujące własności wyznaczników: Wł. 1: det AT = det A (Transpozycja macierzy nie zmienia wartości wyznacznika) Wł. 2: Jeżeli w macierzy A występuje kolumna lub wiersz z samymi zerami, to det A=0 Wł. 3: Zamiana miejscami dwóch kolumn lub wierszy macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika Wł. 4: Jeżeli w macierzy A występuje dwie identyczne kolumny lub wiersze, to det A=0 Wł. 5: Jeżeli w macierzy A pewien wiersz lub kolumna zostanie pomnożony przez stałą c, to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę samą stałą. Wł. 6: Jeżeli w macierzy A jedna kolumna lub wiersz jest proporcjonalna do innej, to det A=0 (Jeżeli aik= c ajk , k=1, 2, ... , n, to det [aik]=0)

Wł. 7: Wyznacznik nie zmieni wartości, jeżeli do elementów pewnej kolumny/wiersza dodamy/odejmiemy elementy innej kolumny/wiersza. Wł. 8: Wyznacznik nie zmieni wartości, jeżeli do elementów pewnej kolumny/wiersza Dodamy kombinację liniową innych kolumn/wierszy. Wł. 9: Jeżeli chociaż jedna z kolumn (wierszy) wyznacznika jest kombinacją liniową innych jego kolumn (wierszy), to wyznacznik jest równy zero Co zrobić w przypadku ogólnym, gdy powyższe własności nie pomogą? Trzeba zastosować tzw. rozwinięcie Pascala. Def. 19 (minora macierzy kwadratowej) Minorem Mik elementu aik nazywa się podwyznacznik powstały przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny Przykład:

Def. 20 (dopełnienia algebraicznego) Dopełnienie algebraiczne Aik elementu aik jest to minor Mik z odpowiednim znakiem: Aik=(-1)i+k Mik Przykład poprzedni: i=2, k=3, (-1) 2+3=-1, A23=-M23 Tw. 14 (rozwinięcie Pascala) Wyznacznik równa się sumie algebraicznej iloczynów elementów dowolnej kolumny (wiersza) przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne. (rozwinięcie względem i-tej kolumny) (rozwinięcie względem k-tego wiersza) Przykład: