Zasady arytmetyki dwójkowej

1 + 1 = 0 (oraz przeniesienie 1 na wyższą pozycję) Arytmetyka binarna Dodawanie dwójkowe Mnożenie dwójkowe 0 + 0 = 0 0 x 0 = 0 0 + 1 = 1 0 x 1 = 0 1 + 0 = 1 1 x 0 = 0 1 + 1 = 0 (oraz przeniesienie 1 na wyższą pozycję) 1 x 1 = 1

W dodawaniu dwójkowym trzy pierwsze wzory oraz wszystkie wzory mnożenia dwójkowego są takie same jak w systemie dziesiętnym dla cyfr 0 i 1, natomiast w dodawaniu dwójkowym 1 + 1 = 0 mamy przeniesienie wartości binarnej 1 o jedną binarną pozycję wyżej, tzn. 1+1=10(2) =1 x 21 + 0 x 20 = 2(10).

Przykłady działań arytmetyki dwójkowej: a) Dodawanie c) Mnożenie                         b) Odejmowanie

Dodawanie Dodawanie binarne polega dokładnie na tym samym, co dodawanie liczb dziesiętnych w słupkach. Dodajemy do siebie odpowiednie bity argumentów, następnie ustawiamy odpowiednio bit wyniku, zapisujemy ewentualne przeniesienie i przenosimy się do następnego bitu. 1 1 1 przeniesienie 1 1 1 1 1 A 1 1 1 B 1 1 1 1 1 A+B

Podstawowe operacje logiczne wykonywane przez procesor Oprócz działań arytmetycznych komputery potrafią wykonywać proste działania logiczne. Reguły rządzące logiką komputera są zdefiniowane przez dział nauki zwany logiką matematyczną (tzw. algebra Boole’a). Elementarne operacje wykonywane przez procesor na bajtach informacji w komputerze: NOT, AND, OR, +, - ,/ , *

Podstawowe operacje logiczne to: negacja logiczna (zaprzeczenie) NOT, suma logiczna (alternatywa) OR, iloczyn logiczny (koniunkcja) AND.

PRAWDA - FAŁSZ Operacje logiczne można wykonywać tylko na zdaniach logicznych. Nie każde zdanie poprawne w języku polskim jest poprawne w sensie logiki matematycznej - na przykład zdanie „Czy dzisiaj jest środa?” nie jest zdaniem logicznym, ponieważ nie można mu przyporządkować wartości: PRAWDY lub FAŁSZU. Poprawnym zdaniem logicznym może być następujące zdanie „Dzisiaj jest środa”.

Definicja: Zdaniem logicznym nazywamy takie zdanie gramatyczne oznajmujące, które może przyjmować jedną z dwóch wartości logicznych PRAWDĘ (1) lub FAŁSZ (0).

Negacja logiczna y = NOT x Tabelki funkcji logicznych: x y = NOT x 1 NOT jest operacją jednoargumentową. Jej wynik jest jedynką, gdy argument jest zerem i odwrotnie.

Wynik działania x OR y jest jedynką, gdy x albo y jest jedynką. Suma logiczna z = x OR y x y z = x OR y 1 Wynik działania x OR y jest jedynką, gdy x albo y jest jedynką.

Iloczyn logiczny z = x AND y 1 Dla dwóch liczb x i y wynik działania x AND y jest jedynką, gdy x i y są równe jedynce.

• Wynik operacji x XOR y jest jedynką, gdy x jest różne od y. XOR (suma wyłączna). x y x XOR y 1 • Wynik operacji x XOR y jest jedynką, gdy x jest różne od y.

Wykonanie operacji logicznej odpowiada po prostu wykonaniu tej operacji na poszczególnych bitach liczby. 190 = 10111110 8 = 00001000 AND = 8 190 AND 8 = 8: 25 OR 49 = 57: 25 XOR 49 = 40: 25 = 00011001 49 = 00110001 XOR 00101000 = 40 25 = 00011001 49 = 00110001 OR 00111001 = 57

Kod z uzupełnieniem do dwóch - U2 Kod U2 jest najczęściej spotykanym w obliczeniach na liczbach całkowitych ze znakiem. Umożliwia w jednoznaczny sposób zapisywanie liczb binarnych ujemnych. W kodzie U2 waga najstarszego bitu jest zawsze ujemna, np.: 1001U2= -23* 1 + 0* 22 + 0* 21 + 1* 20= -710 0110U2= -23* 0 + 1* 22 + 1* 21 + 0* 20= 610 Liczbę ujemną w kodzie U2 zapisuje się następująco: -a = a' + 1

Przykład: a= 01010U2= 1010NB= 1010 -a= 10101+1= 10110U2= -16+4+2= -1010 Nazwa systemu wzięła się ze sposobu liczenia liczby przeciwnej. Aby zamienić liczbę binarną na liczbę jej przeciwną w U2, trzeba wykonać dwa kroki:

KOD U2 dokonać inwersji bitów, czyli pozamieniać 0 na 1 i odwrotnie dodać 1 wg schematu: 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Przykład Dana jest liczba: 010010012 = 7310 Dokonujemy inwersji: 10110110 Dodajemy 1: 10110111U2 = -1 * 27 + 1 * 25 + 1 * 24 + 1 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = -7310