Testy nieparametryczne

Testy losowości Weryfikują hipotezę, że dobór jednostek do próby był jednakowy

Test serii Stevensa 1. Ho: Dobór jednostek do próby jest losowy H1:Dobór jednostek do próby nie jest losowy 2. Procedura testowa: 2a. Wyznaczamy na podstawie uporządkowanych danych medianę 2b. Danym nieuporządkowanym przyporządkowujemy następujące oznaczenia: A gdy x<Me B gdy x>Me 0 gdy x=Me (zera pomijamy w dalszej analizie) Statystyką testową jest liczba serii (k)

Seria – ciąg identycznych symboli (A lub B) np. AAAA B A BB k=4 AAA 0 A BBB 0 AA k=3

3. Ustalamy poziom istotności 4. Obszar krytyczny testu jest zawsze dwustronny. Odczytujemy z rozkładu liczby serii wartości krytyczne 5. Podejmujemy decyzję

Przykład 1: Wylosowano 12 spółek i zbadano cenę ich akcji (w zł). Otrzymano następujące wyniki: 74,5 191,0 55,5 5,15 36,4 35,0 46,0 10,9 7,35 6,65 173,5 26,0. Czy dobór spółek do próby był losowy? Wysuniętą hipotezę zweryfikuj na poziomie istotności 0,05.

Rozwiązanie: Ho: dobór jednostek do próby jest losowy H1:Dobór jednostek do próby nie jest losowy Wyznaczamy medianę: Poz. Me=(n+1)/2=6,5 Me=35,7 Danym pierwotnym przypisujemy litery A, B, 0 kolejnym obserwacjom

Obliczamy liczbę serii: k=8 Poziom istotności 0,05 Odczytujemy wartości krytyczne:

Porównujemy wartość statystyki z próby z wartościami krytycznymi: Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, która mówi, że dobór jednostek do próby był losowy. 3 10 8

Testy zgodności: Weryfikują hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego (rozkładu z próby losowej) z rozkładem teoretycznym (np. normalnym, dwumianowym itp.) lub inaczej ujmując – dotyczą postaci rozkładu badanej cechy w populacji.

Testy zgodności (normalności) 1. Test Kołmogorowa- Smirnowa (D) (próby małe n<100, zmienna ciągła) 2. Test  - Kołmogorowa (próby duże n100, zmienna ciągła) 3. Test 2 (wszystkie zmienne, szeregi rozdzielcze o dużych liczebnościach w przedziałach , próby duże)

Etapy testów zgodności (aproksymacja rozkładu normalnego): 1. Ustalamy parametry rozkładu normalnego 2. Standaryzujemy prawe (górne) granice przedziałów (poza ostatnim) 3. Odczytujemy wartości dystrybuant z tablicy rozkładu normalnego (jako ostatnią dystrybuantę przyjmujemy wartość 1) 4a. Z dystrybuant obliczamy skumulowane wartości teoretyczne (test Chi-kwadrat) lub 4b. Obliczamy dystrybuanty empiryczne (test Kołmogorowa)

Etapy testów zgodności (c.d.): 5. Obliczamy wartość statystyki testowej 6 a. Odczytujemy wartość krytyczną z tablic Lub 6 b. Obliczamy prawdopodobieństwo testu 7. Podejmujemy decyzję

Przykład 1:

Wiek w latach Liczba osób Z F(Z) nisk F(X)   15-25 2 -1,38 0,0833 0,1176 0,0343 25-35 3 -0,46 0,3224 5 0,2941 0,0283 35-45 6 0,46 0,6776 11 0,6471 0,0305 45-55 1,38 0,9167 16 0,9412 0,0245 55-65 1 x 17 1,0000 0,0000  Suma

0,206 0,0343 Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zgodności rozkładu wieku inwestorów z rozkładem normalnym.

Przykład 2: I sposób (test  - Kołmogorowa)

Wiek w latach Liczba osób Z F(Z) nisk F(X)   15-25 20 -1,38 0,0833 0,1176 0,0343 25-35 30 -0,46 0,3224 50 0,2941 0,0283 35-45 60 0,46 0,6776 110 0,6471 0,0305 45-55 1,38 0,9167 160 0,9412 0,0245 55 i więcej 10 x 1 170 1,0000 0,0000  Suma

1,36 0,447 Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zgodności rozkładu wieku inwestorów z rozkładem normalnym.

Przykład 2: II sposób (test Chi - kwadrat)

Wiek w latach Liczba osób Z F(Z)   15-25 20 -1,38 0,0833 14,16 28,25 25-35 30 -0,46 0,3224 54,81 40,65 22,14 35-45 60 0,46 0,6776 115,19 60,38 59,62 45-55 50 1,38 0,9167 155,84 61,50 55 i więcej 10 x 1 170 7,06  Suma 178,57 

1,36 8,57 Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o zgodności rozkładu wieku inwestorów z rozkładem normalnym.

Testy jednorodności Weryfikują hipotezę o zgodności dwóch rozkładów empirycznych ze sobą (oba rozkłady pochodzą z tej samej populacji)

Testy jednorodności Test serii Walda – Wolfowitza (próby niezależne, małe, dane szczegółowe) Test 2 (Snedeckora) (próby niezależne, duże, szeregi rozdzielcze o licznych przedziałach , wszystkie rodzaje cech) Test Kołmogorowa - Smirnowa () (próby niezależne, duże, tylko cechy ilościowe ciągłe) Test znaków (Dixona - Mooda) (próby zależne, małe, dane szczegółowe, cechy ilościowe ciągłe)

Przykład: Liczba zgonów niemowląt wg wieku w losowo wybranych próbach w 1989 roku i 1990 roku. Wiek Liczba niemowląt 1989 1990 0 dni 112 73 1-6 132 135 7-13 27 21 14-20 11 17 21-29 8 9 1-2 m-ce 28 26 3-5 24 37 6-11 Razem 366 339 Czy rozkłady zgonów niemowląt według wieku w obu badanych próbach są takie same? =0.05

Test jednorodności chi-kwadrat

Wiek Liczba niemowląt   1989 1990 0 dni 112 73 67,81 06-sty 132 135 65,26 13-lip 27 21 15,19 14-20 11 17 4,32 21-29 8 9 3,76 1-2 m-ce 28 26 14,52 05-mar 24 37 9,44 11-cze 12,80 Razem 366 339 193,10

14,067 0,018 Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o jednorodności rozkładu zgonów niemowląt.

Przykład:

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o identyczności rozkładów wagi przed i po kuracji. 2 4