Przepis na ciąg Klub Gimnazjalisty 07.01.2008 Słów kilka tytułem wstępu. Kilka pojęć (i definicji). Jeden ciąg (a w zasadzie jego fragment) - dwa przepisy. Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu. TABLICA RÓŻNIC ŚCIANA LICZB Coś dla rozluźnienia. Ciągi w szkole.

Ciąg mat. jednoznaczne przyporządkowanie zbiorowi liczb naturalnych elementów dowolnego zbioru, np. liczb, punktów, funkcji; oznacza się go: a1, a2, ..., an, ... lub {an}, lub też (an). Zbiór liczb naturalnych Zbiór SMAKÓW 1 2 3 4 5 6 M T P O C K

Ciąg liczbowy ciąg, którego wyrazami są liczby. Zbiór potęg kolejnych liczb naturalnych Zbiór liczb naturalnych 1 2 3 4 . 100 9 16 10000

Wypisanie wyrazów ciągu to jeden ze sposobów określania ciągów. Inne sposoby to: podanie wzoru na ogólny wyraz ciągu, Przykład: an = 3n – 2n podanie wzoru rekurencyjnego. Rekurencja lub rekursja (łac. recurrere – przybiec z powrotem) – to w matematyce i programowaniu odwołanie się do samej siebie. Każda definicja rekurencyjna potrzebuje przynajmniej jednego przypadku bazowego (nie rekurencyjnego). Wzór rekurencyjny – „taki przepis, który mówi jak z A otrzymać B, a z B otrzymać C i tak w nieskończoność”. Wzór rekurencyjny pozwala obliczyć wyraz ciągu na podstawie jednego lub kilku wyrazów poprzedzających go. Przykład: a1 = 1 an = an -1 + 2,

Jaki jest następny wyraz w ciągu: 3, 5, 7, …? Przykład 1. Jaki jest następny wyraz w ciągu: 3, 5, 7, …? Przepis 1 9 – są to kolejne liczby nieparzyste różne od 1 Przepis 2 11 – są to kolejne liczby pierwsze różne od 2

Pierwszą cyfrą jest 2, drugą 3, Przykład 2. Profesor Hugo Steinhaus zachęcał swoich uczniów do badania własności ciągu: 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, … Przepis 1 (przepis ten można znaleźć w książce „100 zadań”) Kolejny wyraz to 3. Pierwszą cyfrą jest 2, drugą 3, a kolejne są iloczynami dwóch poprzednich, z tym że w liczbie dwucyfrowej, cyfra dziesiątek i cyfra jedności stanowią kolejne dwa wyrazy ciągu. kolejne (czwarty i piąty) wyrazy ciągu to 1 oraz 8. Ciąg stworzony według tego przepisu ma więc postać: 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 8, 2, 4, 3, …

(przepis mojego autorstwa wymyślony przed sięgnięciem do w/w książki) Przykład 2.cd. 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, … Przepis 2 (przepis mojego autorstwa wymyślony przed sięgnięciem do w/w książki) Kolejny wyraz to 8. Pierwszą cyfrą jest 2, drugą 3. Następnie mnożymy dwa poprzednie wyrazy. Postępujemy tak do momentu, kiedy otrzymamy iloczyn dwucyfrowy, wtedy spisujemy dwie ostatnie cyfry parzyste i znów wykonujemy iloczyn dwóch ostatnich cyfr. Podobnie jak w poprzednim przepisie liczba dwucyfrowa jest „rozbijana” na dwa wyrazy ciągu. Ciąg stworzony według tego przepisu ma więc postać: 2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, 4, 8, 3, 2, 8, 2, 1, 6, 2, 6, 1, 2, 6, 2, 1, 2, 2, 2, 4, 8, 3, 2, 8, 2,…

Jaki jest następny wyraz ciągu: 1, 2, 4, 8, 16, …? Przykład 3. Jaki jest następny wyraz ciągu: 1, 2, 4, 8, 16, …? Przepis 1 32 – są to kolejne potęgi liczby 2. Przepis 2 31 – dlaczego?

TABLICA RÓŻNIC Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu. Zobaczmy to na przykładzie wcześniejszego ciągu 1, 2, 4, 8, 16, 31, … Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu? Można by policzyć ilość obszarów, jakie otrzymamy w kole, zaznaczając na okręgu 7 punktów. To bardzo pracochłonne i wymagające cierpliwości ćwiczenie, a co dopiero, gdyby ktoś zechciał otrzymać 20–ty wyraz tego ciągu. 

Szybkim (choć to oczywiście pojęcie względne) sposobem jest wspomniana już tablica różnic. Wypisujemy kolejne wartości naszego ciągu 1 2 4 8 16 31 Pod nim wypisujemy kolejne różnice 1 2 4 8 15 (wartość na każdej pozycji jest różnicą 1 2 4 7 dwóch liczb znajdujących się 1 2 3 bezpośrednio nad nią – prawa odjąć lewa) 1 1 Powtarzamy te czynności do momentu uzyskania w wierszu tych samych lub powtarzających się w określony sposób wartości (nie koniecznie jedynek!) - u nas wszystkie czwarte różnice są równe. Możemy przyjąć, że ten wzór będzie się powtarzał w nieskończoność. Dzięki temu dopisując kolejne jedynki i posuwając się do góry możemy odgadnąć następne wyrazy ciągu.

tablica różnic… 1 2 4 8 16 31 57 99 1 2 4 8 15 26 42 1 2 4 7 11 16 1 2 3 4 5 1 1 1 1

Prześledźmy tablicę różnic dla innego przykładu. Weźmy ciąg postaci: 1, 5, 13, 27, 48, 78, 118,… 1 5 13 27 48 78 118 170 235 4 8 14 21 30 40 52 65 4 6 7 9 10 12 13 2 1 2 1 2 1 W ostatnim wierszu nie pojawiają się te same wartości, ale łatwo zauważyć, że są to na przemian wielkości 2 i 1. Można wiec znów przypuszczać, że tak będzie w nieskończoność i posuwając się w górę, policzyć kolejne wyrazy. A jaki jest przepis na ten ciąg

Weźmy teraz tzw. ciąg Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Stwórzmy tablicę różnic dla tego ciągu: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 1 0 1 1 2 3 5 8 13 W ostatnim wierszu, od pewnego momentu pojawia się ten sam ciąg – ciąg liczb Fibonacciego, znów można podejrzewać, że tak będzie w nieskończoność. Jaki jest przepis na ciąg Fibonacciego? Dwa pierwsze wyrazy to jedynki. Każde kolejne wyrazy powstają jako suma dwóch poprzednich wyrazów. Jest to przykład tzw. reguły sznurowania.

ŚCIANA LICZB Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu. (inaczej tablica ilorazowo – różnicowa) Zobaczmy to na przykładzie ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… Jaki jest kolejny wyraz tego ciągu? Pierwszy wiersz ściany liczb to same jedynki 1 1 1 1 1 1 Pod nim umieszczamy „podejrzany” ciąg 1 1 2 3 5 8 Następne pozycje w tablicy oblicza się zgodnie z zasadą: dla każdej piątki sąsiednich liczb postaci: N W X E zachodzi X 2 = NS + EW S

W naszym przypadku mamy: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 8 a Jeśli pusty prostokącik oznaczymy przez a, zgodnie z powyższą regułą otrzymamy: stąd: Postępując tak dalej, otrzymamy tablicę postaci: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 8 -1 1 -1 1 0 0

Postępując tak dalej, otrzymamy tablicę postaci: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 8 -1 1 -1 1 0 0 Otrzymaliśmy wiersz samych zer. Jeśli tak się dzieję, to wyjściowy ciąg faktycznie powstaje przez „sznurowanie”: każdy jego wyraz jest sumą określonych wielokrotności poprzednich k wyrazów, gdzie k jest liczbą pośrednich wierszy w ścianie (pomiędzy górnym wierszem jedynek, a dolnym wierszem zer). Podobnie jak w przypadku tablicy różnic, mogę dopisując w ostatnim wierszu zero i „wracając” – oczywiście zgodnie z zasadą – otrzymać kolejne wyrazy ciągu.

Postępując tak dalej, otrzymamy ścianę postaci: Oznaczmy prawe puste miejsce przez b i zapiszmy zależność. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 8 -1 1 -1 1 b 0 0 0 Postępując tak dalej, otrzymamy ścianę postaci: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 8 13 21 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0

wymaga trochę więcej pracy, aniżeli „tablica różnic”, Widzimy, że „Ściana liczb” wymaga trochę więcej pracy, aniżeli „tablica różnic”, ale nie są to skomplikowane rachunki, więc obie te metody warto czasem znać, by nie szukać kolejnego wyrazu ciągu „na oślep”.

Jaki jest następny wyraz ciągu: Coś dla rozluźnienia. Przykład 1 Jaki jest następny wyraz ciągu: 0146483421, 1211301010, 3511000000, 6201010000,…? 6210001000 Dlaczego? Wyobraźmy sobie, że numery telefonów są dziesięciocyfrowe i nie muszą one zaczynać się w jakiś określony sposób (to trochę odbiega od rzeczywistości ). Jaki jest przepis na kolejne numery? Pierwszy numer wybieramy dowolnie, np.: 0146483421 Liczymy, ile razy w zapisie poprzedniego numeru występują cyfry 0,1,2,…9 (w tej kolejności), mamy więc: 1211301010 I dalej: 3511000000, 6201010000, 6210001000.

Jaki jest następny wyraz ciągu: Przykład 2 Jaki jest następny wyraz ciągu: Dlaczego? Wystarczy zaobserwować pewną ciekawą zależność: wyraz an jest najmniejszą liczbą o tej własności, że jest to n – ta potęga sumy cyfr tej liczby. Szukamy więc liczby, która ma tę własność po podniesieniu do siódmej potęgi.

Jaki jest następny wyraz ciągu: 2, 20, 22, 200, 202, 220, 222, 2000,…? Przykład 3 Jaki jest następny wyraz ciągu: 2, 20, 22, 200, 202, 220, 222, 2000,…? 2002 Dlaczego? Mamy ciąg liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … Zapiszmy te liczby w systemie dwójkowym (używamy do tego potęg liczby dwa), a następnie wykonajmy pewne przekształcenie, które zobrazuje tabelka.

Kolejne liczba naturalna w systemie dziesiętnym Przejście do systemu dwójkowego Kolejne liczba naturalna w systemie dwójkowym Poprzednia kolumna pomnożona przez 2 (mnożenie wykonujemy w systemie dziesiętnym) 1 2 10 20 3 11 22 4 100 200 5 101 202 6 110 220 7 111 222 8 1000 2000 9 1001 2002

W szkole ponadgimnazjalnej poznacie przede wszystkim Ciągi w szkole W szkole ponadgimnazjalnej poznacie przede wszystkim dwa rodzaje ciągów: ciągi arytmetyczne ciągi geometryczne. Definicja. Ciąg nazywamy arytmetycznym, jeżeli różnica między dowolnym wyrazem i wyrazem go poprzedzającym jest stała. Definicja. Ciąg nazywamy geometrycznym, jeżeli iloraz między dowolnym wyrazem i wyrazem go poprzedzającym jest stały (konieczne jest oczywiście założenie, że pierwszy wyraz musi być różny od zera). 7, 3, –1, –5, –9, –13, … 3, 6, 12, 24, 48, …

AHA, COŚ JESZCZE…

Jaki jest przepis na ciąg postaci: 6 32 12 8 14 27 13 8 ?

n - ty wyraz ciągu, to n - ta litera w alfabecie polskim, tzn n - ty wyraz ciągu, to n - ta litera w alfabecie polskim, tzn. a1 = a, a2 = ą, itd., więc:

6 32 12 8 14 27 13 8 d z i ę k u j ę