Przykładowe zastosowania równania Bernoulliego i równania ciągłości przepływu 1. Pomiar ciśnienia Oznaczając S - punkt spiętrzenia (stagnacji) strugi v=0, równanie Bernoulliego ma postać: (1)

Po obliczeniu ciśnienia w punkcie S (2) gdzie: - ciśnienie statyczne strugi niezakłóconej, - ciśnienie dynamiczne strugi niezakłóconej, - ciśnienie całkowite, zatem: (3)

Rurka Pitota m Z równania Bernoulliego: (4)

Z prawa naczyń połączonych, przy założeniu otrzymamy (5) skąd (6)

Z równania Bernoulliego: (7)

Po podstawieniu: otrzymamy (8) a po uproszczeniu (9)

Rurka Prandtla

(10) (11) (12) (13) (14) (15)

Zjawisko kontrakcji strugi (16) (17) ponieważ (18)

Zdefiniujmy współczynnik (19) Jeśli AC=A2 to =1 Ciśnienie w przekroju C wynosi (20) (21) (22) (23) Ciśnienie w przekroju C jest mniejsze niż ciśnienie w przewężeniu.

Zwężka pomiarowa – pomiar strumienia objętości

Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 (24) Z równania ciągłości przepływu otrzymujemy (25) definiując (26) gdzie: m – moduł zwężki, - przewężenie (27) Podstawiając równania (25-27) do (24) otrzymamy

Strumień objętości wynosi (28) (29) (30) (31) Strumień objętości wynosi (32)

- charakterystyka zwężki Zależność (32) nie uwzględnia strat oraz innych czynników wpływających na pomiar strumienia objętości. Stąd wprowadza się współczynnik korygujący wartość mierzonego strumienia objętości (33) (34) C – współczynnik przepływu zwężki (prawie stały), zależny od liczby Reynoldsa, rodzaju zwężki (kryza, dysza, zwężka Venturiego), modułu zwężki, punktów pomiaru ciśnienia, zaburzenia profilu prędkości, zjawiska kontrakcji. - charakterystyka zwężki dla kryz, dla dyszy i zwężek

WYPŁYWY PRZEZ OTWÓR I PRZYSTAWKI Wypływ ustalony przez mały otwór

Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 (35) stąd (36) Dla zbiornika otwartego, gdy pn=0, otrzymujemy wzór Torricellego w postaci: (37) Mały otwór – jest to otwór, którego rozmiary pionowe są wielokrotnie mniejsze niż głębokość na jakiej się znajduje h/d>10. Dla małego otworu v=const w całym jego przekroju poprzecznym.

Przystawki – ssące działanie strugi Wypływ cieczy ze zbiornika przez przystawkę walcową

Równanie Bernoulliego dla przekroju 1-1 i 2-2 przybiera postać (38) a równanie ciągłości (39) Po podstawieniu (9) i (8) i wyznaczeniu otrzymamy (40)

Wypływ ustalony cieczy przez duży otwór Duży otwór to jest otwór, którego wymiary pionowe są porównywalne z głębokością na jakiej się znajduje h/d<10.

Prędkość wypływu cieczy przez duży otwór określa wzór Torricellego (41) Przez elementarną powierzchnię (42) wypływa ciecz o elementarnym strumieniu objętości (43) Strumień objętości wypływającej przez całą powierzchnię A wynosi (44) Rzeczywisty strumień objętości wypływającej cieczy wynosi (45)

Dla otworu prostokątnego w pionowej ścianie zatem (46) Jeśli otrzymamy wzór dla przelewu prostokątnego (47)

Rys. Charakterystyka przepływu przelewu Przelewy wykorzystywane są do pomiaru strumienia objętości w przewodach (kanałach) otwartych - przelew nazywa się wówczas mierniczym. Przelew mierniczy musi spełniać następujące warunki: ostrobrzeżny (ostre krawędzie przelewu), odrywaniem strugi od przegrody (niezatopiony) przepływ musi być swobodny i odbywać się nad przegrodą całą jej szerokością, kształt przelewu musi być możliwie prosty. Rys. Charakterystyka przepływu przelewu

Czas wypływu przez mały otwór Rys. Wypływ przez mały otwór

Chwilowy strumień objętości cieczy wypływającej wynosi (48) Z porównania objętości cieczy wypływającej w czasie dt otrzymamy (49) skąd (50) a czas wypływu (51) (52)

W szczególnym przypadku dla całkowitego opróżnienia zbiornika równanie (52) ma postać (53) Na przykład dla zbiornika w kształcie walca otrzymamy i kołowego otworu wypływowego otrzymamy czas całkowitego opróżnienia (54) (55) ostatecznie (56)

Czas wypływu przez mały otwór z dopływającą cieczą

Bilans objętości: ciecz wypływająca ze zbiornika + zmniejszenie się poziomu cieczy w zbiorniku+ciecz dopływająca do zbiornika=0 (57) skąd (58) a czas wypływu (59) (60)

Czas wyrównania poziomu cieczy w dwóch zbiornikach (61) - objętość przepływającej cieczy pomiędzy zbiornikami w czasie dt (62) - objętość ubywającej i przybywającej cieczy w zbiornikach

(63) (64) (65) (66) (67) (68)

Porównując wzory (67-68) otrzymamy (69) (70) (71)

(72) (73)