Paradoks Mimas-Enceladus Abstract Deformacje pływowe mogą być w szczególnych przypadkach istotnym źródłem ciepła przewyższając radiogeniczne źródła ciepła. Ponieważ ciepło pływowe silnie i nieliniowo zależy od parametrów ciała i orbity prowadzi do paradoksów. Zjawisko takie obserwujemy na przykładzie Enceladusu i Mimasa – satelitów Saturna.

Źródła ciepła 4. Małe ciała tracą szybko swoje ciepło początkowe a ogrzewanie wskutek długożyciowych pierwiastków radioaktywnych jest mało wydajne i nie wystarcza do utrzymania aktywności nawet na największych satelitach lodowo-skalnych (patrz martwa Kallisto). Dlatego obserwowana aktywność przypisywana jest ogrzewaniu pływowemu. Tłumaczy to dobrze aktywność Io i Europy. W przypadku Mimasa i Enceladusa spotykamy się z kolejnym problemem.

Średniej wielkości satelity Saturna 1. Saturn ma 6 średniej wielkości satelity (MIS): Mimas, Enceladus, Tethys, Rhea, Dione, and Iapetus. Największa jest Rhea a najmniejszy Mimas. Wszystkie są sferycznymi ciałami zbudowanymi z mieszaniny skał krzemianowych i lodu (głównie lodu wodnego ale także z zamrożonych innych substancji lotnych jak amoniak). Składowa skalna ma prawdopodobnie skład chondrytów i charakterystyczną dla chondrytów produkcję ciepła radiogenicznego (w przybliżeniu średnią dla Ziemi). Składowa lodowa praktycznie pozbawiona jest pierwastków radioaktywnych i nie generuje ciepła. Jak więc widzimy wydajność radiogenicznych źródel ciepła na jednostkę masy w satelitach lodowo-skalnych jest mniejsza niż w Ziemi.

Podstawowe wzory Intensywność konwekcji charakteryzuje liczba Rayleigha. W przypadku ogrzewania od środka definiujemy ją jako: (1) gdzie r, , , , g, cp, k, q oznaczają odpowiednio: promień satelity, gęstość, współczynnik rozszerzalności cieplnej, lepkość, przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni, ciepło właściwe, współczynnik przewodnictwa cieplnego i średnią wydajność produkcji ciepła na jednostkę masy. Produkcja ciepła q jest dana przez: q=qrad + qtidal gdzie qrad i qtidal to uśrednione wydajności produkcji ciepła radiogeniczne i pływowe. Stosunek qtidal do q oznaczamy przez C=qtidal/q. Ciepło radiogeniczne można obliczyć przyjmując, że skalna składowa ma wydajność równą chondrytom– Table 1. Ogrzewanie pływowe ma postać znaną z poprzednich wykładów: (2) gdzie n średni ruch orbitalny, e mimośród orbity, Q bezwymiarowy współczynnik dyssypacji („dobroć”) ,  moduł ścinania (Peale 2003).

Mimas MIMAS Radius 199 km Density 1169 kg m-3 Dead body (only impact craters)

Labirynth Aladdin Samarkand Sulci Ali Baba Isbanir Fossa ENCELADUS Radius 249 km Density 1603 kg m-3 Active body Labirynth Aladdin Samarkand Sulci Ali Baba Isbanir Fossa Daryabar Fossa

Enceladus podczerwieni Enceladus jest najmniejszym ciałem w US, który wykazuje działalność wulkaniczną (zamiast lawy wylewa się woda!). Zdjęcia z sondy Cassini z 2005 r.

Dione (trailing hemisphere) Radius 559 km Density 1498 kg m-3 Recently active body (i.e. ciało było aktywne tektonicznie po Wielkim Bombardowaniu )

Dwa podstawowe układy konwekcyjne Sposób ogrzewania Radiogeniczne (jednorodne dla satelitów średniej wielkości) pływowe (niejednorodne i zorientowane względem planety – patrz wykład o grzaniu pływowym) Typowe układy komórek konwekcyjnych na małych i śednich liczb Rayleigha (1 komórka w kształcie pierścienia – lewa strona; dwie komórki – prawa strona). 2 cell pattern of convection with 2 downward currents and 1 upward current common for both cells 1 cell pattern of convection with 1 upward current and 1 downward current Convective cell and direction of flow Axis of symmetry of flow

Deformacje pływowe i ogrzewanie Patrz także wykład o grzaniu pływowym For a circular orbit the planet is fixed in respect to satellite (no tidal heating). For an eliptical orbit the planet oscillates in respect to satellite. Tidal deformations lead to tidal heating of the satellite’s interior.

Mimas-Enceladus-Dione Paradox Równanie (2) było użyte przez Peale et al. (1979) aby przewidzieć wulkanizm na Io. Jednak sytuacja satelitów Saturna jest bardziej skomplikowana. Porównajmy qtidal i liczbę Rayleigha Ratidal . Można to zrobić jeśli , Q, i  mają zbliżone wartości dla rozpatrywanych satelitów. Indeks ‘tidal’ w Ratidal oznacza, że do obliczenia Ra użyto tylko pływowych źródeł ciepła (nie zmienia to wniosków, jako że grzanie radiogeniczne jest za małe aby istotnie zmienić wartości liczb). Wyniki porównania są zaskakujące. Wartość qtidal dla martwego Mimas jest 42 razy wyższa niż qtidal dla aktywnego Enceladusa (jest to głównie wynikiem różnicy orbity obu satelitów). Porównanie liczb Ra nie wyjaśnia paradoksu; Ratidal dla Mimasa jest większe niż Ratidal dla Enceladusu. Zauważmy także, że Ratidal jest duże dla Dione (aktywnego w przeszłości ale obecnie martwego). Te sprzeczności oznaczają, że bardziej zaawansowany model jest konieczny. Model uwzględnia nie tylko zależne od temperatury , Q, i , ale także możliwe bifurkacje.

Oszacowania qtidal i Ra czyli Mimas-Enceladus-Dione Paradoks Mimas (martwy) qtidal=42 Ra_tidal/Ra_tidal_Ence=3.42 Enceladus (aktywny!) qtidal=1 Ra_tidal/Ra_tidal_Ence=1 Dione (aktywny w przeszłości ale obecnie martwy) qtidal=0.15 Ra_tidal/Ra_tidal_Ence=15.3

Do wyjaśnienia paradoksu próbujemy użyć parametrycznej teorii konwekcji Parametryczna teoria konwekcji dla konwekcji napędzanej ciepłem pływowym

Podstawa dla parametrycznej teorii konwekcji jest określenie zależnośći Nu(Ra). Do określenia Nu(ra) wykorzystujemy pełny 3D model numeryczny konwekcji ogrzewanej przez deformacje pływowe

Parametryczna teoria konwekcji dla ogrzewania pływowego Do wyjaśnienia paradoksu można użyć parametrycznej teorii konwekcji. Jak opisano to w jednym z poprzednich wykładów podstawą tej teorii jest zależność liczby Nusselta Nu od liczby Ra. Obecnie jednak używać będziemy liczby Rayleigha dla ogrzewania od wewnątrz czyli i liczba Nu zdefiniowana jest inaczej. Nu jest dane przez: Nu=(Tcond /Tconv) gdzie Tcond oznacza różnicę temperatury Tav-Ts bez konwekcji (to jest gdy tylko przewodnictwo cieplne przenosi ciepło) a Tconv = Tav-Ts jest różnicą z konwekcją (Tav to średnia temperatura wnętrza a Ts to temperatura powierzchni). Zależność Nu(Ra) została określona na podstawie 3D modelu konwekcji uwzględniającego ciepło radiogeniczne i pływowe (Czechowski and Leliwa-Kopystyński 2003). Zależność te daje wzór i rysunki (patrz 2 następne slajdy) (5) gdzie (C)=0.0663+0.0318C, (C ) =((C ))-(1/) i 0 < min    0.28. Równanie (5) przekształcamy do postaci (ρ gęstość, q wydajności źródeł ciepła, r promień satelity, k współczynnik przewodnictwa cieplnego: . (6)

Interpolation 1 do wzoru (5)

Interpolation2: do wzoru (5)

Podstawowe równanie modelu Podstawiając liczbę Ra daną wzorem (1) do (6) otrzymujemy podstawowe równanie dla naszej teorii: (7) gdzie Tav jest niewiadomą. Każde rozwiązanie rów. (7)odpowiada średniej temperaturze dla stacjonarnej konwekcji. Wielkości zależne od temperatury (q and  ) obliczane są używając Tav (Schubert et al. 2001). Zauważmy, że niektóre parametry są nieznane jak lepkość, Q i moduł ścinania dlatego też próbujemy uzgodnić obserwacyjne fakty z możliwymi wartościami tych parametrów. Jest to częste podejście w podobnych przypadkach, np. wiedząc, że Merkury jest w rezonansie spin-orbita 2:3 próbujemy jakie są właściwości jego wnętrza.

Właściwości wnętrza: Q(T), (T) i lepkość η The exact form of functions Q(T) and (T) are not known but we know that they are decreasing with T. We choose: Q(T)=Q0exp(Q/T) and (T)=0exp( /T). They are grouped into one function I(T)=Q(T) (T) in the form: (3) where I0 =Q00 and I, = Q +  . The rheology of icy satellites is complicated. The uppermost layer (‘lithosphere’) is elastic for small deformation and brittle for large deformations. The medium below the lithosphere is also solid but for very slow geologic processes it behaves like a viscous fluid with the viscosity given by: (4) where 0 is a constant,  is the second invariant of deviatoric stress tensor, i is the power law index (i=1 corresponds to a Newtonian fluid), E is the activation energy of the dominant mechanism of deformation, and R =8.314 [J K-1 mole-1] is the universal gas constant (McKinnon 1998; Goldsby and Kohlstedt 1997; Durham et al. 1998). Parameters 0, E and i depend on many factors; e.g. size of ice crystal, content of gases, size of mineral grains etc., most of them are essentially unknown. Therefore we assume that 0 and E are just parameters of the model. We also assume that i=1 because non-Newtonian flow could be simulated by Newtonian flow with lower E (Christensen 1984; Dumoulin 1999).

Zależność modelu od parametrów Powyższe wzory wprowadzają 5 nieznanych parametrów do modelu: 0 , E, I0, I,  . Rozwiązania rów (7) zależą od wartości tych parametrów: Nastepny slajd pokazuje przykład rozwiązania, które wyjaśnia paradoks Mimas-Enceladus. Widzimy, że Rów. (7) posiada kilka stacjonarnych rozwiązań, czyli że dane ciało niebieskie może być w różnych stanach termicznych zależnie o jego historii. Nas interesują możliwe wielokrotne rozwiązania dla Enceladusa. Rzeczywiście dla pewnych zakresów parametrów 0 , E, I0, I,  Enceladus mógłby występować w specyficznym wysokotemperaturowym stanie odpowiadającym jednemu z rozwiązań Rów. (7). Pokazuje to górny rysunek na następnym slajdzie. Jednocześnie dla tych samych wartości parametrów Mimas może występować jedynie w jednym z dwóch niskotemperaturowych rozwiązań. Jak można się zorientować silna nieliniowość i ostatecznie istnienie kilku możliwych stacjonarnych stanów cieplnych jest wynikiem silnej zależności pływowej produkcji ciepła od temperatury.

Nisko temperaturowe stabilne „podstawowe” rozwiązanie Wysoko temperaturowe „wzbudzone” stabilne rozwiazanie Figure 1 Wykres F(Tav - Ts) dla dwóch kompletów parametrów Obie osie w Kelvinach. Oznaczenia: Mi - Mimas, En – Enceladus, Te – Tethys, Di – Dione, Rh – Rhea, Ia – Iapetus. Przecięcia wykresów z zerem (linia przerywana) odpowiadają rozwiązaniom Eq. (7). Każdy satelita ma przynajmniej 1 rozwiązanie , Mimas ma 2 rozwiązania dla obu kompletów parametrów, Enceladus ma 3 rozwiązania dla Rys. a i 1 rozwiązanie dla Rys. b. Niestabilne rozwiazanie Ten przypadek nie spełnia narzuconych ograniczeń, więc wartości parametrów tutaj użytych należy odrzucić

Jedno z rozwiązań paradoksu For Enceladus (excited state): Tav-Ts = 117 K Ra= 1.40E+5 q total= 8.08E-11 W/kg C=q tidal/ q total= 0.96 For Mimas (basic state): Tav-Ts = 2.51 K Ra= 1.79E-10 q total= 2.04E-12 W/kg C=q tidal/ q total= 0.24 For Dione (basic state): Tav-Ts = 31.5 K Ra= 9.00E-3 q total= 3.03E-12 W/kg C=q tidal/ q total= 0.03

Wnioski W przypadku ogrzewania pływowego Każdy satelita ma niskotemperaturowe rozwiązanie rów. (7) odpowiadające niskiej produkcji ciepła. Taki stan można uznac za podstawowy. Niektóre satelity mają dodatkowo rozwiązania wysokotemperaturowe odpowiadające wysokiej produkcji ciepła pływowego. Te stany można nazywać „wzbudzonymi stanami”. W którym stanie znajdzie się dany satelita zależy m.in. od warunków początkowych. Można przypuszczać, że Enceladus znalazł się w rezonansie orbita-orbita w czasie gdy jeszcze był dosyć gorący. Spowodowało to dosyć silne grzanie pływowe, które dzięki rezonansowi trwa do chwili obecnej. Mimas mógł znaleźć się w rezonansie później gdy był już zimny. Niska temperatura oznacza wysokie wartości Q i μ czyli niską produkcję ciepła pływowego. Dlatego obecnie mimo orbity z względnie dużymi mimośrodem e i n grzanie pływowe w Mimasie jest małe. Możliwe jest też, że Enceladus został w pewnym etapie rozgrzany wskutek wielkiego uderzenia meteoroidu. Zwiększenie temperatury zaowocowało zwiększeniem grzania pływpwego i ustalenia się wysokiej temperatury.