GEOSTATYSTYKA Wykład dla III roku Geografii specjalność - geoinformacja Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM

Semiwariogram empiryczny a potrzeby estymacji Semiwariogram empiryczny jest: nieciągły (dyskretny) chaotyczny

Kryterium połowicznej pozytywnej określoności (ang Kryterium połowicznej pozytywnej określoności (ang. positive semidefinite) Estymowane lub symulowane wartości są w geostatystyce traktowane jako zmienne losowe będące liniową kombinacją innych znanych zmiennych losowych. Wariancja zaś jakiejkolwiek liniowej kombinacji Y zmiennych losowych Z(u), u  A, jest wówczas liniową kombinacją wartości kowariancji owych zmiennych i musi nieujemna (ang. non-negative) Spełnienie tego warunku jest możliwe tylko przy zastosowaniu takich funkcji kowariancji C(h), nieparametrycznych czy też parametrycznych, które są pozytywnie połowicznie określone. dla jakiejkolwiek z wybranych n lokalizacji u  A i dla jakiejkolwiek wagi 

Kryterium połowicznej pozytywnej określoności (ang Kryterium połowicznej pozytywnej określoności (ang. positive semidefinite) Stosowanie interpolowanych / ekstrapolowanych wartości empirycznych miar struktury przestrzennej nigdy nie gwarantuje, że obliczenia estymacji / symulacji dadzą jakikolwiek wynik. Gwarancję taką można mieć jedynie przy zastosowaniu modelu matematycznego o takiej postaci, który jest z góry pozytywnie połowicznie określony. Modele takie określa się jako dozwolone (ang. permissible).

Model nuggetowy (losowy) Gaussowska symulacja bezwarunkowa dla zmiennej o średniej 0 i wariancji nuggetowej równej 10

Model sferyczny o zasięgu a Gaussowska symulacja bezwarunkowa dla zmiennej o średniej 0 i zasięgu rzeczywistym (a) równym 10 i wariancji progowej równej 10

Model wykładniczy o zasięgu praktycznym a Gaussowska symulacja bezwarunkowa dla zmiennej o średniej 0 i zasięgu praktycznym (a) równym 10 i wariancji progowej równej 10

Model gaussowski o zasięgu praktycznym a Gaussowska symulacja bezwarunkowa dla zmiennej o średniej 0 i zasięgu praktycznym (a) równym 10 i wariancji progowej równej 10

Model liniowy z wariancją progową o zasięgu rzeczywistym a Gaussowska symulacja bezwarunkowa dla zmiennej o średniej 0 i zasięgu rzeczywistym (a) równym 10 i wariancji progowej równej 10

Model potęgowy

Porównanie kształtu najczęściej wykorzystywanych modeli

Symulacja warunkowa: zmienna b1_03b różne modele struktury – te same parametry (zasięg, wariancja progowa)

Liniowy model regionalizacji W wielu sytuacjach, aby odwzorować dokładnie kształt semiwariogramu empirycznego konieczne jest połączenie dwóch, lub większej ilości modeli podstawowych g(h). Nie wszystkie kombinacje dopuszczalnych modeli dają w efekcie funkcję dopuszczalną, to znaczy z nieujemną wariancją. Najprostszym sposobem utworzenia modelu dopuszczalnego jest stworzenie najpierw funkcji losowej. Semiwariogram takiej funkcji jest z definicji dopuszczalny

Liniowy model regionalizacji Praktycznie rzecz biorąc konieczne jest spełnienie dwóch warunków tak zwanego liniowego modelu regionalizacji (ang. linear regionalisation model): wszystkie użyte w modelu złożonym podstawowe funkcje gl(h) muszą być dopuszczalne, wariancja progowa bl każdego podstawowego modelu semiwariogramu musi być dodatnia, a wówczas: Model złożony (h) jest w takiej sytuacji wyrażony jako pozytywna liniowa kombinacja podstawowych modeli semiwariogramów gl(h). W literaturze przedmiotu popularna jest jego także alternatywna nazwa: „nested model” czyli model zagnieżdżony.

Liniowy model regionalizacji

Liniowy model regionalizacji – zmienna b1_03b

Liniowy model regionalizacji – zmienna b1_03b

Model zmiennej b1_03b - anizotropia Powierzchnia modelu semiwariogramu bezkierunkowego (izotropowego) Powierzchnia semiwariogramu empirycznego

Model zmiennej b1_03b - anizotropia Powierzchnia modelu semiwariogramu anizotropowego Powierzchnia semiwariogramu empirycznego

Model zmiennej b1_03b - anizotropia gamma (h) = 18 + 75Sph(88) + 69Sph(632) dir(1) = 62°, ani(1) = 1,6; dir(2) = 306°, ani(2) = 0,49 325° 55° 10° 280°

Zmienna b3n_03b – anizotropia gamma(h) = 52,1 + 67,0Sph(104) + 67,1Sph(680) dir(1) = 59°, ani(1) = 7,6 dir(2) = 263°, ani(2) = 0,44 Powierzchnia semiwariogramu empirycznego

Zmienna b1-b3n_03b – anizotropia gamma(h) = 21,6 + 54,4Sph(97) + 60,0Sph(621) dir(1) = 61°, ani(1) = 16,0 dir(2) = 256°, ani(2) = 0,42 Powierzchnia semiwariogramu empirycznego

Spitsbergen – zmienna b1_03b Powierzchnia rzeczywista Interpolacja – zwykły kriging (OK)

Spitsbergen – zmienna b1_03b Powierzchnia rzeczywista Błędy geometryczne interpolacji OK

Spitsbergen – zmienna b1_03b Interpolacja coOK z wykorzystaniem skorelowanych danych ilościowych (dodatkowe 100 punktów) Powierzchnia rzeczywista

Spitsbergen – zmienna b1_03b Powierzchnia rzeczywista Błędy geometryczne interpolacji coOK

Podstawowe zasady przed tworzeniem liniowego modelu koregionalizacji Semiwariogramy i kros semiwariogramy empiryczne będące podstawą szacowania LCM muszą być obliczane dla tej samej ilości i wielkości odstępów i dla tych samych kierunków. Sporządzenie LCM dla Nv cech wymaga jednoczesnego modelowania Nv(Nv+1)/2 semiwariogramów i kros semiwariogramów. Najwyższą, decydującą wagę przy podejmowaniu decyzji o postaci LCM ma forma semiwariogramu zmiennej pierwotnej, czyli tej, która ma być estymowana.

Liniowy model koregionalizacji (LCM) LCM jest zdefiniowany jako zbiór Nv  Nv modeli semiwariogramów i kros semiwariogramów ij(h), takich że: gdzie każda funkcja gl(h) jest dopuszczalnym modelem semiwariogramu, i (L+1) macierzy współczynników stanowiących sill lub nachylenie modelu gl(h) są wszystkie połowicznie pozytywnie określone.

Kryterium połowicznej pozytywnej określoności macierzy (positive semi-definite) Symetryczna macierz jest połowicznie pozytywnie określona jeśli jej wyznacznik oraz wszystkie jej główne podwyznaczniki nie są ujemne. Przykładowy liniowy model koregionalizacji dla Nv=3: Każda macierz koregionalizacji Bl jest połowicznie określona pozytywnie jeśli spełnione jest następujących siedem nierównosci

Kryterium połowicznej pozytywnej określoności macierzy (positive semi-definite) Wszystkie elementy przekątnej nie są negatywne: Wszystkie główne podwyznaczniki stopnia 2 nie są negatywne:

Kryterium połowicznej pozytywnej określoności macierzy (positive semi-definite) Wyznacznik stopnia 3 nie jest negatywny:

Pojęcie struktura oznacza: (a) typ modelu, (b) zasięg, (c) kierunek Podstawowe zasady w trakcie tworzeniem liniowego modelu koregionalizacji Każda elementarna struktura pojawiająca się na kros semiwariogramie ij(h) musi istnieć w obu modelach semiwariogramów jednostkowych ii(h) i jj(h). Jeśli elementarna struktura gl(h) nie występuje na semiwariogramie jednostkowym danej zmiennej, to musi być ona nieobecna także na wszystkich kros semiwariogramach zawierających ową zmienną.

Pojęcie struktura oznacza: (a) typ modelu, (b) zasięg, (c) kierunek Podstawowe zasady w trakcie tworzeniem liniowego modelu koregionalizacji Każdy model jednostkowego czy też kros semiwariogramu ij(h) nie musi zawierać wszystkich (L + 1) elementarnych struktur. Struktura gl(h) pojawiająca się na obu semiwariogramach jednostkowych ii(h) i jj(h) nie musi być obecna na kros semiwariogramie ij(h) obu zmiennych.

b1_03b gamma(h) = 19,63563 + 78,41449Sph(95) + 76,70560Sph(620) b3n_03b gamma(h) = 54,82879 + 48,98145Sph(95) + 91,90548Sph(620) b1-b3n_03b gamma(h) = 16,46937 + 53.95995Sph(95) + 77,51083Sph(620) Najlepiej dopasowane modele izotropowe dla cech b1_03b i b3n_03b tworzone jednocześnie zgodnie z zasadami LCM Najlepiej dopasowane modele izotropowe dla cech b1_03b i b3n_03b tworzone niezależnie b1_03b gamma(h) = 18,0 + 78,0Sph(95) + 82,0Sph(628) b3n_03b gamma(h) = 50,0 + 49,0Sph(84) + 96,5Sph(589) b1-b3n_03b gamma(h) = 22,0 + 52,8Sph(150) + 72,0Sph(587)

Testowanie kryterium połowicznej pozytywnej określoności macierzy współczynników b1_03b gamma(h) = 19,63563 + 78,41449Sph(95) + 76,70560Sph(620) b3n_03b gamma(h) = 54,82879 + 48,98145Sph(95) + 91,90548Sph(620) b1-b3n_03b gamma(h) = 16,46937 + 53.95995Sph(95) + 77,51083Sph(620) Macierz współczynników struktury nuggetowej Macierz współczynników 1 struktury sferycznej Macierz współczynników 2 struktury sferycznej

Testowanie kryterium połowicznej pozytywnej określoności macierzy współczynników 3 pierwsze nierówności są spełnione ponieważ wszystkie elementy przekątne każdej macierzy nie są negatywne.

Model „zwykły” a model LCM – b1_03b

Model „zwykły” a model LCM – b3n_03b

Uproszczony model koregionalizacji LCM jest bardzo skomplikowany; wymaga poszukiwania optymalnego rozwiązania metodą prób i błędów, albo posiadania oprogramowania wykonującego to zadanie metodą iteracyjną opracowaną na początku lat 90-tych XX wieku (Goulard, Voltz 1992, program LCMFIT2) W ostatnim 15-leciu opracowano dwa uproszczone modele koregionalizacji szczególnie przydatne do kokrigingu kolokacyjnego (Almeida, Journel 1994, Journel 1998)

Uproszczony model koregionalizacji: model Markova I (MM1) W modelu Markowa I przyjmuje się następujące założenie dotyczące kroskorelogramu dwóch zmiennych Z i Y: gdzie z(h) = Cz(h)/Cz(0) jest korelogramem zmiennej pierwotnej, a zy(0) jest współczynnikiem korelacji pomiędzy zmienną pierwotną a wtórną określonym z par danych obu zmiennych znajdujących się w tej samej lokalizacji {z(ua), y(ua)}

Uproszczony model koregionalizacji: model Markova I (MM1) Do wykonania estymacji metodą kokrigingu przy użyciu modelu 1 Markova potrzebne są zatem jedynie: model semiwariancji zmiennej pierwotnej, współczynnik korelacji liniowej zmiennej pierwotnej z wtórną, wariancja zmiennej wtórnej. Model struktury przestrzennej zmiennej wtórnej jest obliczany na podstawie podanych wcześniej wzorów

Uproszczony model koregionalizacji: model Markova II (MM2) W modelu Markowa II przyjmuje się następujące założenie dotyczące kroskorelogramu dwóch zmiennych: gdzie y(h) = Cy(h)/Cy(0) jest korelogramem zmiennej wtórnej, a zy(0) jest współczynnikiem korelacji pomiędzy zmienną pierwotną a wtórną określonym z par danych obu zmiennych znajdujących się w tej samej lokalizacji {z1(ua), y2(ua)}

Uproszczony model koregionalizacji: model Markova I (MM1) Do wykonania estymacji metodą kokrigingu przy użyciu modelu 1 Markova potrzebne są zatem jedynie: model semiwariancji zmiennej wtórnej, model semiwariancji zmiennej pierwotnej, współczynnik korelacji liniowej zmiennej pierwotnej z wtórną, Ponieważ modele struktury przestrzennej zmiennej pierwotnej i wtórnej muszą być spójne z ich kroskorelogramem modelowanie dla zmiennej pierwotnej powinno być wykonywane przy pomocy liniowej kombinacji modelu zmiennej wtórnej i jakiegokolwiek innego dopuszczalnego modelu R(h):

Uproszczony model koregionalizacji: model Markova I (MM1) Zasady tworzenia modelu struktury przestrzennej zmiennej pierwotnej: gdzie R(h) jest potrzebne do wprowadzenia do modelowania Cz(h) odpowiedniej liczby stopni swobody. Przy użyciu semiwariogramów zapisuje się to poniższy sposób: gdzie Cz(0) i Cy(0) to wariancje zmiennych pierwotnej i wtórnej, a R(h) to dowolny dozwolony model semiwariogramu z jednostkową wariancją progową.