ANALIZA SYSTEMOWA PODEJMOWANIE DECYZJI Paweł Akielaszek 139987 Konrad Zaleski 140167

Plan prezentacji Analiza systemowa Vs. podejmowanie decyzji Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Przypadek ciągły Przypadek dyskretny Przykład rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów + wykresy Gantt’a Podsumowanie Literatura

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji obiekt / system WE WY

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Dane: model systemu wartość WE Є U (zbiór możliwych decyzji) Dane: model systemu pożądana wartość WY U (zbiór możliwych decyzji) Szukane: wartość WY Szukane: wartość WE (taka, że na WY uzyskamy pożądaną wartość)

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji modele Φ(u) y modele Φ(u) Szukane Dane u u Dane Szukane zawsze mamy rozwiązanie może nie mieć rozwiązania

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Trzy typowe zadania podejmowania decyzji - w odniesieniu do celu (efektu), pożądanych własności - 1o y*  (y = yR) rozwiąż równanie (układ równań) 2o y*  (yRmin ≤ y ≤ yRmax) rozwiązanie nierówności (układ nierówności) 3o y*  ( ekstremum y) MAX lub MIN rozwiąż zadanie optymalizacyjne

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji 1o y*  (y = yR) rozwiąż równanie (układ równań) y* u* y*  pożądana wartość u*  decyzja zapewniająca uzyskanie y*

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji 2o y*  (yRmin ≤ y ≤ yRmax) rozwiązanie nierówności (układ nierówności) nie ma rozwiązania yRmax yRmax yRmin yRmin u* u*I u*Il

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji 3o y*  ( ekstremum y) rozwiąż zadanie optymalizacyjne ymax ymax u* max u*max u

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Przykłady Dane: model systemu y = 2u2 + 3 zbiór możliwych decyzji U = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5} 1o y*  (y = 4) 2o y*  (2 ≤ y ≤ 4) 3o y*  (max y) Szukane: decyzja (u* Є U)  (y Є y*)

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Przykład nr 1 – pożądane wyjście to KONKRETNA WARTOŚĆ Ad. 1o y*  (y = 4): y = 2u2 + 3 y = y* = 4 2u2 + 3 = 4 2u2 = 1 u2 = ½ Rozwiązanie: u* = kandydaci: u* = { , }

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Przykład nr 2 - posiadane wyjście to WARTOŚĆ Z ZAKRESU Ad. 2o y*  (2 ≤ y ≤ 4): y = 2u2 + 3 y ≤ 4 y ≥ 2 u ≤ 2,5 u ≥ 0,5 po analizie: u* = { 0,5 ≤ u ≤ } u*

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA Ad. 3o y*  ( min y ): y = 2u2 + 3 U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 } 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -3 -2 -1 1 2 3

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA Ad. 3o y*  ( min y ): y = 2u2 + 3 U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 } y’(u) = 4·u 4·u = 0  umin = 0 umin Є { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 } 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,5 2,5 -3 -2 -1 1 2 3 u*

Analiza systemowa Vs. Podejmowanie decyzji Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA Ad. 3o y*  ( min y ): y = 2u2 + 3 U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 } y’(u) = 4·u 4·u = 0  umin = 0 umin Є { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 } u* = umin = 0,5 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0,5 2,5 -3 -2 -1 1 2 3 u*

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Rozważmy PRZYPADEK CIĄGŁY: cel - minimalizacja tF założenia: Z - zbiór zadań R - liczba realizatorów decyzje:

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów efekt: tF = max {T1,T2,..TR} okoliczności (zakłócenia) T1 Φ1 ψ Algorytm decyzyjny y* = min y u T2 tF=y Φ2 max U … T3 (zbiór możliwych decyzji) ΦR modele czasowe Φ Ti = αi · uiγi α, γ – parametry modelu

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Przykład jak ustala się U Z = 4 – ilość zadań R = 3 – ilość realizatorów N = 15 – ilość możliwych kombinacji u2 u1 = 2 u2 = 1 u3 = Z – (u1 + u2) = 1 4 3 2 1 u1 1 2 3 4

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Zagadnienie: wyznaczanie decyzji u, czyli przydział zadań między realizatorów Dane: (I) zbiór decyzji U zależny od R oraz Z (Z – zbiór zadań, R – liczba realizatorów) (II) czasowe charakterystyki realizatorów (modele wielomianowe) Ti = αi · uiγi (i=1, 2, …, R) Szukane: jak wyznaczyć (u* Є U)  y=y* czyli tF(u)  tF(u*)  min tF(u)

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Rozwiązanie: (1) REALIZATORY RÓŻNORODNE (ogólny) γi – różne, αi – różne * korzystamy z „idei”: tF min jeśli T1=T2=…=TR ** układ równań: T1 = T2  α1 · u1γ1 = α2 · u2γ2 T2 = T3  α2 · u2γ2 = α3 · u3γ3 … TR-1 = TR  αR-1 · uR-1γR-1 = αR · uRγR chcemy aby wszystkie realizatory skończyły pracę w tym samym czasie

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Rozwiązanie: (2) REALIZATORY JEDNORODNE γ1 = γ2 = … = γ, αi – różne ψ  ui = ψ (Z, R, γ, {α1, α2,…, αR}) Algorytm podejmowania decyzji:

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Rozwiązanie: (3) REALIZATORY LINIOWE γ = 1, αi – różne Algorytm podejmowania decyzji:

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Przykład zadania z realizatorami liniowymi: Dane: Z=4, R=3 oraz α1=10, α2=7.5, α3=10 Aby rozwiązać zadanie podstawiamy odpowiednie wartości do wzoru: Po obliczeniu otrzymujemy rozwiązanie:

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Rozważmy PRZYPADEK DYSKRETNY (realizatory liniowe): Model czasowo - kosztowy T1 α1 y1=tF Algorytm decyzyjny cel: min J(tF, KF) β1 max T2 α2 K2 U (zbiór decyzji) β2 … TR αR + K1 + y2=KF βR KR + modele {αi}, {βi}

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Model czasowy (realizatora) Ti = αi · ui Model kosztowy (realizatora) Ki = βi · ui

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów System ma dwa wyjścia: y1 = tF = max {Ti}R oraz y2 = KF = Problem: jak wyznaczyć najlepszą decyzję? wskaźniki jakości (J)

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Wskaźniki jakości: J (u) = J ( tF(u), KF(u) ) 1o J (u) = tF(u) · KF(u) 2o J (u) = tF(u) + иKF(u) и – współczynnik wagowy (a) и  0 => J(u) ≈ tF(u) (b) и  ∞ => J(u) ≈ KF(u) (c) и  1 => J(u) = tF(u) + KF(u) 3o (a) ( min tF(u) ) ^ ( KF(u) ≤ Kkryt ) (b) ( min KF(u) ) ^ ( tF(u) ≤ tkryt )

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Przykład systemu z rozdziałem zadań w układzie równoległych realizatorów, wyliczanie J Czas α1=10 α2=5 α3=10 Koszt = spalanie β1=1 β2=2 β3=3 Zadanie: rozwieźć 4 pizze. Jak rozdzielić zadania na dostawców aby wskaźnik jakości był jak najmniejszy?

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 40 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 40 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 40 160 44 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 40 160 44 2. 3 1 30 5 2 150 35 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 40 160 44 2. 3 1 30 5 2 150 35 3. 10 6 180 36 4. 20 120 26 5. 7 140 27 6. 8 28 7. 15 105 22 8. 80 18 9. 9 29 10. 200 11. 12. 135 24 13. 14. 11 330 41 15. 12 480 52

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów α1=10 α2=5 α3=10 β1=1 β2=2 β3=3 Lp u1 u2 u3 T1 T2 T3 Tf K1 K2 K3 Kf Tf(u)*Tk(u) Tf(u)+Tk(u) 1. 4 40 160 44 2. 3 1 30 5 2 150 35 3. 10 6 180 36 4. 20 120 26 5. 7 140 27 6. 8 28 7. 15 105 22 8. 80 18 9. 9 29 10. 200 11. 12. 135 24 13. 14. 11 330 41 15. 12 480 52

Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów Wykresy Gantt’a –przykładowe ilustracje dla wybranych decyzji: (5) (6) (8) (9) R1 R2 R3 R1 R2 R3 tF = 20, tN = 15 tF = 20, tN = 20 R1 R2 R3 R1 R2 R3 tF = 20, tN = 15 tF = 10, tN = 0 Wykresy Gantt'a pokazują na osi czasu rozdział zadań na poszczególne realizatory. Możemy odczytać czas pracy systemu (tF) oraz czas pusty (tn).

Podsumowanie Omówione zagadnienia: Różnice między analizą systemowa a podejmowaniem decyzji, 3 typowe zadania podejmowania decyzji (rozwiązanie równania, nierówności i zad. optymalizacyjnego) Problem rozkładu zadań w ukł. równoległych realizatorów przypadek ciągły przypadek dyskretny Czym jest wskaźnik jakości i kiedy jest nam potrzebny + przykład zadania Wykresy Gantt’a – obrazowe przedstawienie czasu pracy realizatorów i systemu

Literatura [1] Notatki z wykładów dr inż. Leszek Koszałka [2] Wikipedia www.wikipedia.org [3] Wykresy Gantt’a www.ganttchart.com