WITAM NA KAPITALNYCH ZAJĘCIACH Człowiek – najlepsza inwestycja WITAM NA KAPITALNYCH ZAJĘCIACH Projekt współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Człowiek – najlepsza inwestycja Zajęcia wyrównawcze z fizyki - ćwiczenia BLOK I: Mechanika (Kinematyka i dynamika. Praca, energia i moc. Zasada zachowania energii. Pole grawitacyjne). Mechaniczne i termodynamiczne właściwości ciał. Prowadzący - F3: dr Edmund Paweł Golis Instytut Fizyki Konsultacje stałe dla studentów: środa 9-12 pokój 008 budynek B1 parter oraz uzgadniane indywidualnie poprzez e-mail: e.golis@ajd.czest.pl lub gg 7974708 lub tel: 601 98 88 95, 601 98 88 98 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Wielkości fizyczne i układ jednostek Jednostkami podstawowymi w Międzynarodowym Układzie Jednostek Miar (SI) są: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), amper (A), kelwin (K), mol (mol) oraz kandela (cd). Jednostkami uzupełniającymi są: radian (rad), steradian (sr). Używamy następujących przedrostków do wyrażania wielokrotności i podwielokrotności jednostek miar:

Zadanie 1 Dokonaj analizy wymiarowej równania Clapeyrona (równanie stanu gazu doskonałego). Zadanie 2 Wyraź wybrane jednostki pochodne za pomocą jednostek podstawowych:

Kinematyka. Tor, droga i przemieszczenie Torem ruchu nazywamy krzywą jaką zakreśla wybrany punkt ciała podczas ruchu. Krzywa ta jest parametryzowana czasem. Droga jest długością toru między dwoma punktami określonymi przez wybranie chwil czasowych. Jest więc ona wielkością skalarną. Znaczenie fizyczne pojęcia drogi jest zbliżone do tego, z jakim spotykamy się w życiu codziennym. W odróżnieniu od drogi, przemieszczenie jest wektorem, określonym przez położenia punktów krańcowych. Jeżeli ciało, po pokonaniu pewnej drogi, wraca do punktu startowego, to przemieszczenie jest równe zeru, chociaż droga jest różna od zera.

Zadanie 3 Samochód jedzie z miejscowości A do miejscowości B oddalonej o 10 krn, a następnie wraca do miejscowości C oddalonej od A o 4 km. Oblicz drogę przebytą przez samochód oraz jego przemieszczenie. Załóż, że wszystkie miejscowości leżą na jednej prostej. Zadanie 4 Jaką drogę przebędzie zawodnik po przebiegnięciu 25 okrążeń stadionu? Ile wynosi jego przemieszczenie? Załóż, że długość bieżni na stadionie wynosi 400 m. Zadanie 5 Zawodnik skaczący wzwyż pokonuje wysokość 2 m. Oblicz minimalną drogę jaką przebędzie jego but, jeżeli odbije się on w odległości 0,8 m przed poprzeczką, a opadnie w odległości 0,6 m za poprzeczką na materac, którego grubość, liczona od podłoża wynosi 0,7 m. Ile wynosi przemieszczenie w tym ruchu? Opisz, jakie przyjąłeś dodatkowe założenia.

Prędkość Prędkość jest wielkością wektorową i wyrażamy ją jako stosunek przemieszczenia do czasu: Ponieważ przemieszczenie zależy od czasu, więc szczególnego znaczenia nabiera przedział czasowy, dla którego jest ono obliczane. Zdefiniowana za pomocą powyższego wzoru prędkość nosi nazwę prędkości średniej w przedziale czasu r. Dla bardzo małych przedziałów czasowych (tj. w granicy t dążącego do zera) prędkość staje się niezależna od tego przedziału i nosi nazwę prędkości chwilowej: Jednostką prędkości jest m/s, lecz w praktyce często używaną jednostką jest km/h (kilometr na godzinę).

Potoczne pojęcie prędkości W życiu codziennym pod pojęciem prędkości rozumiemy stosunek drogi do czasu potrzebnego do jej przebycia. Jest to więc wielkość skalarna i w celu odróżnienia jej od powyżej zdefiniowanego wektora prędkości, w fizyce używane są takie nazwy, jak szybkość czy długość wektora prędkości. Często prowadzi to do niejasnych sformułowań i zawsze w takim przypadku w obliczeniach należy kierować się zdrowym rozsądkiem, a jednocześnie starać się jednoznacznie sformułować odpowiedź. Średnia szybkość jest więc stosunkiem całkowitej drogi do czasu zużytego do jej pokonania.

Zadanie 6 Z jaką średnią szybkością poruszał się motocyklista, który przebył drogę z miasta A do miasta B w ciągu 4 godzin, oraz drogę powrotną w ciągu 5 godzin? Odległość między miastami wynosi 200 km. Zadanie 7 Łódź płynie z miejscowości A do B, tam i z powrotem, przez 3 godziny. Prędkość łodzi względem wody wynosi 6 m/s; stała prędkość nurtu rzeki wynosi 4 m/s. Oblicz średnią szybkość łodzi względem brzegów. Ile wynosi odległość od A do B? Zadanie 8 Oblicz z jaką prędkością względem brzegu porusza się łódka płynąca po rzece, której nurt ma stałą prędkość wynoszącą 3 m/s. Prędkość łódki względem wody wynosi 4 m/s i jest skierowana prostopadłe do brzegów rzeki.

Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch jednostajny prostoliniowy jest to taki ruch, w którym wektor prędkości nie zmienia się: Droga w ruchu jednostajnym wyraża się wzorem Wykresem długości wektora prędkości jest pozioma linia prosta. Na wykresie tym droga jest równa polu pod wykresem.

Zadanie 9 Żaglówka porusza się z prędkością 10 m/s skierowaną na zachód. Po 2 godzinach prędkość żaglówki zmniejsza się do 8 m/s bez zmiany kierunku. Jaką drogę przebędzie żaglówka po 5 godzinach? Zrób wykres prędkości od czasu i zaznacz na nim szukaną drogę. Ile wynosi prędkość średnia i wektor przemieszczenia? Zadanie 10 W tym samym momencie z lotniska w Krakowie wyleciały do Poznania helikopter i samolot. Helikopter leciał prosto do celu, natomiast samolot miał międzylądowanie w Warszawie. Ile czasu trwało to międzylądowanie, jeżeli obydwa pojazdy doleciały do Poznania w tym samym momencie? Przyjąć prędkość helikoptera 250 km/h, a prędkość samolotu 620 km/h. Droga przez Warszawę wynosi 620 km, a trasa bezpośrednia ma długość 375 km. Zadanie 11 Turysta udaje się z miejscowości A do odległej o 30 km miejscowości B. Ma do wyboru dwa sposoby przebycia tej drogi. W pierwszym z nich przez połowę drogi jedzie rowerem, a następnie maszeruje piechotą. Drugi sposób polega na jeździe rowerem przez połowę czasu, a następnie marsz. Którym sposobem turysta szybciej dotrze do celu? Jakie są średnie szybkości w obydwu przypadkach? Prędkości marszu i jazdy na rowerze wynoszą odpowiednio: 6 km/h i 24 km/h.

Ruch jednostajnie zmienny Przyspieszenie Przyspieszenie jest wektorem definiowanym przez stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym ten przyrost nastąpił: Jeżeli przyspieszenie nie jest stale, to wzór powyższy definiuje przyspieszenie średnie, a wartość chwilową przyspieszenia określa pochodna prędkości po czasie: W ruchu jednostajnym prostoliniowym przyspieszenie jest równe zeru, a w ruchu jednostajnie zmiennym jest ono stałe. W ruchach niejednostajnie zmiennych zarówno wartość, jak i kierunek przyspieszenia mogą ulegać zmianie.

Ruch prostoliniowy, jednostajnie zmienny opisują następujące wzory: gdzie: V0 jest prędkością początkową. W ruchu przyspieszonym wartość przyspieszenia jest dodatnia, a w ruchu opóźnionym - ujemna.

Zadanie 12 Wyprowadzić wzory na ruch jednostajnie zmienny korzystając z wykresów przyspieszenia i prędkości od czasu. Zadanie 13 Samochód jadący z prędkością 54 km/h zatrzymuje się po 3 sekundach od chwili rozpoczęcia hamowania. Ile wynosi droga hamowania? Z jakim opóźnieniem poruszał się samochód?

Swobodny spadek ciał w polu grawitacyjnym; rzut pionowy W polu grawitacyjnym wszystkie ciała puszczone swobodnie (przy zaniedbaniu oporów ruchu) poruszają się ruchem jednostajnie zmiennym z przyspieszeniem grawitacyjnym g=9,81 m/s2. Ze względu na ruch obrotowy oraz spłaszczenie Ziemi na biegunach, przyspieszenie to zmienia się od wartości 9,78 na równiku do 9,83 m/s2 na biegunach. Czas swobodnego spadku ciała z wysokości h obliczamy ze wzoru:

Po wyrzuceniu ciała do góry, początkowo porusza się ono ruchem opóźnionym, a następnie ruchem jednostajnie przyspieszonym. W punkcie maksymałnej wysokości (punkt B na rysunku) prędkość ciała wynosi zero i możemy zapisać: gdzie tw jest czasem wznoszenia.

Maksymalna wysokość, jaką osiągnie ciało wynosi: Czas spadku jest równy czasowi wznoszenia, a wartość prędkości końcowej w momencie upadku wynosi V0. Puszczając z tej samej wysokości różne ciała, np. kamień, kartkę papieru czy ptasie piórko, obserwujemy, że spadają one w różny sposób. Jest to spowodowane oporem powietrza. Wystarczy jednak powtórzyć eksperyment w rurze próżniowej aby przekonać się, że w próżni wszystkie ciała spadają tak samo.

Zadanie 14 Ania rzuca piką do góry i przed złapaniem jej trzy razy klaszcze w dłonie. Z jaką minimalną prędkością musi wyrzucić piłkę, aby zdążyć ją złapać? Na jaką wysokość dotrze piłka? Czas jednego klaśnięcia wynosi 0,5 s. Zadanie 15 Wyrzucona przez chłopca piłka dociera na wysokość 8 metrów. Po jakim czasie musi on rzucić drugą piłkę, aby zderzyły się one na wysokości 1 m? Obydwie piłki wyrzucane są z tą samą prędkością początkową skierowaną pionowo do góry. Zadanie 16 Jaką maksymalną wysokość osiąga ciało, które rzucone pionowo do góry, po czasie 2 s znajduje się na wysokości 2 m? W jakiej fazie ruchu (wznoszenie, opadanie) znajduje się ciało po owych dwóch sekundach?

Rzut poziomy Z rzutem poziomym mamy do czynienia wtedy, kiedy ciało rozpoczyna ruch z pewnej wysokości h, z równoległą do poziomu prędkością początkową V0. Ciało porusza się po paraboli, a jego ruch można rozłożyć na dwa ruchy prostoliniowe: poziomy i pionowy. W kierunku poziomym ciało porusza się ruchem jednostajnym z prędkością V0, a w kierunku pionowym mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym z zerową prędkością początkową.

Czas ruchu jest określony przez ruch pionowy i wynosi, tak jak dla swobodnego spadku: Zasięg rzutu jest równy drodze, jaką pokona ciało w ruchu jednostajnym, a zatem:

Zadanie 17 Po jakim czasie i pod jakim kątem ciało uderzy w podłoże, jeżeli rzucimy je z poziomą prędkością początkową 5 mis, z wysokości 3 m? Zadanie 18 Jaką minimalną prędkość poziomą musi Janek nadać piłce, jeżeli chce przerzucić ogrodzenie o wysokości 2 m, oddalone o 10 m od budynku? Janek stoi przy otwartym oknie, a jego ramię znajduje się na wysokości 6 m nad ziemią.

Rzut ukośny Jeżeli ciało rzucimy z prędkością początkową V0 skierowaną pod kątem  do poziomu, to będzie ono poruszało się po paraboli, a ruch ciała nazywamy rzutem ukośnym. Rzut ukośny można rozłożyć na dwa ruchy prostoliniowe: jednostajny w kierunku poziomym i jednostajnie zmienny w kierunku pionowym. Czas wznoszenia się ciała obliczamy z zerowania się prędkości pionowej, czyli: Czas spadku jest równy czasowi wznoszenia, całkowity czas ruchu wynosi t = 2tw

Maksymalna wysokość w rzucie ukośnym jest równa: a zasięg rzutu wynosi: Zadanie 19 Jaką prędkość należy nadać piłce golfowej, aby upadła w odległości 20 m od miejsca wybicia i osiągnęła maksymalną wysokość 5 m? Oblicz kąt początkowy tego rzutu.

Ruch po okręgu W przypadku ruchu po okręgu ciało znajduje się w stałej odległości od punktu centralnego, a torem ruchu jest okrąg. Podstawowymi wielkościami tego ruchu są: prędkość kątowa ω, równa stosunkowi zakreślonego kąta do czasu, przyspieszenie kątowe ε, definiowane ze stosunku przyrostów prędkości kątowej do czasu okres ruchu — czas pełnego obrotu; w ruchu jednostajnym: częstotliwość ruchu — ilość obiegów w ciągu jednej sekundy:

Liniowe i kątowe prędkości i przyspieszenia związane są relacjami wektorowymi lub skalarnymi (jeżeli kąt między wektorami jest kątem prostym) W ruchu po okręgu następuje zmiana kierunku wektora prędkości, co jest związane z pojawieniem się przyspieszenia dośrodkowego, wyrażonego wzorem; i skierowanego do środka okręgu

Zadanie 19 Koło zamachowe o promieniu 20 cm rozpędza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem kątowym 0,25 s-2. Po jakim czasie, dla punktów na obwodzie koła, wartość przyspieszenia liniowego będzie równa przyspieszeniu dośrodkowemu? Ile wynoszą te przyspieszenia w tym momencie? Oblicz przyspieszenie wypadkowe. O jaki kąt koło zdąży się obrócić do tego czasu? Zadanie 20 Ile czasu upływa pomiędzy dwoma kolejnymi momentami spotkań wskazówki minutowej z godzinową?

Dynamika Zasady dynamiki sformułowane zostały przez Izaaca Newtona w 1687 roku. Pierwsza zasada dynamiki Pierwsza zasada dynamiki mówi, że jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub działają siły równoważące się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. Oznacza to, że do podtrzymania ruchu jednostajnego nie potrzeba żadnej siły. W praktyce jednak, prawie każdemu ruchowi towarzyszy opór (tarcie) i siła potrzebna do podtrzymania ruchu jednostajnego jest silą równoważącą opory ruchu. Tak więc i w tym przypadku wypadkowa siła działająca na ciało jest równa zeru.

Zadanie 21 Jakie masy m1 i m2 należy zawiesić na linach, aby układ przedstawiony na rysunku pozostawał w spoczynku? Przyjąć:rn3 = 10kg, = 45°, β=30°. Zadanie 22 Chłopiec ciągnie sanki za sznur, który tworzy kąt 30° z podłożem. Jaką siłą musi działać chłopiec na sanki, aby wciągnąć je na zbocze o kącie 15°? Masa sanek wynosi 10 kg. Tarcie zaniedbać.

Druga zasada dynamiki Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła (wypadkowa sił), to ciało porusza się ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. Zazwyczaj zapisujemy ją w postaci wzoru: Jeżeli działająca siła jest stałą to mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym. Przykładem takiego zjawiska jest ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Zadanie 23 Jaką siłą należy działać na masę 1kg, aby w ciągu 1s podnieść ją na wysokość 2m? Zadanie 24 Ile czasu zajmuje zsuwanie się ciała z wysokości 1m umieszczonego na równi pochyłej o kącie nachylenia 30°? Porównaj ten wynik z czasem swobodnego spadku z identycznej wysokości. Ciało zsuwa się bez tarcia.

Trzecia zasada dynamiki Trzecia zasada dynamiki mówi, że każdej sile akcji towarzyszy równa co do wartości, lecz przeciwnie skierowana siła reakcji. Na przykład, lokomotywa ciągnąca wagony działa na nie siłą akcji, ale również wagony działają siłą reakcji hamując ruch lokomotywy. Stojąc na podłodze działamy na nią siłą ciężkości, z kolei podłoga działa na nas silą reakcji, gdyż inaczej spadalibyśmy w dół. Podobnie Ziemia przyciąga Księżyc z taką samą siłą z jaką Księżyc przyciąga Ziemię. Można sformułować ogólny wniosek, że siły wewnętrzne wzajemnie się równoważą. Nie mogą one zatem powodować przyspieszenia układu jako całości, gdyż ich wypadkowa wartość równa się zeru.

Zadanie 25 Dwie małpy wiszą na tym samym poziomie na dwóch końcach przełożonej przez idealny blok liny. W pewnym momencie zaczynają się ścigać, wspinając się do góry. Pierwsza małpa porusza się względem liny z prędkością 3 m/s, a druga z prędkością dwa razy większą. Która z małp szybciej dotrze do bloczka, jeżeli ich masy są takie same? Zadanie 26 Ile wynosi siła wzajemnego oddziaływania między dwoma wagonami tramwaju o masach odpowiednio równych 10 ton i 8 ton, jeśli na pierwszy wagon działa siła 10 kN? Oblicz, z jakim największym przyspieszeniem może poruszać się tramwaj, jeżeli wytrzymałość połączenia między wagonami wynosi 40 kN. Zadanie 27 Dwa ciała o masach 1kg i 2kg zwisają na linie z dwóch stron nieważkiego bloczka, który obraca się bez tarcia. Ile wynosi naciąg liny? Jaka siła przenosi się na zawieszenie osi bloczka?

Prawo powszechnego ciążenia Siła grawitacyjnego przyciągania się dwóch ciał jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał, a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich wzajemnej odległości: Jest to prawo powszechnego ciążenia, które podał Izaac Newton w 1687 roku. Stała grawitacji: została wyznaczona przez H. Cayendisha za pomocą wagi skręceń. Znajomość rozmiarów Ziemi i przyspieszenia grawitacyjnego pozwała na wyznaczenie jej masy („ważenie Ziemi”), korzystając ze wzoru:

Zadanie 28 Jak zmienia się przyspieszenie grawitacyjne, jeżeli przesuwamy się od środka Ziemi ku jej powierzchni? Zadanie 29 Wiedząc, że masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi, a przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest 6 razy mniejsze niż na Ziemi, oblicz ile razy promień Księżyca jest mniejszy od promienia Ziemi. Zadanie 30 Zakładając, że masa Księżyca jest 81 razy mniejsza niż masa Ziemi, oblicz, w jakiej odległości od środka Ziemi, w stosunku do odległości środków Księżyca od Ziemi, znajduje się punkt „równowagi grawitacyjnej” na linii Ziemia-Księżyc.

Siła tarcia Siły tarcia występują między stykającym się powierzchniami. Tarcie statyczne występuje wtedy, gdy stykające się powierzchnie nie poruszają się względem siebie (np. leżąca na biurku książka, czy toczący się bez poślizgu walec). Siła tarcia statycznego przybiera taką wartość, aby wypadkowa wszystkich sił działających na ciało była równa zeru, gdy ciało się nic obraca. Może ono zatem przyjmować wartości z zakresu: gdzie: fs jest współczynnikiem tarcia statycznego, a N - siłą nacisku (dzialającą prostopadle do podłoża). Siły tarcia statycznego nie można określić bez zdefiniowania wypadkowej pozostałych sił działających na ciało. Na przykład, na ciało leżące na wypoziomowanym podłożu działa zerowa siła tarcia. Wystarczy jednak położyć ciało na równi pochyłej, aby, mimo spoczynku, siła tarcia była różna od zera.

Tarcie kinetyczne występuje wtedy, gdy stykające się powierzchnie poruszają się względem siebie i jest skierowane przeciwnie do względnego ruchu (hamuje ruch). Tarcie kinetyczne zależy od rodzaju powierzchni (poprzez współczynnik tarcia fk) i siły nacisku (N), i wynosi: W praktyce, współczynnik tarcia statycznego jest większy niż współczynnik tarcia kinetycznego (trudniej ciało ruszyć z miejsca niż utrzymać je w ruchu). Jednak w większości zadań przyjmuje się równość tych współczynników (chyba, że różność współczynników jest wyraźnie zaznaczona).

Zadanie 31 Ciało spoczywa na równi pochyłej o zmiennym kącie nachylenia. Oblicz kąt graniczny, tj. taki powyżej którego ciało zaczyna się zsuwać. Współczynnik tarcia wynosi 0,577. Zadanie 32 Chłopiec ciągnie pod górę sanki za sznurek skierowany pod kątem 20° do stoku góry, który z kolei jest nachylony pod kątem 30° do poziomu. Ile wynosi siła z jaką chłopiec ciągnie sanki, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0,2, a masa sanek jest równa 20 kg? Przyjmij, że chłopiec porusza się ruchem jednostajnym. Zadanie 33 Z jakim przyspieszeniem porusza się ciało zsuwające się z równi pochyłej o kącie nachylenia 45°, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.4?

Dynamika ruchu obrotowego W dynamice ruchu obrotowego używamy następujących pojęć: (*) Uwaga: jeżeli obrót odbywa się nie względem osi symetrii układu, lub ogólniej — osi głównych, to momentu bezwładności nic można traktować jako wielkości skalarnej - posiada on aż 9 składowych,

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego przyjmuje postać: (odpowiednik wzoru F = ma) lub w postaci ogólnej: odpowiednik wzoru W ruchu obrotowym odpowiednikiem masy jest moment bezwładności. Wartość momentu bezwładności zależy od rozkładu masy względem osi obrotu. Zmianę tej wartości przy zmianie osi obrotu najlepiej ilustruje twierdzenie Steinera: I = I0 +md2, łączące wartości dwóch momentów bezwładności względem równoległych osi obrotu oddalonych o d, przy czym wskaźnik .„0” odnosi się do osi przechodzącej przez środek masy.

Poniżej podane zostały wartości I0 dla wybranych ciał względem osi symetrii:

Zadanie 34 Z jakim przyspieszeniem toczy się (bez poślizgu) walec po równi pochyłej o kącie nachylenia 300?

Zadanie 35 Przez bloczek o promieniu 10 cm i momencie bezwładności 0,01 kgm2 przerzucono sznurek, na końcach którego zawieszono masy 1kg i 2kg. Ile wynosi przyspieszenie układu, jeżeli sznurek nie ślizga się po bloczku? Ile wynoszą siły naciągu sznurka po obu stronach bloczka?

Praca i moc Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia: W przypadku zmiennej siły lub zmiennego kąta , pracę można wyznaczyć z pola pod wykresem składowej równoległej siły od przesunięcia, co możemy też zapisać w postaci: Praca jest formą przekazywania energii. Jeżeli kąt  między siłą a przemieszczeniem jest mniejszy niż 900 to praca jest dodatnia i energia układu rośnie. Dla kąta większego od 900— praca jest ujemna i energia układu małeje. Dla ruchu obrotowego praca jest iloczynem momentu siły i kąta obrotu:

Moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu: Moc chwilowa wyraża się wzorem: Dla ruchu obrotowego wzór ten przyjmuje postać: Jednostką pracy jest dżul (J), a mocy — wat (W).

Zadanie 36 Jaką moc ma silnik tokarki, jeżeli nóż skrawający działa momentem siły równym 70 Nm, a tokarka wykonuje 6 obrotów na sekundę? Sprawność urządzenia wynosi 70%. Zadanie 37 Chłopiec ciągnie sanki silą skierowaną pod kątem 30° do podłoża, poruszając się ruchem jednostajnym. Jaką pracę musi on wykonać na drodze 50 m, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0,4, a masa sanek wynosi 10kg? Zadanie 38 Ile wynosi praca wykonana przez siłę tarcia podczas zsuwania się ciała o masie 2 kg umieszczonego na wysokości 2 m na równi pochyłej o kącie nachylenia 60°? Współczynnik tarcia wynosi 0,2.

Energia kinetyczna i potencjalna Rozpędzając ciało do prędkości V trzeba wykonać pracę, która jest zgromadzona w postaci tzw. energii kinetycznej, wyrażonej wzorem: W ruchu jednostajnym energia kinetyczna jest stała - praca wykonana nad układem jest równa zeru. Również w ruchu jednostajnym po okręgu energia kinetyczna nie zmienia się, bo wypadkowa siła dośrodkowa jest prostopadła do przesunięcia i nie wykonuje pracy. W ruchu obrotowym energia kinetyczna wyraża się wzorem:

W jednorodnym polu grawitacyjnym praca wykonana przy podnoszeniu ciała na wysokość h wynosi: i wielkość nosi nazwę energii potencjalnej

Zadanie 39 Jaką prędkość osiągnie ciało o masie 1 kg, które pod działaniem stałej siły 20 N jest podnoszone na wysokość 2 m? Prędkość początkowa ciała jest równa zeru. Zadanie 40 Jaką silą należy działać na walec o masie 2 kg toczący się bez poślizgu, aby rozpędzić go od prędkości 0 do 10 m/s na drodze 10 m? Zadanie 41 Ciało o masie 5 kg zsuwa się z wysokości 1 m po równi pochyłej o kącie nachylenia 300. Ile wynosi energia kinetyczna tego ciała u podstawy równi, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0,2? Jak wygląda bilans energetyczny układu?

Zasada zachowania energii mechanicznej Pole sił jest zachowawcze, jeżeli praca wykonana w tym polu nie zależy od drogi. Można też powiedzieć, że praca na dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Przykładem pola zachowawczego jest pole grawitacyjne, czy też pole elektrostatyczne. Energia mechaniczna jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej. Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że w polu sił zachowawczych energia mechaniczna układu nie ulega zmianie.

Zadanie 42 Z jakiej minimalnej wysokości musi stoczyć się kulka (bez poślizgu), aby wykonać „diabelską pętlę” o promieniu 20 cm ustawioną na końcu równi? Rozmiary kulki są zaniedbywalnie małe w stosunku do rozmiarów pętli. Zadanie 43 Piłeczka pingpongowa uderzając w podłoże traci 20% swojej energii kinetycznej. Oblicz wysokość na jaką dotrze piłeczka po jednokrotnym, dwukrotnym lub trzykrotnym odbiciu od podłoża, jeżeli została zrzucona z wysokości 1 m. Jaki ciąg tworzą te wysokości? Ile wynosi droga jaką przebędzie piłeczka do momentu zatrzymania się?

Pęd, zasada zachowania pędu Drugą zasadę dynamiki dla stałej masy możemy zapisać: gdzie wyrażenie nosi nazwę pędu Równanie jest bardziej ogólne i obowiązuje również dla układów o zmiennej masie, dla których nie obowiązuje równanie F = ma.

Jeżeli działająca siła jest równa zeru, to: Równanie to jest zapisem zasady zachowania pędu, która brzmi: jeżeli na ciało (układ ciał) nie działa żadna siła, lub działają siły równoważące się, to pęd ciała (układu ciał) nie zmienia się. Pęd ciała ma zasadnicze znaczenie w fizyce. Rozpędzone ciało ma potencjalną „siłę uderzenia”, która zależy nie tylko od jego prędkości, ale również od masy ciała. Porównaj, na przykład, skutki zderzenia samochodu osobowego z muchą oraz ciężarówką poruszającą się z tą samą prędkością co mucha. Drugą zasadę dynamiki zapisujemy również w postaci: co oznacza że popęd siły (Ft) jest równy zmianie pędu (p).

Zadanie 44 Pod działaniem siły 25 N na drodze 2 m ciało osiągnęło pęd 10 kg mis. Jaka jest masa tego ciała? Zadanie 45 Ile wynosi średnia siła działająca na ścianę podczas zderzenia z piłką o masie 0,5 kg, jeżeli pada ona z prędkością 5 m/s, odbija się z prędkością 4 m/s, a czas zderzenia wynosi 0,25 s? Zadanie 46 Pocisk rzucony jest z prędkością 5 m/s pod kątem 60° do poziomu, rozrywa się w najwyższym punkcie lotu na dwie równe części tak, że jedna połówka zatrzymuje się, a następnie opada pionowo w dół. Ile wynosi zasięg rzutu drugiej połówki liczony od punktu wystrzelenia pocisku?

Zderzenia Zderzenia dzielimy na zderzenia sprężyste i niesprężyste. Różnią się one zachowaniem energii kinetycznej: energia kinetyczna jest zachowana tylko w zderzeniach sprężystych. W zderzeniach niesprężystych część energii mechanicznej ulega rozproszeniu i wzrasta energia wewnętrzna ciał, która to energia zazwyczaj w postaci ciepła jest oddawana do otoczenia. Szczególnym przypadkiem zderzeń niesprężystych są zderzenia całkowicie niesprężyste, w których ciała łączą się ze sobą po zderzeniu. We wszystkich zderzeniach działają tylko siły wewnętrzne, dla których wypadkowa jest równa zeru, co prowadzi do spełnienia zasady zachowania pędu. Zazwyczaj wszystkie zderzenia obserwowane w życiu codziennym są w jakimś stopniu niesprężyste, gdyż podczas występujących odkształceń tracona jest część energii mechanicznej. Jednakże, w niektórych zderzeniach uważamy, że straty energii są tak małe, że można je traktować jako zderzenia sprężyste (np. zderzenie piłeczki pingpongowej ze stołem, zderzenie kul bilardowych). Przykłady zderzeń niesprężystych to: zderzenia samochodów, zderzenie kul ołowianych lub pokrytych plasteliną

Zadanie 47 Rozpatrz centralne zderzenie sprężyste dwóch identycznych kul, z których jedna przed zderzeniem spoczywa. Zadanie 48 W klocek o masie 1 kg zawieszony na nici uderza centralnie pocisk o masie 10 g i prędkości 300 m/s, i grzęźnie w nim. O jaki kąt odchyli się klocek, jeżeli odległość od punktu zawieszenia do środka masy klocka wynosi 1 m?

Siła sprężystości R. Hooke podał prawo opisujące wydłużenie ciała pod wpływem przyłożonej siły zewnętrznej (z pewnego ograniczonego zakresu wartości): gdzie: Fz — siła zewnętrzna. s — pole przekroju poprzecznego, I0 — długość początkowa, l — wydłużenie, E — tzw. moduł Younga. Często prawo to zapisujemy w postaci: gdzie: x = l, siła sprężystości F = - Fz, stała sprężystości: k = ES/lo. Znak „—„ oznacza, że siła sprężystości jest przeciwnie skierowana do wydłużenia. Równanie ruchu ciała poddanego działaniu siły sprężystości (czyli tzw. oscylator harmoniczny) ma postać:

Zadanie 49 Dwie identyczne sprężyny o stałej sprężystości k łączymy szeregowo lub równolegle. Ile wynoszą nowe stałe sprężystości w tych połączeniach? Zadanie 50 Siła 10 N rozciąga sprężynę zwiększając jej długość o 5 cm. Oblicz pracę potrzebną do rozciągnięcia sprężyny o kolejne 5 cm.

Wahadła Wahadło matematyczne jest to punkt materialny (obiekt fizyczny obdarzony masą o zerowych wymiarach), zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Jest to więc idealizacja matematyczna obiektów rzeczywistych, takich jak np. kulka zawieszona na nici (w tym przypadku często używany jest termin wahadło proste). Ruch wahadła powoduje składowa siły ciężkości: dla małych kątów (< 10o): i równanie ruchu przyjmuje postać: Znak „—„ oznacza zwrot siły przeciwny do wychylenia.

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna zawieszona powyżej środka masy i mogąca obracać się swobodnie wokół punktu zaczepienia. Równanie ruchu wahadła ma postać: Zwrot momentu siły jest przeciwny do wychylenia, więc: Oznaczając dostajemy równanie oscylatora o okresie: Tak jak poprzednio, rozwiązanie to jest słuszne tylko dla małych kątów .

Zadanie 51 Kulkę zawieszoną na nitce umieszczono w windzie. Porównaj okres wahań kulki w windzie stojącej i poruszającej się w dół z przyspieszeniem g/2. Zadanie 52 Oblicz okres małych drgań wahadła matematycznego o długości 50 cm, umieszczonego w wagonie pociągu poruszającego się po poziomym torze z przyspieszeniem 4 m/s2.

Termodynamika Ciśnienie cieczy i gazów, siła wyporu Ciśnienie jest to stosunek siły (parcia) do powierzchni: Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa = N/m2). Warstwa cieczy (lub gazu) na głębokości h wywiera tzw. ciśnienie hydrostatyczne wyrażane wzorem: Prawo Pascala: w ośrodku ciekłym lub gazowym ciśnienie rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo. Prawo to stanowi podstawę działania prasy hydraulicznej, zbudowanej z dwóch połączonych cylindrów o różnych przekrojach. Równość ciśnień powoduje proporcjonalny do powierzchni wzrost siły parcia:

Prawo Archimedesa: na ciało zanurzone w cieczy działa do góry siła wyporu równa ciężarowi wypartej cieczy. Ciała pływają, jeżeli ich średnia gęstość masy jest mniejsza niż gęstość cieczy. Przy obliczaniu średniej gęstości należy uwzględnić wszystkie luki wypełnione powietrzem wewnątrz ciała. Zasada ta jest wykorzystywana na przykład w łodziach podwodnych, w których podczas wynurzania wypompowywana jest woda z tzw. komór balastowych, dzięki czemu zmniejsza się średnia gęstość łodzi.

Zadanie 53 Pompka podnośnika hydraulicznego ma rączkę w postaci dźwigni dwustronnej, ze stosunkiem długości ramion 5:1. Stosunek promieni cylindrów podnośnika wynosi 1:3. Jaką siłą należy działać, aby podnieść paletę z cegłą o masie 900 kg? Zadanie 54 Naczynie w kształcie walca o promieniu 10 cm pływa po wodzie. Oblicz głębokość zanurzenia naczynia, jeżeli wlano w niego 1litr wody (ρw= 1g/cm3), a masa pustego naczynia wynosi 2kg.

Gaz doskonały - równanie stanu Gazem doskonałym nazywamy zbiór punktów materialnych oddziaływujących tylko poprzez zderzenia sprężyste. Większość gazów odpowiednio rozrzedzonych jest dobrym przybliżeniem gazu doskonałego. Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest funkcją tylko temperatury i wynosi: gdzie cv jest ciepłem właściwym przy stałej objętości, T - temperaturą w skali bezwzględnej (wyrażoną w kelwinach (K)): Stan układu opisuje zestaw zmiennych termodynamicznych, takich jak: p, V. T. Wielkości te są związane tzw. równaniem stanu. Przykładem takiego równania jest równanie stanu gazu doskonałego (równanie Cłapeyrona): gdzie n = m/ jest liczbą moli gazu, R=8,31 J/(mol K) jest stałą gazową,  - masa molowa

Prawą stronę równania stanu można również zapisać w postaci: gdzie R = NA*k, k = 1,38 *10-23 J/K (stała Boltzmanna), NA =6,02*1023 - liczba Avogadro - liczba cząsteczek w jednym molu, N - liczba cząsteczek gazu. Czasami wygodnie jest korzystać z równania stanu gazu doskonałego zapisanego w postaci: gdzie ρ jest gęstością masy. Dla układu o stałej masie można też zapisać:

Zadanie 55 Pęcherzyk powietrza wynurzając się z dna jeziora zwiększa swoją objętość 3 razy. Oblicz głębokość jeziora, jeżeli temperatura wody przy dnie wynosi 7°C, a na powierzchni 17°C. Ciśnienie atmosferyczne wynosi 1000 hPa. Zadanie 56 Butlę o pojemności 20 litrów napełniono tlenem w temperaturze 17°C do ciśnienia 107 Pa. Ile gazu ulotniło się z butli wskutek wady zaworu, jeżeli ponowne sprawdzenie ciśnienia w temperaturze 27°C dało wynik 8*106 Pa?

Przemiany gazowe Przemiana izotermiczna W przemianie izotermicznej stała jest temperatura (T=const.) i równanie stanu dla stałej masy gazu doskonałego przyjmuje postać: W układzie współrzędnych (V, p) wykresem izotermy jest hiperbola: W przemianie izotermicznej energia wewnętrzna gazu jest stała, a praca wykonana przez gaz jest równa ciepłu dostarczonemu do układu, czyli:

Przemiana izobaryczna Przemiana zachodząca pod stałym ciśnieniem (p=const.), nazywana jest przemianą izobaryczną. Opisywana jest ona równaniem stanu: którego wykresem w układzie współrzędnych (T, V) jest linia prosta. Praca w tej przemianie jest równa: a ciepło: gdzie cp jest ciepłem właściwym przy stałym ciśnieniu

Zadanie 57 W środku zamkniętego naczynia cylindrycznego wypełnionego gazem o objętości 2 dm3, pod ciśnieniem 105 Pa, znajduje się tłok o masie 1 kg i przekroju 5 cm2. O ile przesunie się bez tarcia tłok, jeżeli cylinder porusza się wzdłuż swojej osi z przyspieszeniem 10 m/s2? Proces zachodzi w stałej temperaturze. Zadanie 58 Cylindryczne naczynie, w którym znajduje się 0,1 kg azotu, jest zamknięte od góry ruchomym tłokiem, poruszającym się bez tarcia. Aby podgrzać gaz o 10 K trzeba dostarczyć 1050 J ciepła. Oblicz ciepło właściwe azotu przy stałym ciśnieniu, pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę jego energii wewnętrznej.

Przemiana izochoryczna Proces termodynamiczny, w trakcie którego objętość jest zachowana (V=const.) nosi nazwę przemiany izochorycznej. Opisuje go równanie: W przemianie tej ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury. Ze względu na brak zmiany objętości praca w przemianie izochorycznej jest równa zeru. Ciepło i zmiana energii wewnętrznej są sobie równe i wynoszą: gdzie cv jest ciepłem właściwym przy stałej objętości.

Przemiana adiabatyczna Jeżeli nie występuje wymiana ciepła z otoczeniem, to mamy do czynienia z tzw. przemianą adiabatyczną. Równanie stanu tej przemiany przyjmuje postać: Na wykresie p od V „adiabata” jest bardziej stroma niż „izoterma”: Dla gazu doskonałego słuszne są związki:

Zadanie 59 Ile ciepła należy dostarczyć, aby gaz zamknięty w naczyniu o objętości 4 dm3 zwiększył swoje ciśnienie o 106 Pa? Załóż, że stosunek ciepeł właściwych przy stałym ciśnieniu i stałej objętości wynosi 1,4. Zadanie 60 Oblicz pracę, jaką wykona 1 mol gazu doskonałego ogrzanego pod stałym ciśnieniem o 1 K. Na tej podstawie wykaż, że cpmol – cvmol = R

DZIĘKUJĘ ZA WSPÓLNE ZAJĘCIA ŻYCZĘ SUKCESÓW W NAUCE dr Edmund Paweł Golis Instytut Fizyki Konsultacje stałe dla projektu; od Poniedziałku do Piątku w godz. 8 15- 9 00 pokój 008 budynek B1 parter oraz uzgadniane indywidualnie tel: 601 98 88 95 e-mail: e.golis@ajd.czest.pl lub gg 7974708