Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych 1. Wstęp 2. Oprocentowanie proste - stopa stała 3. Oprocentowanie proste - stopa zmienna 4. Oprocentowanie składane - stopa stała 5. Oprocentowanie składane - stopa zmienna

Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych 1. Wstęp W rozdziale tym zostaną przedstawione modele kredytów spłacanych w ratach sekwencyjnych tzn. najpierw kapitałowych a potem odsetkowych ( lub odsetkowych – kapitałowych ). Rozróżnienie rat kapitałowych oraz odsetkowych ma istotne znaczenie w rachunkowości firm. Przedstawiając graficznie raty sekwencyjne mogą być spłacane następująco:

2. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania prostego stopa stałą. W przypadku rat sekwencyjnych , raty kapitałowe Kn płatne w terminach n= M+1,...,N spełniają równanie salda : P = K M+1 + ...+ Kn +...+ KN (1) W równaniu tym występuje N niewiadomych rat Kn , dlatego nie można ich wyznaczyć bez dodatkowych założeń. Załóżmy , że raty te są indeksowne ze stopą j , wówczas otrzymamy Kn = Kn+1 * (1+j )n-1 (2a) a w przypadku waloryzacji Kn = Kn+1 + (n-M-1) K (2b) n = M+2,...,N Z układu równań (1)i (2) lub (3) można wyznaczyć wszystkie raty Kn , ponieważ raty te tworzą postęp geometryczny lub postęp artymetyczny o znanej sumie.

2. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania prostego stopa stałą. Raty odsetkowe wyznaczamy z zasady równoważności kapitału : P[1+r*N] = K1*[1+r* (N-1)] + ............................................ + Kn *[1+r *(N-n)] + + IM+1 *[1+r *(N-M-1)] + ................................................. +IN (4) Obliczenia rat kapitałowych oraz odsetkowych można łatwo przeprowadzić na arkuszu kalkulacjnym . W tym celu należy zaprogramować równanie równoważnośi kapitału (4) .Lewą strone tego równania można obliczyć wprost. Po prawej stronie występuje N-M niewiadomych rat odsetkowych In . Aby wyznaczyć raty odsetkowe przyjmuje się ich indeksację w postaci analogicznej do (2) lub waloryzacje w postaci analogicznej do (3).

P(1+r1 +...+ rn) = K1* (1+ r1 +...+ rN ) + 3. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania prostego - stopa zmienna. W przypadku oprocentowania prostego ze zmienną stopą procentową raty kapitałowe spełniają analogicznie do opr. stałego równanie salda. Raty odsetkowe wyznaczamy z zasady równoważności kapitału w postać: P(1+r1 +...+ rn) = K1* (1+ r1 +...+ rN ) + ............................................... +KM* (1+ rM+1 +...+ rN ) + + IM+1 *(1+rM+2 +,...,+ rN ) + ................................................. + IN (5) W równaniu tym występuje N-M niewiadomych rat odsetkowych . Dla wyznaczenia tych rat przyjmujemy ich indeksaccję lub waloryzację zgodnie z (2). W ten sposób otrzymamy układ N-M równań o N-M niewiadomych.

3. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania prostego - stopa zmienna. Wyznaczjąc raty odsetkowe na akuszu kalkulacyjnym należy odpowiednio zaporigramować czynniki oprocentownia. W równaniu (5) widać, że czynniki oprocentownia mają postać : 0 = 1+ r1 +,...,+ rN ........................................................... 0n = 1+ rn+1 +,...,+rN ................................................................... 0N-1 = 1+ rN 0N = 1 (6) Analizując (6) dochodzimy do formuły rekurencyjnej

3. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania prostego - stopa zmienna. 0N-1 = 1+ rN = 0N + rN 0N-2 = 1+ rN-1 +rN = 0N-1 + rN-1 ...................................................... 0N-1 = 0n+ rn (7) Formuła rekurencyjna umożliwia łatwe zaprogramownie na arkuszu kalkulacyjnym równia (5) i wyznaczenie rat odsetkowych.

4. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa stała. W przypadku oprocentowania składanego ze stałą stopą raty kapitałowe również wyznaczamy z równania salda (1) przyjmują indeksację lub waloryzację rat zgodnie z (2). Raty odsetkowe wyznaczamy z zasady równoważności kapitału w postaci: P(1+r)N = K1* (1+ r )N-n + ........................................... + KM *(1+r ) N-M + + IM+1 *(1+r)N-M-1+ ........................................ + IN (8) W równaniu tym występuje N-M niewiadomych rat odsetkowych . Dla wyznaczenia tych rat przyjmujemy ich indeksaccję lub waloryzację zgodnie z(2). W ten sposób otrzymamy układ N-M równań o N-M niewiadomych.

P(1+r1 )*,...,*(1+ rN) = K1 * (1+ rn+1 )*,..,*( 1+ rN ) + 5. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa zmienna. W przypadku oprocentowania składanego ze zmienna stopą raty kapitałowe również wyznaczamy z równania salda (1) przyjmują indeksację lub waloryzację rat zgodnie z (2). Raty odsetkowe wyznaczamy z zasady równoważności kapitału w postać: P(1+r1 )*,...,*(1+ rN) = K1 * (1+ rn+1 )*,..,*( 1+ rN ) + ........................................................... + KM * (1+ rM+1 )*,...,*(1+ rN ) + + IM+1 * (1+ rM+1 )*,...,*(1+ rN ) + .......................................................... + IN (9) W równaniu tym występuje N-M niewiadomych rat odsetkowych . Dla wyznaczenia tych rat przyjmujemy ich indeksaccję lub waloryzację zgodnie z (2). W ten sposób otrzymamy układ N-M równań o N-M niewiadomych.

5. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa zmienna. W równaniu (9) widać, że czynniki oprocentownia mają postać : 0 = (1+ r1 )*,...,*(1+ rN ) .................................................................. 0n = (1+ rn+1 )*,...,*(1+rN) ................................................................... 0N-1 = 1+ rN 0N = 1 (10) Analizując (10) dochodzimy do formuły rekurencyjnej

5. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa zmienna. 0N-1 = 1* (1+rN ) = 0N *(1+ rN ) 0N-2 = 1*(1+ rN-1 )*(1+rN )= 0N-1 * (1+rN-1 ) ...................................................... 0N-1=0n*(1+rn) (11 ) Formuła rekurencyjna umożliwia łatwe zaprogramownie na arkuszu kalkulacyjnym równia (9) i wyznaczenie rat odsetkowych.

5. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa zmienna.

5. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa zmienna.

5. Kredyty spłacane w ratach sekwencyjnych -model oprocentowania składanego - stopa zmienna