Liczby zespolone Liczby zespolone – narzędzie (ale tylko narzędzie) wykorzystywane w analizie sygnałów. Mechanika kwantowa – rozwiązanie równania Schroedingera (czyli tzw. funkcja falowa) jest zwykle funkcją zespoloną, dlatego też sens fizyczny przypisywany jest kwadratowi jej modułu (gęstość prawdopodobieństwa) Przykład elektrochemiczny – ANALIZA IMPEDANCYJNA

Impedancja Pojęcie uogólniające opór elektryczny: W tym przypadku impedancja ( Z ) równa jest oporowi omowemu czyli rezystancji ( R ). W przypadku kondensatora jest nieco gorzej: Kondensator nie przewodzi prądu stałego, przewodzi jednakże prąd zmienny.

Kondensator zasilany napięciem przemiennym stawia opór elektryczny zależny od częstotliwości dodatkowo wprowadzając przesunięcie fazowe między napięciem a prądem. Jeśli U(t) (napięcie) ma postać: to prąd I(t) będzie wynosił: amplituda prądu

Wprowadzając nową wielkość (impedancję kondensatora) możemy ominąć zabawę z równaniami jakby nie było różniczkowymi, zastępując je równaniami algebraicznymi to jest właśnie IMPEDANCJA Dla kondensatora impedancja równa jest:

operator różniczkowy operator algebraiczny Kondensator jest układem przetwarzającym „wejście” U(t) na „wyjście” I(t). Zwykle łatwiej jest operować na układach opisywanych równaniami algebraicznymi niż różniczkowymi II prawo Ficka łatwiej je rozwiązywać w dziedzinie zespolonej tzw. dziedzinie operatorowej, bo znikają dziwne trójkąty (operatory Laplace’a) i „zagięte pochodne” (pochodne cząstkowe)

Liczby zespolone Niekiedy równanie nie posiada rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych: wprowadźmy jednak pewną dziwaczną liczbę (liczbę urojoną „i”) dla której: wtedy: i równanie ma (nawet dwa) rozwiązania

Liczby zespolone Postać kanoniczna (kartezjańska) i (w elektrotechnice „j”, żeby nie myliło się z prądem) jednostka urojona oś urojona oś rzeczywista

Na liczbach zespolonych zdefiniowane są podstawowe działania:

Postać trygonometryczna oś urojona moduł liczby faza oś rzeczywista

Postać wykładnicza oś urojona oś rzeczywista

Niech |Z|=1 będzie stałą a  będzie zmienną niezależną (0,2) określmy sobie funkcję zespoloną Z=|Z|exp(j ) Im 1 Re

Zażądajmy aby nasza funkcja Z() przyjmowała jedynie wartości rzeczywiste (czyli leżące na osi „Re”) Im 1 Re

Rozpatrzmy parę wartości funkcji Z():

Uzyskane wartości po podzieleniu przez dwa są zatrważająco podobne do wartości funkcji cos(): Kto nie wierzy niech zmierzy 

Zagadka dla twardzieli: Niech Z() przyjmuje tylko wartości urojone

Takie sobie ciekawostki: Niech liczba zespolona: to jest sinus(x)

ARTUR ZIELIŃSKI PRZEPRASZA ZA FRYTKĘ

W następnym odcinku : próbkowanie sygnałów analogowych autocenzura! autocenzura! featuring Andrzej Lepper