Rozdział XI -Kredyt ratalny 11.1 Oprocentowanie proste – stopa stała 11.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna 11.3 Oprocentowanie składane – stopa stała 11.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna

Rozdział XI – Kredyt ratalny Wstęp Kredytem - nazywamy środki pieniężne lub towarowe, które kredytobiorca pozyskuje do czasowej dyspozycji od kredytodawcy. Termin ten może być ustalony wyraźnie, zwyczajowo lub nie ustalony. Stosunki kredytowe w obrocie gospodarczym wiążą się z reguły z wynagrodzeniem wierzyciela w postaci procentu. Kredyt, jako kategoria ekonomiczna Kredyt powoduje powstanie stosunków finansowych pomiędzy bankiem a kredytobiorcą. Stosunek ten wyraża się przekazaniem przez bank określonej kwoty pieniężnej do dyspozycji kredytobiorcy. Powstaje więc układ, w którym kredytodawca staje się wierzycielem, a kredytobiorca klient staje się dłużnikiem.

11.1 Oprocentowanie proste – stopa stała Spłata kredytu w ratach odsetkowych Zagadnienie kredytu ratalnego zostanie przedstawione na podstawie analizy kredytu ratalnego spłacanego w ratach odsetkowych. W przypadku rat odsetkowych, kapitał P zostanie spłacony jednorazowo po okresie kredytowania N, a odsetki będą spłacane kolejnych ratach. Będziemy korzystać z następujących oznaczeń: P –kwota zaciągniętego kredytu; N – czas, po którym kredyt powinien być zwrócony; r – stopa procentowa; In – rata odsetkowa w n-tym terminie.

Ø 1.1. Kredyt krótkoterminowy Jeżeli kapitał P będzie spłacany po N miesiącach, a odsetki będą spłacane ratami w kolejnych miesiącach, to zasadę równoważności kapitału możemy zapisać w postaci: · Dla stałej stopy procentowej P · r ·N = I0 · ( 1+ r ·N) + I1 · [1+ r· (N-1) ]+,..., +In · [ 1+ r · (N - n) ]+,…, + IN (11.1) · Dla zmiennej stopy procentowej P· (r1 +,…,+ r n ,…,+ rN ) = I0 · (1+r1+,…,+r n+,…,+rN)+,…, +In-1 ·(1+rn+,…,+rN )+,…,+IN (11.2) Oznaczenia

Z powyższych równań należy wyznaczyć raty odsetkowe: I0 ,..., In ,...,IN Przy założeniu, że tworzą one ciąg arytmetyczny lub geometryczny. Ø Stała stopa procentowa Równe raty odsetkowe Zakładając, że odsetki będą spłacane z góry, t.z.n. dla terminu n=1,...,N. I0= ,..., =In= ,...,=IN =1 (11.3) Oznaczenia

I1= ,..., =In= ,...,=IN =1 I =2· P· r / [2 + r· (N-1)] Podstawiając powyższe założenia do zasady równoważności kapitału, oraz przekształcając ten wzór otrzymamy następujące równanie: I = 2 · P · r · N / [(N+1) ·(2 + r · N)] (11.4) Za pomocą, którego możemy wyznaczyć równą ratę odsetkową. W przypadku gdy odsetki będą spłacane od terminu n=1 do N t.z.n. I1= ,..., =In= ,...,=IN =1 (11.5) Otrzymamy z zasady równoważności kapitału następujący wzór do obliczania równej raty odsetkowej: I =2· P· r / [2 + r· (N-1)] (11.6) Oznaczenia

jednorazowe raty odsetkowe Przy spłacie odsetek z góry rata I0 > 0 natomiast pozostałe raty In = 0 , dla n=1,...,N. Po podstawieniu i przekształceniu zasady równoważności kapitału otrzymamy następujące równanie za pomocą którego możemy obliczyć jednakową ratę odsetkową: I0 = P · r · N / ( 1+ r · N ) (11.7) W przypadku spłaty odsetek w terminie n t.z.n., In > 0 , I0 ,...,In-1 =0 oraz In+1,…,IN =0. (11.8) Z przekształcenia zasady równoważności kapitału otrzymamy In = P · r · N / [ 1+ r · ( N – n)] (11.9) wzór na obliczanie jednorazowej raty odsetkowej w terminie n;

11.2 Oprocentowanie proste – stopa zmienna Spłata kredytu w ratach odsetkowych Ø Kredyt krótkoterminowy · Równe raty odsetkowe W przypadku N równych rat odsetkowych I spłacanych od n=1 do n = N przy zmiennej stopie procentowej, zasada równoważności kapitału przyjmuje postać: I = P · ( r1 +,...,+rn +,...,+ rN) / [ N+ r2 +,..,+ (n –1) · r n +,…, + +,…,+ (N-1) · rN] (11.10) Jeżeli równa rata odsetkowa jest płacona również w terminie zerowym to wzór na jej obliczanie ma postać: I = P · ( r1 +,...,+rN ) / [ (N+1) +r1+,...,+r n · n + ,...,+ N· rN] (11.11) Oznaczenia

· Jednorazowe raty odsetkowe Jeżeli odsetki mają być spłacone z góry to przekształcając zasadę równoważności kapitału otrzymamy: I0 = P · ( r1 +,...,+r n +,...,+ rN) / ( 1+ r1+,...,+r n+,...,+rN) (11.12) W przypadku jednorazowej spłaty w chwili n wzór na In przyjmuje postać: In = P · ( r1 +,...,+r n +,...,+ rN) / ( 1+ r n+1+,...,+rN) (11.13) W przypadku rat odsetkowych, kapitał P zostanie spłacony jednorazowo po okresie kredytowania N, a odsetki będą spłacane kolejnych ratach.

11.3 Oprocentowanie składane - stopa stała spłata kredytu w ratach odsetkowych Ø 1.2 Kredyt długoterminowy W przypadku gdy kapitał P będzie spłacany po N latach, a odsetki będą spłacane ratami, to zasadę równoważności kapitału możemy zapisać w postaci: dla stałej stopy procentowej (11.14) dla zmiennej stopy procentowej (11.15) Oznaczenia

równe raty odsetkowe In = P · r (11.17) Załóżmy, że odsetki są spłacane w N równych ratach od terminu n =1, t.z.n. I0 = 0 , a In > 0 (11.16) Do obliczenia stałej raty odsetkowej In użyjemy poniższego wzoru: In = P · r (11.17) Jeżeli równa rata odsetkowa jest płacona również w terminie zerowym to po przekształceniach otrzymamy: In = P · r · [(1 + r)N –1] / [(1 + r)N+1 –1] (11.18) Oznaczenia

· jednorazowe raty odsetkowe W przypadku gdy: I0 > 0 oraz In = 0 (11.19) Wzór na obliczanie jednorazowej raty odsetkowej jest następujący: I0 = P · [(1 + r)N –1] / [(1 + r)N (11.20) W ogólnym przypadku spłaty odsetek w terminie n ich wartość liczymy za pomocą poniższego równania: In = P · [(1 + r)N –1] / [(1 + r)N-n (11.21) Wzór na spłatę kredytu w terminie n.

11.4 Oprocentowanie składane – stopa zmienna Kredyt ratalny Równe raty odsetkowe Jeżeli odsetki mają być spłacone w ratach równych dla n=1,...,N. Przy zmiennej stopie procentowej, to po odpowiednim przekształceniu zasady równoważności kapitału otrzymujemy następujący wzór do obliczania tych rat: In = P · r n (11.22 ) · Jednorazowe raty odsetkowe Jeżeli odsetki mają być spłacone jednorazowo z góry w terminie n = 0 to z zasady równoważności kapitału po przekształceniach otrzymamy: I0 = P · [(1 + r1) ·,...,·(1 + rN) –1] /[(1 + r1) ·,...,·(1 + rN)] (11.23) Oznaczenia

In = P · [(1 + r1) ·,...,·(1 + rN) –1] /[(1 + r n+1) ·,...,·(1 + rN)] W przypadku jednorazowej spłaty odsetek dla n = 1 ,...,N korzystamy ze wzoru: In = P · [(1 + r1) ·,...,·(1 + rN) –1] /[(1 + r n+1) ·,...,·(1 + rN)] (11.24) W przypadku rat odsetkowych, kapitał P zostanie spłacony jednorazowo po okresie kredytowania N, a odsetki będą spłacane kolejnych ratach.