Wykład 6 Metody Monte Carlo

Metody Monte Carlo Najszerzej: są to metody oparte na wykorzystaniu liczb losowych do rozwiązania określonego problemu obliczeniowego.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa: Zdarzenie elementarne jest to możliwy wynik doświadczenia losowego, zwykle przypisane jest jemu pewne prawdopodobieństwo wystąpienia. Prawdopodobieństwo jest to funkcja P(X), która przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru zdarzeń losowych pewną nieujemną wartość rzeczywistą.

Definicje prawdopodobieństwa: Definicja klasyczna (Laplace'a) w roku 1812. Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. Definicja częstościowa: gdzie kn(A) to liczba rezultatów sprzyjających zdarzeniu A po n próbach.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A możemy zapisać w postaci: gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś |Ω| liczbę elementów zbioru Ω. Przykład: Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba oczek będzie większa od 5? Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem liczba możliwych zdarzeń |Ω| = 6. Zbiór zdarzeń sprzyjających A = {6}, liczba zdarzeń sprzyjających |A| = 1. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

Definicje prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwo geometryczne Definicja klasyczna nie pozwala obliczać prawdopodobieństwa w przypadku, gdy zbiory A i Ω są nieskończone, jeśli jednak zbiory te mają interpretację geometryczną, zamiast liczebności zbiorów można użyć miary geometrycznej (długość, pole powierzchni, objętość). Przykład: z przedziału [0,4] wybieramy losowo punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany punkt będzie należał do przedziału [1,2]? Odpowiedź: Długości przedziałów wynoszą odpowiednio: |[0,4]| = 4 i |[1,2]| = 1. Zatem prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia wynosi:     

Prawdopodobieństwo ma następujące własności: P(Ω) = 1, gdzie Ω jest przestrzenią (zbiorem) zdarzeń elementarnych prawdopodobieństwo sumy przeliczalnego zbioru zdarzeń parami rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: P(A1  ...  An  ... ) = P(A1) + ... + P(An) + ... Wartość P(X) nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia X. Ważniejsze własności prawdopodobieństwa: P(A) ≥ 0 P(Ø) = 0 (UWAGA: z P(A)=0 nie wynika, że A=Ø) A  B  P(A) ≤ P(B) P(A) ≤ 1 A  B  P(B|A) = 1 P(A) + P(A') = 1, gdzie A′ oznacza zdarzenie losowe przeciwne do A P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B).

Rozkład zmiennej losowej X (o wartościach rzeczywistych) jest to prawdopodobieństwo PX określone na zbiorze podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych R wzorem: Funkcja gęstości rozkładu Jeżeli istnieje funkcja f taka, że to zmienną X nazywamy zmienną typu ciągłego. Mamy wtedy: Funkcję f nazywamy funkcją gęstości rozkładu zmiennej X. Funkcję P nazywamy dystrybuantą rozkładu losowego

Rozkład Boltzmanna kB (stała Boltzmanna) = 1.38´10-23 J/K NAkB = R (uniwersalna stała gazowa) = 8.3143 J/(mol´K) q – położenia; p – pędy; w(E) – gęstość stanów o energii E

Początki: prawdopodobnie starożytność Pierwsze udokumentowane użycie: G. Comte de Buffon (1777) obliczenia całki przez rzucanie igły na poziomą płaszczyznę pokrytą równoległymi liniami prostymi. Pierwsze zastosowanie na wielką skalę: J. von Neumann, S. Ulam, N. Metropolis, R.P. Feynman i in. (lata 1940-te; projekt Manhattan) obliczenia rozpraszania i absorpcji neutronów. Nazwa ,,Monte Carlo” została wymyślona jako kryptonim dla tego typu rachunków i odpowiednich metod matematycznych.

Zgrubny podział metod Monte Carlo Metoda von Neumanna Metoda Metropolisa (łańcuchów Markowa)

Ilustracja różnicy między metodą von Neumanna a metodą Metropolisa Ilustracja różnicy między metodą von Neumanna a metodą Metropolisa. Pomiar średniej głębokości Nilu

Metoda von Neumanna Obszar w którym chcemy policzyć wielkość uśrednioną pokrywamy siatką punktów i dla każdego z nich obliczamy gęstość prawdopodobieństwa oraz wielkość, którą chcemy uśrednić: Np. dla rozkładu Boltzmanna:

Przykład zastosowania podejścia von Neumanna do obliczania liczby p 1

Metoda Metropolisa (łańcuchy Markowa) Bierzemy startową konfigurację układu daną współrzędnymi (x10,y10,z10,…,xn0,yn0,zn0); tej konfiguracji odpowiada energia E0. Zaburzamy losowo wybraną współrzędną, np. xi0 or Dxi (mała wartość). Obliczamy energię nowej konfiguracji i oznaczamy ją jako E1. Jeżeli E1<E0 to nową konfigurację akceptujemy traktując jako nową konfigurację startową i przechodzimy do punktu 1; w przeciwnym przypadku przechodzimy do punktu 5. Wykonujemy test Metropolisa: Generujemy liczbę losową y z przedziału (0,1). Jeżeli exp[-(E1-E0)/kT]>y, (k jest stałą Boltzmanna) akceptujemy nową konfigurację, w przeciwnym przypadku przechodzimy do punktu 2 ze starą konfiguracją.

Konfiguracja Xo, energia Eo Zaburz konfigurację Xo: X1 = Xo + DX Oblicz nową energię (E1) NIE E1<Eo ? NIE Wylosuj Y z U(0,1) TAK Oblicz W=exp[-(E1-Eo)/kT] W>Y? TAK Xo=X1, Eo=E1

E1 E0 E1 Akceptacja z prawdopodobieństwem exp[-(E2-E1)/kBT] Bezwzględna akceptacja E1

Obliczanie średnich metodą Monte Carlo Średnia wielkości A Indeks i przebiega przez wszystkie kroki Monte Carlo, również te gdzie nowa konfiguracja nie została zaakceptowana. Tak więc jeżeli jakaś konfiguracja ma bardzo niską energię i nie chce przejść w alternatywną, będzie liczona wielokrotnie.

Reprezentacja przestrzeni w metodach Monte Carlo Siatkowa (dyskretna). Centra oddziaływań mogą być tylko w węzłach sieci o określonej topologii. Ciągła. Centra oddziaływań mogą przyjąć dowolne położenie w przestrzeni trójwymiarowej.

Zastosowania metody Metropolisa w chemii obliczeniowej Wyznaczanie wielkości mechanicznych i termodynamicznych (gęstość, średnia energia, pojemność cieplna, przewodnictwo, współczynniki wirialne). Symulacje przemian fazowych. Symulacje właściwości polimerów. Symulacje zwijania białek i innych biopolimerów. Symulacje wiązania ligandów z receptorami oraz szacowanie energii swobodnej tego procesu (projektowanie leków). Symulacje reakcji chemicznych.

Przykład trajektorii zwijania prostego siatkowego moselu polimeru metodą Monte Carlo Sample MC trajectory of a good folder; Model 1a

Kmiecik i Koliński, Biophys. J., 94, 726-736 (2008) Ścieżka zwijania białka G znaleziona metodą Monte Carlo z wykorzystaniem siatkowego modelu białka Kmiecik i Koliński, Biophys. J., 94, 726-736 (2008)