Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Równania ruchu Rachunki oparte na bilansie różnych wielkości w obszarach kontrolnych są dobre wtedy, gdy wielkości fizyczne występujące w bilansie są w przybliżeniu jednorodne na ściankach obszaru kontrolnego. W rzeczywistych problemach fizycznych bywa jednak tak, że interesujące nas wielkości wykazują znaczne różnice lokalne wewnątrz obszaru kontrolnego. Oczywiście zawsze można wybrać obszar kontrolny na tyle mały ( w porównaniu z przestrzenną skalą zmienności interesującej nas wielkości), żeby wszystkie pola wewnątrz były w przybliżeniu jednorodne. Obszary kontrolne i ich bilanse są jednak użyteczne tylko wtedy, gdy są ograniczone takimi powierzchniami, na których wartość badanych wielkości lub ich strumieni jest znana. Są to jakieś fizycznie wyróżnione powierzchnie: dno, ścianki, powierzchnia wody, górna granica warstwy granicznej atmosfery, tropopauza, itp. Jeśli wybierzemy obszar kontrolny ograniczony innymi powierzchniami, które nie mają znaczenia fizycznego, to bilans zawsze możemy napisać, ale nie będzie on przydatny, bo będzie miał zbyt dużo niewiadomych. Skala długości fal Skala poziomej zmienności prędkości Naturalne granice fizyczne Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Infinitezymalny obszar kontrolny Rozważanie bardzo małego obszaru kontrolnego, nie przydaje się do obliczania wartości interesującej wielkości lub jej strumienia na wybranej ściance, bo zwykle nie znamy tych wartości na pozostałych ściankach. Jednakże bilans daje związki pomiędzy wartościami wielkości i strumieni na ściankach. Kiedy z rozmiarem obszaru kontrolnego zbiegamy do zera, to są to związki między wielkościami i strumieniami w punkcie. Najpierw weźmiemy bardzo mały (infinitezymalny) obszar Później przejdziemy do granicy Przyjmujemy, że obszar jest na tyle mały, że badana wielkość jest jednorodna na każdej ściance (choć mogą być różnice pomiędzy ściankami) Środek sześcianu jest w punkcie Do tego obszaru kontrolnego zastosujemy równanie bilansu: Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Prawo zachowania Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Prawo zachowania w postaci różniczkowej oznaczają W granicy ilorazy różnicowe stają się pochodnymi cząstkowymi, a zamienia się na gdzie jest gęstością źródeł wielkości na jednostkę objętości i jednostkę czasu Prawo zachowania wielkości w postaci różniczkowej. Dotyczy każdego punktu w przestrzeni, a nie jakiegoś obszaru kontrolnego Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Zanieczyszczenie reagujące chemicznie Rozważmy zanieczyszczenie, którego stopniowo ubywa, wskutek zachodzącej reakcji chemicznej. W tym przypadku jest źródłem ujemnym, czyli spływem. Zasady kinetyki chemicznej mówią, że w pierwszym przybliżeniu tempo reakcji chemicznej jest proporcjonalne do stężenia reagującego składnika (im więcej jest cząsteczek reagenta, tym więcej tych cząsteczek wchodzi w reakcję. Wobec tego realistycznym modelem wyrazu źródłowego jest , gdzie jest stałą zaniku o wymiarze . Rozważ problem jednowymiarowy, w którym plama reagującego chemicznie zanieczyszczenia jest unoszona przez jednorodny przepływ. Prawo zachowania przyjmuje postać Jeżeli początkowy rozkład stężenia zanieczyszczenia jest równy to rozkład stężenia w funkcji czasu będzie równy Co oznacza „problem jednowymiarowy? Taka ewolucja stężenie jest wynikiem jednoczesnego unoszenia i zaniku spowodowanego reakcją chemiczną Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Zachowanie masy Jeśli rozważaną wielkością jest masa, to „stężenie” oznacza gęstość, W przyrodzie nie występują ani dodatnie, ani ujemne źródła masy, więc wyraz źródłowy w równaniu bilansu jest równy zeru, . Wtedy przyjmuje postać: Równanie ciągłości W wielu problemach z zakresu fizyki środowiska zmiany gęstości, zarówno w czasie, jak i w przestrzeni, są pomijalnie małe, czyli Wtedy równanie ciągłości sprowadza się do: Czasem to równanie nazywane jest równaniem ciągłości, ale poprawnie nazywa się je warunkiem nieściśliwości Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Bilans pędu - ciśnienie Kolejną wielkością zachowaną jest pęd. jest teraz pędem na jednostkę objętości , a więc jest to teraz wielkość wektorowa. Zgodnie z prawem Newtona źródłami pędu są siły. Tak jak poprzednio bierzemy pod uwagę dwie najważniejsze siły: ciśnienie i grawitacje. W rubryce „pozostałe siły” są siły tarcia. Wypadkowa siła w kierunku związana z różnicą ciśnień na przeciwległych ściankach Rozwiniecie w szereg Taylora: Analogicznie w pozostałych kierunkach: wektorowo Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Bilans pędu - grawitacja Siła grawitacji działająca na płyn wewnątrz obszaru kontrolnego jest równa , gdzie jest masą płynu wewnątrz obszaru kontrolnego, a jest przyspieszeniem grawitacyjnym. Masa wewnątrz obszaru kontrolnego jest równa A więc siła grawitacji wektorowo Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Bilans pędu – siły tarcia Siły tarcia są trochę bardziej skomplikowane, bo na każdej ściance „kostki kontrolnej” mamy trzy składowe sił tarcia (jedną normalna i dwie styczne). To je różni od ciśnienia, które działało tylko w kierunku normalnym. Na przykład na górną ściankę (prostopadłą do osi ) „kostki kontrolnej” działa wektor siły tarcia, który ma składowe Pierwszy indeks wskazuje orientację ścianki (wektor normalny do ścianki jest w kierunku osi ), a drugi indeks oznacza składową wektora. Jak widać na rysunku wypadkowa siła wzdłuż osi jest równa Wypadkowa siła tarcia w kierunku Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Bilans pędu – siły tarcia Rozwinięcie w szereg Taylora wokół środkowego punktu : W granicy kiedy są bardzo małe: Wypadkowa siła tarcia w kierunku Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Bilans pędu Ogólne prawo zachowania w postaci różniczkowej Zastosujmy do składowej pędu w kierunku (jest to wielkość zachowana): (pęd na jednostkę objętości) „Źródłem” pędu jest wypadkowa siła (na jednostkę objętości) w kierunku : (o grawitacji nie zapominamy, ale jej składowa w kierunku jest równa zero) Analogicznie dla składowych grawitacja Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Równanie pędu Analogicznie dla pozostałych składowych pędu: W postaci wektorowej: Prawo zachowania masy! Równanie pędu lub równanie ruchu Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Przybliżenie Boussinesqa Przypuśćmy, że gęstość jest niejednorodna, ale jej przestrzenna (i czasowa) zmienność jest niewielka: W takiej sytuacji stosujemy przybliżenie Boussinesqa. Polega ono na tym, że zastępujemy przez wszędzie z wyjątkiem wyrazu z grawitacją Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) Przybliżenie Boussinesqa. Często pod tym hasłem rozumie się jeszcze dodatkowe założenie Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów http://meted.ucar.edu/mesoprim/gapwinds/print.htm Gap wind „Gap wind” są wiatrami na małych wysokościach związanymi z przerwami w łańcuchach górskich, przesmykami, cieśninami i innymi obniżeniami terenu o szerokości od setek metrów do ponad stu kilometrów. W zależności od sytuacji mogą osiągać prędkości do 100 km/h. Są zwykle bardzo „płytkie – od kilkudziesięciu do kilkuset metrów nad powierzchnia gruntu i mają duże gradienty prędkości („shear”) na górnej granicy i na bocznych granicach. „Gap winds” są zwykle silne wtedy, gdy duża jest różnica ciśnień po dwóch stronach „przerwy (gap), ale są też „gap winds”, które od tej różnicy ciśnień nie zależą. Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Gap wind – efekt Venturiego Gdyby przełęcz miała sztywną „pokrywkę”, to wiatr miałby największą prędkość tam, gdzie kanał jest najwęższy. Obserwacje pokazują jednak, że prędkość „gap wind” jest zwykle największa u wylotu przewężenia. Wynika to stąd, że w przewężeniu nastepuje spiętrzenie cięższego, chłodniejszego powietrza. Zdjecie satelitarne Gibraltaru. „Gap wind” wieje ze wschodu na zachód. Po stronie zachodniej (wylot) wiatr jest silniejkszy. Ciemny kolor, to bardziej sfalowane może i słabsze odbicie w kierunku satelity. Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Gap wind – przełęcz Nuuanu Pali Efekt Venturiego ma małe znaczenie w przesmykach szerokich (10-100 km), ale ma duże znaczenie w przesmykach wąskich (kilkaset metrów do kilku kilometrów). Przykład: pokazana na zdjęciu przełęcz Nuuanu Pali na Hawajach. Kiedy północno-zachodni pasat „przeciska się” przez przełęcz prędkość „gap wind” dochodzi do 70 km/h. Przewodniki turystyczne ostrzegają przed tymi wiatrami. Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Gap wind - obliczenia „Gap wind” w przesmyku przyspiesza od prędkości 12 m/s, do prędkości 40 m/s na dystansie 2 km. Porównaj przyspieszenie powietrza w kierunku poziomym z przyspieszeniem ziemskim. Który wyraz w równaniu pędu równoważy wyraz odpowiadający przyspieszeniu w kierunku poziomym? Jeśli oś wybierzemy w kierunku wiatru, to prędkość wiatru jest równa . Przepływ jest ustalony, a więc nie ma zależności od czasu. Składową prędkości w kierunku można pominąć (jest dużo mniejsza od ). Tarcie odgrywa niewielką rolę. Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Gap wind - przyspieszenie Składowa -owa równania Składowa -owa równania Wyraz po lewej stronie jest równy przyspieszeniu powietrza (w kierunku poziomym). Przyspieszenie wiatru wynosi jedynie ok. 4% przyspieszenia ziemskiego Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Gap wind - ciśnienie Ciśnienie maleje, gdy powietrze przyspiesza Spadek ciśnienia na dystansie 2 km wynosi: Jest to bardzo mały spadek ciśnienia w porównaniu z wartością ciśnienia atmosferycznego, które wynosi Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Pytania i zadania Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Pytania i zadania Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Pytania i zadania Zadanie 3 Rozważ reagujące chemicznie zanieczyszczenie omawiane na Wykładzie 5, którego transport opisuje równanie Przyjmij, że w chwili początkowej rozkład przestrzenny zanieczyszczenia dany jest wzorem Przyjmij, prędkość z jaką zanieczyszczenie jest unoszone prze płyn wynosi , a stała zaniku jest równa . Zgodnie z przepisami maksymalne dopuszczalne stężenie wynosi . Wyznacz zasięg obszaru, który został skażony (w kilometrach) i oblicz ile godzin trwało skażenie. Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów

Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów Pytania i zadania Zadanie 4 Rzeka o powierzchni przekroju pionowego równej i przepływie . W punkcie do rzeki zrzucane są częściowo oczyszczone ścieki w tempie . Ścieki zawierają biochemiczne zapotrzebowanie tlenu (BOD) o stężeniu , które zanika w wodzie w tempie . Prześledź stężenie BOD poniżej miejsca zrzutu ścieków. W szczególności oblicz ile wynosi stężenie BOD tuż po dobrym wymieszaniu z wodą w rzece (zakładając, że w tej krótkiej początkowej fazie zanik BOD jest pomijalnie mały). Oblicz w jakiej odległości od miejsca zrzutu ścieków stężenie BOD spada poniżej . Przyjmij, że stan jest stacjonarny. Wstęp do Fizyki Środowiska - Podstawy mechaniki płynów