dr inż. Monika Lewandowska                           Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej promieniowaniem laserowym dr inż. Monika Lewandowska

Plan seminarium Cel pracy Sformułowanie zagadnienia Model matematyczny zagadnienia Model w zmiennych wymiarowych Model w zmiennych bezwymiarowych Rozwiązanie modelu Transformacja Laplace’a Rozwiązanie w dziedzinie obrazu Rozwiązanie w dziedzinie oryginału Weryfikacja poprawności rozwiązania Przykładowe obliczenia i dyskusja wyników Podsumowanie i wnioski

Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury Cel pracy Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury w cienkiej warstwie ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym

Podstawowe założenia Badany ośrodek - cienka warstwa o grubości l Stała temperatura początkowa T0 W chwili początkowej rozpoczyna się ogrzewanie obu powierzchni ośrodka Zagadnienie jednowymiarowe Izolowane brzegi Stałe parametry termofizyczne

Model matematyczny r - gęstość ośrodka [kg/m3] cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg K)] q – gęstość strumienia ciepła [W/(m2 K)] g – wydajność wewnętrznego źródła ciepła [W/m3] k – przewodność cieplna [W/(m K)] tk – czas relaksacji strumienia ciepła [s]

Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła Model matematyczny Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła - dyfuzyjność cieplna ośrodka [m2/s] - prędkość propagacji fali termicznej [m/s] Model ogrzewania laserowego I(t) – intensywność padającego promieniowania laserowego [W/m2] R – współczynnik odbicia powierzchni metalu m – współczynnik pochłaniania metalu [m-1]

Warunki graniczne Warunki początkowe: Warunki brzegowe:

Zmienne bezwymiarowe

Model w postaci bezwymiarowej Równanie przewodzenia ciepła: Warunki graniczne: Model źródła ciepła:

Rozwiązanie zagadnienia metodą transformacji Laplace’a Transformata Laplace’a równania i warunków brzegowych

Rozwiązanie w dziedzinie obrazu

Rozwinięcie w szereg dwumianowy

Rozwiązanie w dziedzinie oryginału

Weryfikacja poprawności rozwiązania Porównanie wyników otrzymywanych na podstawie rozwiązania analitycznego z wynikami obliczeń numerycznych uzyskanych za pomocą algorytmu MacCormacka Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązania spełniają równanie bilansu energii dla całego ośrodka

Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego

Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego

Wyniki obliczeń dla źródła stałego

Wyniki obliczeń dla źródła stałego

Wyniki obliczeń dla źródła stałego

Podsumowanie i wnioski Otrzymano rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym Poprawność rozwiązania została zweryfikowana przez porównanie z wynikami obliczeń numerycznych oraz sprawdzenie bilansu energii dla całego ośrodka Wyniki porównano z wynikami obliczeń numerycznych z pracy Torii et al. Uzyskane przez nas przyrosty temperatury są wyższe od opisanych przez Torii et al. (szczególnie dla małych wartości b i L), a rozbieżności narastają dla dłuższych czasów. Świadczy to o zastosowaniu przez Torii et al. błędnego schematu różnicowego dla brzegów ośrodka.

Literatura M. Lewandowska: Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time dependent laser heat source. Heat Mass Transfer 37 (2001) 333-342. M. S. Torii, W-J Yang: Heat transfer mechanisms in thin film with laser heat source. Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005) 537-544. M. Lewandowska, L. Malinowski: An analytical solution of the hyperbolic heat conduction equation for the case of a finite medium symmetrically heated on both sides. Int. Com. Heat Mass Transfer 33 (2006) 61-69