Podstawy fotoniki wykład 2 „Fala świetlna” At the beginning of the 19th century, Young repeated some experiments which had been performed by Grimaldi around 1665 namely interference using Young's holes or slits. He showed that the superposition of two beams does not necessarily imply an increase in the optical power which means that light could be either summed or subtracted. Young had the idea to explain his result using a wave picture for light. This was formalised a few years later by Fresnel who introduced a scalar theory of light. Experiments performed with polarisation led to the introduction of vectorial waves necessary to describe all experimental data. Finally at the middle of the 19th century Maxwell and Faraday were able to interpret light as a wave of the form with. All was for the best in the best of worlds except for some unaccounted for results

… jest przenoszona przez powietrze poprzez „drgania ciśnienia „ optoelectronics Fala dźwiękowa … jest przenoszona przez powietrze poprzez „drgania ciśnienia „

Te drgania docierają do naszych uszu optoelectronics Te drgania docierają do naszych uszu w ten sposób słyszymy dźwięki

optoelectronics REZONANS Drgający system jest w rezonansie z siła wymuszająca wtedy, gdy jej częstotliwość odpowiada jednej z naturalnych częstotliwości własnych systemu  system odpowiada dużą amplitudą drgań; A

Planetarny model atomu Bohra optoelectronics Planetarny model atomu Bohra

Rozkład kątowy energii emitowanej przez drgający dipol jest optoelectronics Rozkład kątowy energii emitowanej przez drgający dipol jest przedstawiony na następnym rysunku. Atom jako oscylator wzbudzany promieniowaniem EM 

Historia, XIX wiek optoelectronics Young (~1800): interferencja, sumowanie i odejmowanie fal fala sinusoidalna Fresnel (1814-20): matematyczna teoria dyfrakcji i interferencji fala skalarna Fresnel - Arago (1820-30): zjawiska polaryzacyjne poprzeczna fala wektorowa Faraday - Maxwell (1850-64): światło jako zjawisko elektromagnetyczne fala At the beginning of the 19th century, Young repeated some experiments which had been performed by Grimaldi around 1665 namely interference using Young's holes or slits. He showed that the superposition of two beams does not necessarily imply an increase in the optical power which means that light could be either summed or subtracted. Young had the idea to explain his result using a wave picture for light. This was formalised a few years later by Fresnel who introduced a scalar theory of light. Experiments performed with polarisation led to the introduction of vectorial waves necessary to describe all experimental data. Finally at the middle of the 19th century Maxwell and Faraday were able to interpret light as a wave of the form with. All was for the best in the best of worlds except for some unaccounted for results

Równania Maxwella optoelectronics James Clerk Maxwell (1831-1879)

Prawo Gaussa dla Pola magn. Równania Maxwella optoelectronics Równania Maxwella w postaci różniczkowej i całkowej. + równania materiałowe. Postać różniczkowa Postać całkowa Nazwa odpow. prawa I II III IV Prawo Ampera Prawo indukcji Faradaya Prawo Coulomba Prawo Gaussa (E) Prawo Gaussa dla Pola magn.

Warunki graniczne Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ1, e1, μ1) and (σ2,e2,μ2) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwell’a. Oznaczmy: an12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2, indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.

Oto te równania: Na granicy Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy. Składowa styczna H jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy. Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku rS na powierzchni granicznej.

Równanie falowe optoelectronics Przekształcając równania Maxwella i korzystając z równań materiałowych można uzyskać równanie falowe dla fali E-M Załóżmy, że mamy ośrodek homogeniczny i izotropowy, oraz że nie zawiera on ładunków. Oznacza to że , ,  =const. i  = 0. Cztery równania Maxwella mają wtedy w układzie SI następującą postać:

Równanie falowe optoelectronics Wykonajmy kolejno zaznaczone po prawej stronie równań I’ i II’ (prawo Ampera i Faradaya) operacje. Otrzymamy wtedy następujące równania: = 0

Równanie falowe Eliminując z tych równań wyrażenia oraz oraz optoelectronics Eliminując z tych równań wyrażenia oraz oraz mnożąc wynik obustronnie przez 1/0 otrzymujemy, dla ośrodka dielektrycznego i przy założeniu rozwiązań postaci równania dla E: ,

( ) ¶2 y r,t = v ¶x2 ¶t2 Równanie falowe 2 optoelectronics Równanie falowe jest liniowym, cząstkowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Zaburzenie , które może reprezentować ciśnienie fali dźwiękowej lub pole elektryczne fali E-M, zmienia się w czasie (t) i przestrzeni (r). ( ) 2 r,t v ¶2 = ¶t2 ¶x2 y

Równanie falowe  jest funkcją położenia r i czasu t. optoelectronics  jest funkcją położenia r i czasu t. W optyce falowej do wyjaśnienia zjawisk dyfrakcji, interferencji, dwójłomności wystarczy równanie falowe dla wielkości skalarnej, często ograniczone do jednej składowej wektora r u(r,t) = a(r) cos[2pnt + j(r) ] a(r) - amplituda n=c/l - częstotliwość, w = 2pn j (r)= faza początkowa

• Fala świetlna jest okresowa w czasie i przestrzeni optoelectronics At the beginning of the 19th century, Young repeated some experiments which had been performed by Grimaldi around 1665 namely interference using Young's holes or slits. He showed that the superposition of two beams does not necessarily imply an increase in the optical power which means that light could be either summed or subtracted. Young had the idea to explain his result using a wave picture for light. This was formalised a few years later by Fresnel who introduced a scalar theory of light. Experiments performed with polarisation led to the introduction of vectorial waves necessary to describe all experimental data. Finally at the middle of the 19th century Maxwell and Faraday were able to interpret light as a wave of the form with. All was for the best in the best of worlds except for some unaccounted for results λ, T • λ długość fali • T okres • Fala świetlna jest okresowa w czasie i przestrzeni • Porusza się z prędkością światła “ c”.

optoelectronics At the beginning of the 19th century, Young repeated some experiments which had been performed by Grimaldi around 1665 namely interference using Young's holes or slits. He showed that the superposition of two beams does not necessarily imply an increase in the optical power which means that light could be either summed or subtracted. Young had the idea to explain his result using a wave picture for light. This was formalised a few years later by Fresnel who introduced a scalar theory of light. Experiments performed with polarisation led to the introduction of vectorial waves necessary to describe all experimental data. Finally at the middle of the 19th century Maxwell and Faraday were able to interpret light as a wave of the form with. All was for the best in the best of worlds except for some unaccounted for results

Ważne zależności optoelectronics Odległość: Długość fali l (nm) jest odwrotnie związana z liczbą falową (wektorem falowym ) k (nm-1) lub pędem p. Czas: Okres T (s) jest odwrotnie związana z częstością w (s-1) lub energią E.

optoelectronics Fronty falowe to powierzchnie na których wszystkie punkty są w tej samej fazie ruchu At the beginning of the 19th century, Young repeated some experiments which had been performed by Grimaldi around 1665 namely interference using Young's holes or slits. He showed that the superposition of two beams does not necessarily imply an increase in the optical power which means that light could be either summed or subtracted. Young had the idea to explain his result using a wave picture for light. This was formalised a few years later by Fresnel who introduced a scalar theory of light. Experiments performed with polarisation led to the introduction of vectorial waves necessary to describe all experimental data. Finally at the middle of the 19th century Maxwell and Faraday were able to interpret light as a wave of the form with. All was for the best in the best of worlds except for some unaccounted for results

Fale płaskie x powierzchnie stałej amplitudy z powierzchnie optoelectronics Fale płaskie x kierunek propagacji powierzchnie stałej amplitudy z powierzchnie stałej fazy Przepływ mocy (wektor Poyntinga) równoległy do powierzchni stałej amplitudy

Równanie falowe Główny postulat optyki falowej: równanie falowe: optoelectronics Główny postulat optyki falowej: równanie falowe: gdzie: Laplasjan, skalar u(r, t): funkcja falowa; c: prędkość światła równanie falowe jest liniowe => obowiązuje zasada superpozycji co oznacza, że jeżeli u1(r, t) i u2(r, t) przedstawiają fale optyczne to u (r, t) = u1(r, t) + u2(r, t) jest również falą optyczną

Natężenie, moc, energia optoelectronics Natężenie światła jest proporcjonalne do średniej z kwadratu funkcji falowej < > oznacza uśrednianie po czasie znacznie dłuższym od cyklu optycznego, czas cyklu; 2 x 10-15 s = 2 fs Moc optyczna przechodząca przez powierzchnię prostopadła do kierunku propagacji Energia optyczna = moc w czasie, E [J]

Pęd fali elektromagnetycznej optoelectronics pęd na jednostkę objętości Eksperyment : radiometr Crooksa (skrzydełka wiatraczka poczernione z jednej strony, posrebrzone z drugiej - efekt radiometryczny dla fali spolaryzowanej kołowo, dla spolaryzowanej liniowo = 0

Równanie falowe u(r,t) = a(r) cos[2pnt + j(r) ] a(r) - amplituda optoelectronics u(r,t) = a(r) cos[2pnt + j(r) ] a(r) - amplituda n=c/l - częstotliwość, w = 2pn j (r)= faza początkowa W optyce falowej do wyjaśnienia zjawisk dyfrakcji, interferencji, dwójłomności wystarczy równanie falowe dla wielkości skalarnej, często ograniczone do jednej składowej wektora r Wygodnie jest również stosować opis zespolony

optoelectronics Każda wielkość fizyczna jest rzeczywista, można ją otrzymać z postaci zespolonej biorąc część RZECZYWISTĄ Rzeczywistą funkcję falową u(r,t) można przed-stawić w postaci zespolonej wykorzystując zależność Eulera: mamy wtedy

Diagram fazowy E Eo w Eo fo t E t optoelectronics formuła Eulera : eix = cos x + i sin x rzut na oś y E = Eo sin(kr – wt + o) E = Eo ei(kr – wt + o) Im E Eo w Eo t = 0 fo Re t E rzut na oś x E = Eo cos(kr – wt + o) t

zwane równaniem HELMHOLTZA optoelectronics Jeżeli wstawimy do równania falowego to otrzymamy: ponieważ: zwane równaniem HELMHOLTZA

E = Re {Eo ei(kr – wt + o)} Fale sferyczne: optoelectronics Najprostszymi rozwiązaniami równania Helmholtza w ośrodku jednorodnym są fale płaskie i kuliste Fale płaskie: E = Re {Eo ei(kr – wt + o)} Fale sferyczne: E = Re {(Eo/r) ei(kr – wt + o)} Bierzemy część rzeczywistą (często opuszcza się w notacji Re)

optoelectronics Najprostszymi rozwiązaniami równania Helmholtza w ośrodku jednorodnym są fale płaskie i kuliste Fala płaska: ogólna postać fazy warunek stałej fazy prowadzi do równania wiążącego wektor falowy k, wektor położenia r i czas t płaszczyzna stałej fazy

równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego Aby spełnić równanie Helmholtza musi zachodzić: (długość wektora falowego=liczbie falowej) czyli fronty falowe spełniają zależność: Jest to równanie równoległych płaszczyzn prostopadłych do k, odległych o l=2p/k

jest zwane „falą płaską Kontury maksymalnej fazy fali płaskiej, zwane “frontami falowymi” lub “frontami fazowymi” są, nieograniczonymi w przestrzeni, płaszczyznami. k Płaszczyzny te są odległe od siebie o długość fali l=2p/k 2 ) ( A I = r Fala płaska ma stałe natężenie wszędzie w przestrzeni, tak więc niesie nieskończoną moc.

Fale płaskie y x v z l Fale płaskie w 3D y z x k fronty falowe optoelectronics Fale płaskie y x v fronty falowe z l Fale płaskie w 3D y z x k

optoelectronics Fale płaskie w 3D Najprostsze rozwiązanie równania Helmholtza w ośrodku jednorodnym ma postać monochromatycznej fali płaskiej zespolona amplituda drgań Składowe wektora falowego k określającego kierunek propagacji,  i  to kąty w przestrzeni Czyli dla danej wartości wektora falowego k, tylko dwie jego składowe są niezależne, trzecia jest dana przez związek

Fale płaskie w 3D Propagującą się falę świetlną otrzymamy, gdy optoelectronics Fale płaskie w 3D Propagującą się falę świetlną otrzymamy, gdy Zakładamy (fale jednorodne) oraz że ki są rzeczywiste, ośrodek opisany nf x z k=k0nf  kx kz=b to efektywny współczynnik załamania

Wiązki laserowe a fale płaskie optoelectronics Wiązki laserowe a fale płaskie Idealna fala płaska charakteryzuje się płaskimi frontami falowymi w całej przestrzeni. Niesie nieskończoną energię. W rzeczywistości nie istnieje. Wiązka lasera jest bardziej zlokalizowana. Można ją traktować jak falę płaską względem z i czasu, oraz jako wiązkę Gaussowską w płaszczyźnie x y: Rozkład natężenia w płaszczyźnie xy w x y Zlokalizowane fronty falowe

Fale sferyczne (kuliste) optoelectronics Fale sferyczne (kuliste) Innym znanym rozwiązaniem równania falowego są fale kuliste: E = (Eo/r) cos [ kr – wt + o] e.g., punktowe źródło światła y z x k

k = 2/c liczba falowa - skalar r odległość od punktu 0, -skalar Fale sferyczne (kuliste) należą również do podstawowych rozwiązań równania Helmholtza k = 2/c liczba falowa - skalar r odległość od punktu 0, -skalar Faza koncentryczne sfery fronty falowe są sferyczne

Natężenie fali sferycznej I(r)=|A|2/r2. W odróżnieniu od fal płaskich, których amplituda pozostaje stała podczas propagacji, fale sferyczne ulegają osłabieniu. Ich intensywność zmienia się jak 1/r2. Przybliżenie Fresnela fali sferycznej; fala paraboliczna z sferyczna paraboliczna płaska Fala sferyczna ze źródła w r = 0. W punkcie r = (x, y, z) dalekim od początku (i.e. z>> (x2+y2)1/2) może być aproksymowana falą paraboliczną, a dalej płaską

Rozpraszanie na cząstkach i małych obiektach optoelectronics Fala płaska ulega padająca na małą cząstkę ulega rozproszeniu, powstaje fala kulista - zasada Huygensa Rozpraszanie na pojedynczej molekule lub cząstce jest słabe, ale wiele fal rozproszonych może się sumować, szczególnie w przypadku promieniowania spójnego i interferencji.

Fronty falowe Fronty falowe Fronty falowe Idealna fala płaska optoelectronics Fronty falowe (powierzchnie stałej fazy) k Fronty falowe r E Fronty falowe P l l P l O z Idealna fala płaska Idealna fala kulista Wiązka rozbieżna

Ciśnienie światła radiometr Crooksa wiatr słoneczny konsekwencje ciśnienia światła: radiometr Crooksa wiatr słoneczny ogony komet są odpychane od śłońca

Ciśnienie światła transport energii → pęd Pęd = E c = Siła = ciśnienie światła – konsekwencja istnienia siły powstającej po absorpcji fotonu i przekazie pędu transport energii → pęd Pęd = całkowita energia niesiona przez falę prędkość E c = pęd Siła = czas Ciśnienie ≡ siła powierzchnia Natężenie = = I czas powierzchnia I c Ciśnienie promieniowania = E/c czas*powierzchnia =

Przykład Natężenie światła słonecznego w W-wie wynosi 10 mW/cm2 Jaka jest amplituda Emax pola elektrycznego? Jakie jest ciśnienie światła na ziemię (zakładając, że jest całkowicie absorbująca)? Jakie jest ciśnienie na biały obiekt (zakładając, że całkowicie odbija światło)? Wreszcie, jaka jest maksymalna ilość energii, którą może zaabsorbować ogniwo słoneczne o powierzchni 1 m2 w czasie 1 sec ? Rozwiązanie Ziemia: Ciśnienie = Biały obiekt: ×2 większe → Ciśnienie = Energia = średnia gęstość energii × objętość = 100 J

Prędkość fazowa optoelectronics lub fala: lub fala inaczej:

Prędkość fazowa z -1 1 z(t) optoelectronics z -1 1 z(t) Prędkość fazowa opisuje ruch punktu, linii bądź powierzchni stałej fazy fali, odpowiednio 1D, 2D lub 3D

Prędkość fazowa optoelectronics W próżni, ( liczba falowa )

Złożenie dwóch fal: obraz optoelectronics fala #1 k = 11 fala #2 k = 10 #1 + #2

Złożenie dwóch fal optoelectronics Suma dwóch fal o równych amplitudach i nieznacznie różnych w “obwiednia” fali pakiet falowy obwiednia

Okresowy pakiet falowy, paczka falowa optoelectronics Okresowy pakiet falowy, paczka falowa Przestrzeń rzeczywista f(x) Przestrzeń Fouriera A(k) Dwa cosinusy Dwie funkcje delta

optoelectronics Prędkość grupowa Opisuje prędkość impulsu złożonego z grupy fal (inaczej fala nie jest monochromatyczna), np U1+U2

optoelectronics Prędkość grupowa Opisuje prędkość impulsu złożonego z grupy fal (inaczej fala nie jest monochromatyczna), np U1+U2 obwiednia z(t)

Prędkość grupowa Obwiednia złożonej fali optoelectronics Prędkość grupowa Obwiednia złożonej fali prędkość fazowa obwiedni czyli prędkość grupowa prędkość grupowa jest prędkością rozprzestrzeniania się energii, w światłowodzie k=b, grup=dw/db

Prędkość grupowa gdzie b jest stałą propagacji fali, która wynosi optoelectronics Prędkość grupowa gdzie b jest stałą propagacji fali, która wynosi wprowadzając grupowy współczynnik załamania M, prędkość grupową można zapisać w postaci dyspersja materiałowa

Dla fal złożonych definiuje się dwie prędkości optoelectronics Dla fal złożonych definiuje się dwie prędkości fazową vp: prędkość składowych o wysokiej częstotliwości grupową vg : prędkość obwiedni http://faculty.rmwc.edu/psheldon/webphysics/Modern/superposition2.htm