Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Wykład 9 Moce zbiorów 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Równoliczność Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wttw istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi. P ~ N 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 ... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Przykłady -P/2 P/2 f(x)= tg x Dowod (2) (1) Dowolne dwa przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych są równoliczne. a b c d f(x) = (d - c)(x - a)/(b - a) + c Dowód (1) (2) (- P/2, P/2) ~ R Lemat Jeśli A ~ B i B ~ C, to A ~ C. 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Zbiory przeliczalne Każdy zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy przeliczalnym. f(n) = 2n Zbiory skończone lub przeliczalne nazywa się co najwyżej przeliczalnymi. Zbiór liczb parzystych f(n) = 2n+1 Zbiór liczb nieparzystych f(x) = 2x+1, gdy x >0 f(x) = - 2x , gdy x <0 Zbiór liczb całkowitych 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Własności Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny. Wniosek: zbiór słów nad alfabetem skończonym jest zbiorem przeliczalnym. Przecięcie zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Suma zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Produkt zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. dalej 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. . . . -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4/2 -3/2 -2/2 -1/2 1/2 2/2 3/2 4/2 -4/3 -3/3 -2/3 -1/3 1/3 2/3 3/3 4/3 -4/4 -3/4 -2/4 -1/4 1/4 2/4 3/4 4/4 -4/5 -3/5 -2/5 -1/5 1/5 2/5 3/5 4/5 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Każdy nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny 1 2 3 4 5 6 7 . . . a b c d e f g h Niech X będzie zbiorem przeliczalnym, f - bijekcją taką, że f: N X oraz niech A będzie nieskończonym podzbiorem X. Definiujemy funkcję g : N  A tak, że g(0) = f(k0), gdzie k0 = min{i : f(i) A} g(1) = f(k1), gdzie k1 = min{i : f(i) A- {f(k0)}} g(2) = f(k2) ), gdzie k2 = min{i : f(i) A- {f(k0), f(k1)}} g jest funkcją różnowartoś-ciową i na A 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna {Ai}iN - rodzina zbiorów co najwyżej przeliczalnych. Skoro Ai jest co najwyżej przeliczalny, to możemy przedstawić ten zbiór w postaci ciągu nieskończonego {ai1 ,ai2, ai3, ...} ewentualnie powtarzając nieskończenie wiele razy element ostatni, gdy zbiór był skończony. a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 . . . a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a51 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Zbiory nieprzeliczalne Zbiory, które nie są co najwyżej przeliczalne nazywają się nieprzeliczalnymi. Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) jest nieprzeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Zbiór wszystkich funkcji f : N  {0,1} jest nieprzeliczalny. Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny. 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Przykład (1) Przedział [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ad (1) Gdyby zbiór [0,1] był przeliczalny, to jego elementy możnaby było ustawić w ciąg np. (ci) iN . Tworzymy ciąg przedziałów [a0,b0], [a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],... 1 a0 b0 a1 b1 c0 [a0,b0] a0b0 b0 -a0 = 1/3 c1 [a1,b1] a1b1 b1 -a1 = 1/9 c2 [a2,b2] a2b2 b2 -a2 = 1/27 itd. 1. Ciągi (ai) iN i (bi) iN są monotoniczne i ograniczone. 2. lim | ai - bi | = 0 Wniosek: istnieje liczba c= lim ai =lim bi . Ale c ci dla wszystkich iN ! Sprzeczność. 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Przykład (3) Zbiór 2 N wszystkich funkcji f : N {0,1} jest nieprzeliczalny. Dowód Zamiast mówić o funkcjach możemy mówić o ciągach zero-jedynkowych.Gdyby zbiór 2 N był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te ciągi w ciąg (ci) iN . c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , ... c21 , c22 , c23 , c24 , c25 , ... c31 , c32 , c33 , c34 , c35 , ... c41 , c42 , c43 , c44 , c45 , ... ... Oznaczmy kolejne elementy ciągu ci przez ci1 , ci2 ci3 , ... Konstruujemy ciąg d = d1d2d3... 0 gdy cii  0 1 gdy cii = 0 di = { Ciąg d2N i jest różny od wszystkich ciągów (ci) iN . Sprzeczność! 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Przykład (2) Przedział otwarty (0,1) jest zbiorem nieprzeliczalnym. 0, d11 d12 d13 d14 d15 , ... 0, d21 d22 d23 d24 d25 , ... 0, d31 d32 d33 d34 d35 , ... 0, d41 d42 d43 d44 d45 , ... Ciąg wszystkich liczb z przedziału (0,1). Dowód Gdyby zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te liczby w ciąg (di) iN . Oznaczmy kolejne cyfry po przecinku liczby di przez di1 , di2 di3 , ... Konstruujemy liczbę c = 0,c1c2c3c4... 5 gdy dii  5 7 gdy dii = 5 ci = { Oczywiście c jest różne od wszystkich liczb z ciągu (di) iN . Sprzeczność! 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Liczby kardynalne Liczba kardynalna zbioru jest cechą przypisaną zbiorowi w taki sposób, że (1) liczba kardynalna zbioru pustego to 0, (2) liczba kardynalna dowolnego zbioru skończonego, to liczba jego elementów, (3) zbiory równoliczne mają przypisaną tę samą cechę . card(N) = alef 0. card( R) = c. Definicja card(X) = card(Y) wttw X ~Y card(X)  card(Y) wttw istnieje podzbiór zbioru Y równoliczny z X. card(X) < card(Y) wttw istnieje podzbiór właściwy zbioru Y równoliczny z X oraz X nie jest równoliczne z Y. Oznaczenie : liczba kardynalna X = moc zbioru X = card(X) = |X| 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK Twierdzenie Cantora Dla każdego zbioru X , card(X) < card(2 X). Dowód: Jeśli X jest zbiorem pustym, to twierdzenie jest prawdziwe. Oczywiście card(X)  card(2 X), bo funkcja g(x)= {x} odwzorowuje X na podzbiór zbioru potęgowego P(X), a mianowicie na {{x}: xX}. Wystarczy pokazać, że żaden podzbiór zbioru X nie jest równoliczny z 2 X . Przypuścmy przeciwnie, że dla pewnego A, istnieje bijekcja f : A  2 X . Mamy dla każdego a  A, f(a)  X. Niech Z= { a  A : a f(a)}. Oczywiście Z  X, czyli dla pewnego a0 f(a0) = Z. Iprzypadek a0  Z II przypadek a0  Z Ale wtedy a0  Z Ale wtedy a0  Z Sprzeczność! 28 listopada 2001 Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK