Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006

Plan prezentacji Prawdopodobieństwo niepowodzenia definicja, wzory ogólne, przypadki szczególne, efektywność obliczeniowa. Systematyczne ryzyko śmiertelności wzory na prawdopodobieństwo dożycia, analiza statystyczna danych historycznych, wycena opcji na śmiertelność.

Część I Prawdopodobieństwo niepowodzenia

Proces ryzyka towarzystwa ubezpieczeń R(t) – definicja u – kapitał początkowy, c – prędkość napływania składki, S(t) – łączna wartość szkód do momentu t.

Przykładowa trajektoria procesu ryzyka

Prawdopodobieństwo ruiny Definicja 1. Niech R(t) będzie procesem ryzyka. Prawdopodobieństwem ruiny w czasie skończonym nazywamy

Prawdopodobieństwo niepowodzenia Definicja 2. Prawdopodobieństwem niepowodzenia nazywamy

Prawdopodobieństwo niepowodzenia, przypadek u = 0 Twierdzenie 1. Niech Gt będzie dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Jeśli kapitał początkowy u = 0, to

Prawdopodobieństwo niepowodzenia dla dowolnego u Twierdzenie 2. Niech Gt będzie różniczkowalną dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Niech wówczas

Związek z teorią kolejek Definicja 3. Procesem czasu obsługi dualnym do R(t) nazywamy proces V(t) Twierdzenie 3. Niech V(t) będzie procesem czasu obsługi dualnym do procesu ryzyka R(t). Jeśli V(0) = w, to niepowodzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy V(T) > u.

Szkody o wartościach stałych (1) Twierdzenie 4. Niech wszystkie szkody mają wartość h, niech w/h oraz u/h będą liczbami naturalnymi. Wówczas prawdopodobieństwo niepowodzenia można szacować poprzez

Szkody o wartościach stałych (2) Twierdzenie 4 (kontynuacja). ...gdzie jest zadane jawnym wzorem, np. dla T < w/c mamy

Szkody o rozkładzie dyskretnym Twierdzenie 5. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Niech szkody mają rozkład skupiony na liczbach naturalnych, niech K’n będzie zmienną zdefiniowaną w pracy Ignatova i Kaisheva (2000), wówczas gdzie Cin’ jest pewnym zbiorem ciągów.

Złożoność obliczeniowa dla metody Ignatova-Kaisheva (2000) Twierdzenie 6. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Liczba obliczeń wyznacznika potrzebnych do wyznaczenia wynosi 2n’ – 1.

Prawdopodobieństwo niepowodzenia: podsumowanie Zdefiniowano prawdopodobieństwo niepowodzenia i uzasadniono jego użyteczność. Wyznaczono ogólne wzory dla prawdopodobieństwa niepowodzenia. Wyznaczono wzory analityczne w szczególnych przypadkach. Wykazano, że prawdopodobieństwo to można wyliczać efektywniej niż prawdopodobieństwo ruiny.

Część II Systematyczne ryzyko śmiertelności

Zmiany w tablicach trwania życia Tablice Edmonda Halley’a, jedne z pierwszych tablic trwania życia, stworzone na podstawie wrocławskich danych demograficznych (1693) Zmieniające się parametry śmiertelności w USA (z pracy Lee i Cartera, 1992)

Intensywność umieralności, przypadek deterministyczny Prawdopodobieństwo, że losowa osoba dożyje od wieku t do wieku T

Stochastyczne modele intensywności umieralności Zaproponowano następujące modele intensywności umieralności gdzie a > 0 oraz σ > 0. Ponadto przyjęto, że parametr β = 0, 1/2 lub 1.

Prawdopodobieństwo dożycia W przypadku stochastycznym

Postać prawdopodobieństwa dożycia Twierdzenia 7-9. Niech intensywność umieralności będzie zdefiniowana przez (*). Wówczas, przykładowo, jeśli β = 0, to gdzie

Analiza statystyczna danych historycznych Przebadano historyczne tablice trwania życia z 20 krajów rozwiniętych z lat 1920-2003. I dopasowywano modele opisane przez (*): jednowymiarowe, dla osób urodzonych w zadanym roku, wielowymiarowe, dla grup osób urodzonych w różnych latach.

Dopasowane modele wielowymiarowe Model 3-wymiarowy dla osób aktualnie w wieku 70-72 Kraj β = 0 β = 1/2 β = 1 Austria tak Belgia Bułgaria Czechy Włochy Japonia Holandia Szwajcaria

Opcje na śmiertelność Definicja 4. Opcją (kupna) na śmiertelność nazywamy kontrakt wypłacający w momencie T sumę Uwaga. Jeśli K = T-t pt, to opcja na śmiertelność jest idealnym zabezpieczeniem przed systematycznym ryzykiem śmiertelności.

Aproksymacje wyceny opcji Zaproponowano modyfikacje metod znanych z wyceny stóp procentowych: aproksymacyjnej metody Vorsta (1990), aproksymacyjnej metody E. Levy’ego (1992).

Wycena zmodyfikowaną metodą Levy’ego Cena opcji na śmiertelność dla intensywności umieralności opisanej zmodyfikowanym geometrycznym ruchem Browna, β = 1. Dokładna cena opcji na śmiertelność uzyskana metodą symulacji Cena opcji na śmiertelność uzyskana zmodyfikowaną metodą Levy’ego

Systematyczne ryzyko śmiertelności: podsumowanie Zdefiniowano nowe modele stochastyczne dla intensywności umieralności. Obliczono analityczną postać prawdopodobieństwa dożycia. Przeprowadzono analizę statystyczną danych historycznych i oceniono przydatność modeli. Zaproponowano aproksymacje do wyceny opcji na śmiertelność. Wyceniono opcję na śmiertelność dla zaproponowanych modeli.

Bardzo dziękuję za uwagę