Konstrukcje rozkładów poprzez składanie funkcji odwrotnych Jolanta Grala-Michalak Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań

Ogólny opis rozważanej klasy rozkładów H: , różnowartościowa, H(0) = 0 h(x) = H’(X) > 0 dla każdego x Z = T, ( X , ) = H (  H-1 (X , ) ) Z ma jednowymiarowy rozkład ciągły = 0,  - małe  T(X)    h(0)  H-1(X) Jones, Pewsey 2009 = 0,  - duże  T(X/)  H (X/h’(0))

Johnson 1949 Rieck, Nedelman 1991 rozkład Su rozkład sinh-normalny T (X) =   sinh (X)   1 logarytmiczno-wklęsła gęstość   1 dwumodalna gęstość ZN (0,1) Z = T (X) , T-funkcja nieparzysta W szczególności: T (X)= arcsin h (X)

X , ZN(0,1) S , S-1, Rozkład sinh-arcsinh Z = S ,(X ,) = sinh{arcsinh(X)} X = S-1 ,(Z ,) = sinh{(arcsinh(Z)+)/}

Gęstość rozkładu sinh-arcsinh f, (x) = (2)-1/2(1+x2 )-1/2 C, (x)exp{-(1/2)S2, (x)}  - parametr skośności  < 1 „grube ogony”  > 1 „lekkie ogony” F, =  (S , (x)) (S , )2 + (C , )2 = 1 S ,(X ,) = sinh{arcsinh(X)} C,(X ,) = cosh{arcsinh(Z)}

Gęstość rozkładu sinh-arcsinh  = 3,  = 2  = 1,  = 1  = 1,  = 0,5  = 0,  = 0,2

Abe Sklar, 1959

Własności kopuł Tw. Niech C będzie kopułą. Wtedy C(u2, v2)- C(u1, v1 )   u2 – u1 +  v2 – v1 , skąd wynika jednostajna ciągłość w dziedzinie. Poziomy, pionowy i diagonalny rzut kopuły w punkcie a, czyli funkcje tC(t,a), tC(a,t), tC(t,t), są niemalejące i jednostajnie ciągłe na [0,1]. 0  C(u,v)/ u  1, istnieje dla prawie wszystkich u i jest niemalejąca względem v 0  C(u,v)/ v  1, istnieje dla prawie wszystkich v i jest niemalejąca względem u

Twierdzenie Sklara o istnieniu funkcji kopułowej, 1959

Kopuła (łac. łącznik), łączy rozkłady jednowymiarowe w dwuwymiarowy Wniosek. Kopuła jako: „scale invariant measure” C(u,v) = H( F-1 (u), G-1 (v) ) , gdzie F-1 (t) = inf { x : F(x)  t} = sup { x : F(x)  t} b) element zbioru częściowo uporządkowanego C1  C2 jeśli u,v[0,1] : C1 (u,v)  C2 (u,v) c) miara „niezależności” C =   H(x,y) = F(x) G(y) x,y[-,+]

Kopuła z 2-wymiarowego rozkładu sinh-arcsinh-normalnego X  sinh-arcsinh-norm(1 ,1) Y  sinh-arcsinh-norm(2 ,2) Corr(X,Y) =

Kopuła z p-wymiarowego rozkładu sinh-arcsinh-normalnego  = 1/2 1 = 1, 1 =2 2 = 2, 2 =1/2

Granice Frécheta-Hoeffdinga dolna niezależne górna W(u,v)=max(u+v-1,0) (u,v) = uv M(u,v)=min(u,v)

Metoda konstrukcji nowych wielowymiarowych dystrybuant „Meta-rozkłady” – Fang, Fang 2002 Wziąć znaną, 2-wymiarową dystrybuantę H(x,y) i wyznaczyć jej dystrybuanty brzegowe F(x) i G(y) Znaleźć odwrotności x = F-1 (u) i y = G-1 (v) i znaleźć wzór określający kopułę C(u,v) = H( F-1 (u), G-1 (v) ) W miejsce u i v wstawić odwrotności innych jednowymiarowych dystrybuant F* i G* otrzymując inną, 2-wymiarową dystrybuantę H* (x,y) = C(F* (x),G* (y))

Metoda konstrukcji nowych wielowymiarowych dystrybuant F-1 (u) = -(1/1 )ln(1-u) G-1 (u) = -(1/2 )ln(1-u)

Bibliografia Jones, M.C.,Pewsey, A., Sinh-arcsinh distributions, Biometrika 96 (2009), 4, pp.761-780. Fang, H.-B., Fang K.-T., The Meta-elliptical Distributions with Given Marginals, Journal of Multivariate Analysis 82 (2002), 1-16. Landsman, Z., Elliptical families and copulas: tilting and premium; capital allocation, Scandinavian Actuarial Journal 2 (2009), pp.85-103. Nelsen,R.B., An Introduction to copulas, Springer-Verlag New York, Inc., 1999. Bobrowski,D., Grala,J., Computing of Reliability Using Copulas, Safety and Reliability International Conference, vol.2, Gdynia, 2003.