Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z różnymi rodzajami przejść chaotycznych Jakub M. Gac Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Zakład Fizyki Układów Złożonych Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Przejścia chaotyczne Kaskada podwajania okresu Stabilna orbita układu dynamicznego zwiększa swój okres dwukrotnie w trakcie ciągłej zmiany parametru kontrolnego. W końcu okres wydłuża się do nieskończoności i pojawia się chaos. Intermitencje typu Pomeau-Manneville Wskutek pewnych rodzajów bifurkacji, w chaotycznym początkowo układzie pojawiają się stabilne orbity. Zanim do tego dojdzie, układ spędza długie okresy czasu w pobliżu tych orbit. Kryzysy Następuje nieciągła zmiana właściwości atraktora chaotycznego w trakcie ciągłej zmiany parametru układu, np. rośnie skokowo rozmiar atraktora, atraktor łączy się z innym atraktorem układu albo przestaje istnieć. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Przykłady Intermitencja I rodzaju w trzykrotnie złożonym odwzorowaniu logistycznym. Kryzys wewnętrzny atraktora odwzorowania Ikedy. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji (Giant Suppression of Activation, GSA) Np. w układzie bistabilnym wystąpienie addytywnego szumu może spowodować opuszczenie przez cząstkę lokalnego minimum potencjału, czyli aktywację. Również szum parametryczny, zmieniający kształt potencjału, może „wypchnąć” cząstkę z położenia równowagi… A jeśli w układzie wystąpią oba szumy jednocześnie? Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji (Giant Suppression of Activation, GSA) Jeśli oba szumy będą skorelowane wzajemnie, mogą się w pewnym sensie ‘kompensować’. Aktywacja zostaje zablokowana, średni czas życia układu w lokalnym minimum potencjału może wydłużyć się nawet o rzędy wielkości! Czy można uzyskać podobny efekt w przypadku przejść chaotycznych? Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z intermitencją I rodzaju Ten przypadek jest nieco inny od opisanego poprzednio; intermitencja jest wynikiem zderzenia się stabilnej i niestabilnej orbity, a więc nie ma tu punktu stałego, choćby metastabilnego. Jednak wiadomo, że szum zmniejsza średnią długość faz laminarnych oraz modyfikuje rozkład faz. Szum …więc może działanie dwóch szumów skorelowanych upodobni zachowanie układu do przypadku stacjonarnego? Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z intermitencją I rodzaju Szum …i drugi szum Przy odpowiednio dobranych amplitudach szumu wykres rozkładu faz laminarnych upodobnił się jakościowo i ilościowo do przypadku stacjonarnego. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z intermitencją I rodzaju Miary „stacjonarności”: Położenie prawego maksimum (i wynikająca z niego w pewien sposób średnia długość faz laminarnych) Długość „ogona szumowego” funkcji gęstości rozkładu faz laminarnych.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z intermitencją I rodzaju Przy odpowiednio dobranym stosunku amplitud szumów: Położenie prawego maksimum przyjmuje wartość maksymalną Długość „ogona szumowego” funkcji gęstości rozkładu faz laminarnych przyjmuje wartość minimalną bliską zero W obu powyższych przypadkach amplituda szumu addytywnego wynosi s 1 = 0.0005.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z intermitencją I rodzaju wyjaśnienie intuicyjne W przypadku całkowitej korelacji jest jeden szum o amplitudzie: Można tak dobrać obie amplitudy szumu, aby w punkcie, w którym zachodzi bifurkacja siodło-węzeł efektywny szum był równy zero: Wtedy efektywny szum w całym kanale intermitencyjnym jest bliski zero. Współczynnik korelacji mniejszy od jedności nie zmienia istotnie jakościowych cech zjawiska. Można to rozumowanie uogólnić na inne zależności s(x) Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z kryzysem brzegowym Szum – addytywny lub parametryczny – słabo wpływa na czas życia na zniszczonym atraktorze. Dodanie drugiego szumu skorelowanego z pierwszym może ten czas istotnie wydłużyć. Warunek – w punkcie zetknięcia rozmaitości stabilnej siodła z granicą basenu atrakcji szum zastępczy (przy r = 1) musi się zerować. W przypadku szumu o rozkładach ciągłych – nie można uzyskać dowolnie długich czasów życia Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Gigantyczne tłumienie aktywacji w układach z kryzysem brzegowym Np. odwzorowanie logistyczne w pobliżu kryzysu brzegowego… Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Półdeterministyczne gigantyczne tłumienie aktywacji (w układach z kryzysem wewnętrznym) Wyobraźmy sobie układ dynamiczny w stanie chaotycznym, opisany przez więcej niż jedno równanie: Skoro układ jest chaotyczny, zmienne układu zachowują się w sposób nieprzewidywalny; dla obserwatora mogą sprawiać wrażenie szumu przypadkowego Pomysł: zamiast dwóch szumów skorelowanych oddziałujących na układ – rozważmy jeden szum, skorelowany z jedną ze zmiennych opisujących układ. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Półdeterministyczne gigantyczne tłumienie aktywacji (w układach z kryzysem wewnętrznym) Realizacja – układ Ikedy Przy odpowiednim doborze parametrów w układzie pojawia się kryzys wewnętrzny; ustalamy parametry tak, aby układ znajdował się jeszcze przed kryzysem. W równaniu na x odejmujemy szum skorelowany ze zmienną y o rozkładzie unormowanym (tj. sprowadzonym do rozkładu o średniej 0 i wariancji 1). Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Półdeterministyczne gigantyczne tłumienie aktywacji (w układach z kryzysem wewnętrznym) Układ Ikedy – zmienna y traktowana jako szum Rozkład prawdopodobieństwa… …można uznać za równomierny, jeśli przyjrzeć się funkcji charakterystycznej. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Półdeterministyczne gigantyczne tłumienie aktywacji (w układach z kryzysem wewnętrznym) Układ Ikedy – zmienna v, jako unormowana zmienna y: Dodany szum ma postać: Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Półdeterministyczne gigantyczne tłumienie aktywacji (w układach z kryzysem wewnętrznym) Uwagi: Tak zdefiniowany szum x nie ma rozkładu normalnego (bo v nie ma rozkładu normalnego); przy założeniu, że v ma rozkład ściśle równomierny, x ma rozkład: Własności statystyczne y jako szumu obliczano przed kryzysem. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Półdeterministyczne gigantyczne tłumienie aktywacji (w układach z kryzysem wewnętrznym) Wyniki… Średnia długość fazy laminarnej rośnie nawet o dwa rzędy wielkości. Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.

Dziękuję za uwagę… …i cierpliwość Dynamika Układów Złożonych, 29X2007r.