Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: GIMNAZJUM W POMORSKU ID grupy: 98/41_MF_G1 Opiekun: ANETA ZDANOWICZ Kompetencja: MATEMATYKA Z FIZYKĄ Temat projektowy: TWIERDZENIE PITAGORASA Semestr/rok szkolny: CZWARTY/2011/2012

TWIERDZENIE PITAGORASA TEMAT PREZENTACJI TWIERDZENIE PITAGORASA

*Życiorys Pitagorasa *Twierdzenie Pitagorasa *Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa-zadania *Myśli Pitagorasa *Ciekawostki

ŻYCIORYS PITAGORASA Pitagoras prawdopodobnie urodził się około 580 roku p. n. e. a zmarł około 496 roku p.n.e. Był greckim matematykiem i filozofem. Przyczynił się do znacznego rozwoju matematyki i astronomii. Trudno jest oddzielić odkrycia Pitagorasa od tych, które zostały dokonane przez jego uczniów i następców, nazywanych pitagorejczykami. Tradycyjnie uważa się że Pitagoras zapoczątkował zarówno idee filozoficzne jak i naukowe, a następnie podjęte one zostały przez pitagorejczyków. Założony przez Pitagorasa w 530 p.n.e. w Krotonie związek o charakterze religijno-politycznym dorobił się wielu osiągnięć naukowych. Związek ten nazwano później szkołą pitagorejską i przetrwał on aż do połowy IV w. p.n.e.

Pitagoras lubił podróżować Pitagoras lubił podróżować. W Fenicji i Babilonie zapoznał się z dokonaniami tamtejszych matematyków oraz przyniósł osiągnięcia matematyczne z Egiptu i Babilonu do Grecji. Twierdzenie Pitagorasa było znane w Babilonie jeszcze przed Pitagorasem, jak dowodzą zapiski dokonane za pomocą pisma klinowego. Matematyk dużo podróżował. Był w Babilonie i Fenicji, gdzie napotkał tabliczki z pismem klinowym, zainteresował się twierdzeniem , które później udowodnił. Zatem nie on je wymyślił. Również od Babilończyków przejął średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną oraz złoty podział odcinka. Jednak prawdopodobnie od Pitagorasa pochodzi dowód tego twierdzenia. Złoty podział odcinka był także znany Babilończykom, jak również pentagram - znak, którym posługiwali się pitagorejczycy. Średnia arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna, zastosowana przez Pitagorasa pochodziła także od matematyków babilońskich.

Pitagorejczycy zapoczątkowali szczególne techniki badania naukowego Pitagorejczycy zapoczątkowali szczególne techniki badania naukowego. Matematyka była połączona z filozofią, usystematyzowali swoją wiedzą, nowe pojęcia były wprowadzane na podstawie jedynie logicznego rozumowania. Filozofia Pitagorejska opierała się na harmonii świata, gdzie główna rolę pełniły liczby naturalne. Stąd możemy zrozumieć dlaczego, choć wiedzieli o istnieniu liczb niewymiernych zachowali to w tajemnicy. Pitagorejczycy mieli znak rozpoznawczy był to pentagram.

ZDJĘCIA PITAGORASA

HISTORIA TWIERDZENIA PITAGORASA Pitagoras szukał związków liczbowych w tworach geometrycznych. Znany mu był tzw. trójkąt egipski o bokach wyrażonych liczbami 3,4 i 5. W Egipcie wiedziano, że jest to trójkąt prostokątny i używano go do wytyczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewaniu Nilu. Obecnie trójkąty o bokach wyrażonych liczbami naturalnymi nazywamy trójkątami pitagorejskimi. Pitagorasowi przypisuje się odkrycie twierdzenia, że kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa się sumie kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych - jest to słynne twierdzenie Pitagorasa. Było to dla szkoły pitagorejskiej odkrycie wstrząsające: załamała się wiara w to, że wszystkie zjawiska we wszechświecie można ująć za pomocą liczb naturalnych. Wrażenie odkrycia przeciwieństwa między światem liczb a światem utworów geometrycznych było tak wielkie, że pitagorejczycy utrzymywali odkrycie w tajemnicy i w dalszych badaniach starannie oddzielano dociekania geometryczne od arytmetycznych. Wpłynęło to hamująco na rozwój arytmetyki greckiej, ale za to przyczyniło się do wspaniałego rozwoju geometrii.

TWIERDZENIE PITAGORASA JEŻELI TRÓJKĄT JEST PROSTOKĄTNY TO SUMA KWADRATÓW PRZYPROSTOKĄTNYCH JEST RÓWNA KWADRATOWI PRZECIWPROSTOKĄTNEJ a2+b2=c2

Twierdzenie to miało dwie metody dowodzenia przez co jego treść można zapisać w następujący sposób: 1)W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. lub 2)Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

WNIOSEK Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć dowolny z trzech boków w trójkącie prostokątnym, znając jego dowolne dwa boki.

ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA PITAGORASA Trójkąt o podanych bokach: 3,4,5, który widzimy na rysunku znany był już w dawnym Egipcie. Stąd przyjęła się dla niego nazwa w geometrii-trójkąt egipski. Służył on do praktycznego wyznaczenia kątów prostych w terenie. Powracając do trójkąta egipskiego, warto jeszcze wspomnieć o jego zastosowaniu w budownictwie. Otóż murarze stawiając ściany domu muszą stale sprawdzać, by wznosiły się one prostopadle, to jest zachowywały pion oraz stykały się w narożnikach pod katem prostym. Na ogół, aby sprawdzić, czy kat prosty jest w tym przypadku zachowany, stosuje się tzw. Kątownicę, którą od czasu do czasu przykłada się do narożnika i w miarę potrzeby wyrównuje cegły. Ale często bywa i taj, że murarz odmierza za pomocą miary wzdłuż jednej ściany odległość 30 cm, wzdłuż drugiej 40 cm, po czym sprawdza się czy odległość między końcami tych odłożonych wzdłuż ścian odcinków wynosi 50 cm. Jeżeli tak jest to narożnik tworzy kąt prosty.

Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa w konstrukcji odcinka o długości niewymiernej Odcinek o długości niewymiernej np. lub konstruujemy w następujący sposób: musimy znaleźć taki trójkąt prostokątny, aby jego przeciwprostokątna była szukanym odcinkiem, oraz zachodziło twierdzenie Pitagorasa. I tak np. powstaje z trójkąta o przyprostokątnych równych 1 :

Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych Przypomnijmy, jak obliczamy odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych: -jeżeli odcinek położony jest równolegle do osi x to z tej osi odczytujemy jego długość, -jeżeli odcinek położony jest równolegle do osi y to jego długość odczytujemy z osi y, -jeżeli zaś odcinek nie jest równoległy do żadnej z osi to obliczamy go tworząc trójkąt prostokątny. W naszym przypadku przyprostokątne mają długości 1 i 2 . Zatem z  twierdzenia Pitagorasa mamy:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości boku najdłuższego, to trójkąt ten jest prostokątny. Wniosek: Dzięki temu twierdzeniu możemy sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny znając jego trzy boki.

ZADANIA Z ŻYCIA CODZIENNEGO Z ZASTOSOWANIEM TW.PITAGORASA Zadanie 1. Czy lustro o wymiarach 2,20m x 2,20m można przenieść przez drzwi o wymiarach 1m x 2m? Rozwiązanie: x2=(1m)2+(2m)2 x2=1m2+4m2 x2=5m2 x= m x 2,24m Odp. Lustro o wymiarach 2,20 x 2,20 można przenieść przez drzwi.

Zadanie 2   Oblicz wysokość budynku przedstawionego na rysunku: Rozwiązanie: x-wysokość całego budynku x2=22+32 x2=4+9 x2=13 x= x 3,61

Zadanie 3 Prosty pręt metalowy o długości 4 m jest oparty o mur. Jaką długość ma część pręta wystająca ponad mur? Rozwiązanie: x2=(1,5m)2+(2m)2 x2=2,25m2+4m2 x2=6,25m2 x= m x=2,5m 4m-2,5m=1,5m Odp. Część pręta wystająca poza mur ma długość 1,5m.

Zadanie 4 W połowie drogi między Adamem i Cezarem jest czarna dziura. Oblicz odległość Adama do dziury jeżeli wiemy, że Bartka dom leży w odległości 8 m od Cezarego, a dom Adama jest o 6 m oddalony od Bartka. Rozwiązanie: x2=(6m)2+(8m)2 x2=36m2+64m2 x2=100m2 x2= m=10m 10m:2=5m Odp.Odległość Adama od dziury wynosi 5m.

MYŚLI PITAGORASA „Oszczędzaj łez swoim dzieciom, aby miały czym płakać nad twoją trumną”. „Skarżysz się, że znosisz krzywdy i niesprawiedliwość”... Pamiętaj, że największym nieszczęściem jest je wyszydzać”. „Kto mówi, sieje... Kto słucha, zbiera”. „Najkrótsze wyrazy „tak” i „nie” wymagają najdłuższego zastanowienia”. „Nie wyrażaj małej rzeczy w wielu słowach,lecz rzecz wielką w niewielu”. „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy”. „Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie”.

„Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.” „Muzyka budzi w sercu pragnienie dobrych czynów.” „Kto zatraca się w cierpieniu, nie może być człowiekiem wolnym.” „Naprawdę poznajemy człowieka dopiero po jego śmierci.” „Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od milczenia.” „Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak najprędzej stali się tobie przyjaciółmi.” „Natura jest wszędzie taka sama.” „U przyjaciół wszystko jest wspólne.”

CIEKAWOSTKI 1) Trójkąt prostokątny, którego boki mają długość 3,4,5 nazywamy trójkątem pitagorejskim. 2) Pole każdego trójkąta pitagorejskiego jest zawsze liczbą całkowitą kończącą się na 0, 4 lub 6. 3) Prostokąt, którego boki i przyprostokątne mają długości całkowite można nazwać pitagorejskim. 4) Prostopadłościan, którego krawędzie i przekątne wszystkich ścian mają długości całkowite nazywamy pitagorejskim. 5) W trójkątach prostokątnych równoramiennych przeciwprostokątna jest zawsze liczbą niewymierną. 6) Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych. Warto przypomnieć, że twierdzenie to znane było już w Babilonii i Egipcie, gdzie służyło do wytyczania kątów prostych (świadczą o tym zachowane tabliczki z pismem klinowym).

KONIEC Bibliografia: Bożena Prystupa Inscenizacje matematyczne wydawnictwo Nowik Internet

Prezentację przygotowali: Uczniowie: Michał Bonisławski Marta Kaczmar Kamil Czuliński Karina Tutta Eryk Jeżewski Mateusz Ziober Joanna Cierpicka Damian Wilczyński Ewelina Grzegorzewska Sylwia Gągała Bogusława Sroka Opiekun Aneta Zdanowicz