1 1

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum im Królowej Jadwigi w Zagórowie ID grupy: 98/74_MF_G1 Opiekun: Aneta Borowska Nazwa szkoły: Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu ID grupy: 98/14_MF_G1 Opiekun: Jolanta Kurzawa - Zeidler Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH rok szkolny: 2011/2012 2 2

CELE PROJEKTU: 1. Kształcenie biegłości w wykonywaniu obliczeń z zastosowaniem potęg. 2. Kształcenie umiejętności szacowania. 3. Kształcenie biegłości w zapisywaniu liczb w różnych systemach, w wykonywaniu obliczeń wewnątrz systemu i konwertowania liczb pomiędzy systemami (system dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy). . 3

CELE PROJEKTU cd: 4. Wyrabianie postawy współodpowiedzialności za powierzone zadanie, nawyku samooceny swojej pracy, zachowań i postaw. 5. Kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów, planowania pracy. 6. Rozwijanie umiejętności interpersonalnych podczas grupowego przygotowywania prezentacji. 4

POJĘCIE POTĘGI an =b Uwaga: a2 - nazywamy kwadratem liczby a, an - n-ta potęga liczby a (czytamy: a do potęgi n) n – wykładnik potęgi a – podstawa potęgi b – wynik potęgowania (potęga) Uwaga: a2 - nazywamy kwadratem liczby a, a3 - nazywamy sześcianem liczby a. 5

PRZYKŁADY POTĘGI 34 =3∙3∙3∙3=81 43 =4∙4∙4=64 34 - 4-ta potęga liczby 3 (czytamy: 3 do potęgi 4) 4 – wykładnik potęgi 2 – podstawa potęgi 81 – wynik potęgowania (potęga) 43 =4∙4∙4=64 43 - 3-ta potęga liczby 4 lub sześcian liczby 4 (czytamy: 4 do potęgi 3) 3 – wykładnik potęgi 4 – podstawa potęgi 64 – wynik potęgowania (potęga) 6

POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM a0 = 1 dla a ≠ 0 a1 = a dla a  R an+1 = an ∙a dla a  R i n  N PRZYKŁADY: 10=1, 230=1, (-423)0=1, (-3)0=1 11=1, 231= 23, (-13)1= -13, (-235)1= -235 7

POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM a-n = , dla a≠0, nєN , dla a≠0, b≠0 PRZYKŁADY: 8

PRAWA DZIAŁAŃ NA POTĘGACH Jeżeli m,nC, a,b  R-0},to : 9

PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH O WSPÓLNYCH PODSTAWACH 23∙22=23+2=25=32 33∙3-2=33+(-2)=31=3 (-2)4∙(-2)3=(-2)4+3=(-2)7=-128 23:22=23-2=21=2 33:3-2=33-(-2)=35=243 (-2)5:(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4 10

PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH O WSPÓLNYM WYKŁADNIKU 23∙33=(2∙3)3=63=216 ( )-2∙3-2=( ∙3)-2=1-2=1 (-2)4∙34=(-12)4=20736 23:33=(2:3)3=( )3= ( -6)-2:3-2=( -6:3)-2=(-2)-2= 124:64=(12:6)4=24=16 11

PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH - POTĘGOWANIE POTĘGI (23)3=(2)9=512 (42)5 = 410 =1048576 (31)3=(3)3=27 (123)0=(12)0=1 (52)3=(5)6=15625 12

POTĘGA O WYKŁADNIKU UŁAMKOWYM Jeżeli n є N i m є N oraz m>1, to: , dla a≥0 , dla a>0 PRZYKŁADY: 13

PRZYKŁADY OBLICZEŃ 14

CIEKAWOSTKA: Jak podnieść do kwadratu większe liczby kończące się liczbą 5 (np.: 25, 55, 205)? Cyfrę (liczbę) poprzedzającą ostatnią cyfrę 5 należy pomnożyć przez kolejną liczbę naturalną i do tego wyniku dopisać 25. 15

PRZYKŁADY: Obliczamy: 252 2 ∙ 3 = 6, do 6 dopisujemy 25 i otrzymujemy 625 Obliczamy: 552 5 ∙ 6 = 30, do 30 dopisujemy 25 i otrzymujemy 3025 Obliczamy: 2052 20 ∙ 21 = 420, do 420 dopisujemy 25 i otrzymujemy 42025 16

PRZEDROSTKI UKŁADU SI Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI NAZWA SYMBOL MNOŻNIK Nazwa mnożnika 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1033 kwintyliard 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1030 kwintylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1027 kwadryliard jotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024 kwadrylion zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 tryliard eksa E 1 000 000 000 000 000 000 = 1018 trylion peta P 1 000 000 000 000 000 = 1015 biliard tera T 1 000 000 000 000 = 1012 bilion giga G 1 000 000 000 = 109 miliard mega M 1 000 000 = 106 milion kilo k 1000 = 103 tysiąc hekto h 100 = 102 sto deka da 10 = 101 dziesięć 1 = 100 jeden 17

PRZEDROSTKI UKŁADU SI -cd NAZWA SYMBOL MNOŻNIK Nazwa mnożnika 1 = 100 jeden decy d 0,1 = 10−1 jedna dziesiąta centy c 0,01 = 10−2 jedna setna mili m 0,001 = 10−3 jedna tysięczna mikro µ 0,000 001 = 10−6 jedna milionowa nano n 0,000 000 001 = 10−9 jedna miliardowa piko p 0,000 000 000 001 = 10−12 jedna bilionowa femto f 0,000 000 000 000 001 = 10−15 jedna biliardowa atto a 0,000 000 000 000 000 001 = 10−18 jedna trylionowa zepto z 0,000 000 000 000 000 000 001 = 10−21 jedna tryliardowa jokto y 0,000 000 000 000 000 000 000 001 = 10−24 jedna kwadrylionowa 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 = 10−27 jedna kwadryliardowa 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 = 10−30 jedna kwintylionowa 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 = 10−33 jedna kwintyliardowa 18

PRZEDROSTKI UKŁADU SI Przedrostki układu SI stosuje się w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych. Notacja naukowa lub postać wykładnicza to sposób przedstawiania liczby rzeczywistej, dziesiętnej. Najczęściej stosowana jest w kalkulatorach naukowych oraz niektórych programach komputerowych. Pewną modyfikacją postaci wykładniczej jest tak zwana postać inżynierska. Wyróżnia się ona tym, że wykładnik musi być wielokrotnością liczby 3. Konsekwencją tego ograniczenia jest konieczność normalizowania mantysy (liczby ułamkowej) do przedziału [1,1000). Dzięki takiej konwencji łatwo można skojarzyć wykładnik z odpowiednim przedrostkiem SI. 19

PRZEDROSTKI UKŁADU SI liczba notacja naukowa postać wykładnicza postać inżynierska postać inżynierska (uproszczona) 0,1 1E–1 1 · 10–1 100 · 10–3 100 mili 1 1E00 1 · 100 10 1,0e1 1 · 101 10 · 100 123 1,23E2 1,23 · 102 123 · 100 98765 9,8765E4 9,8765 · 104 98,765 · 103 98,765 kilo 0,045 4,5E–2 4,5 · 10–2 45 · 10–3 45 mili 0,00045 4,5E–4 4,5 · 10–4 450 · 10–6 450 mikro 20

NOTACJA WYKŁADNICZA Istnieją liczby bardzo duże lub bardzo małe, których zapis ze względu na liczbę cyfr (zwłaszcza zer) sprawia kłopot. Bardzo trudno jest wykonać działania na tych liczbach, prostsze kalkulatory stają się w tym momencie bezużyteczne. W takim wypadku stosujemy zapis notacji wykładniczej, która polega na zapisaniu liczby w postaci iloczynu: ± m ∙ 10k , gdzie 1  m < 10, a k jest liczbą całkowitą, przecież „Wszystko powinno być wykonane tak prosto jak to możliwe, ale nie prościej.” Albert Einstein 21

PRZYKŁADY: 22 22

PRZYKŁADY: 25,9 ∙ 1012 = 2,59 ∙ 1013 Liczba 25,9 jest większa od 10 więc nie spełnia warunków zapisu w notacji wykładniczej, musimy zatem ją zmniejszyć do liczby 2,59. Robimy to przesuwając przecinek o jedno miejsce w lewo, a więc do wykładnika dziesiątki dodajemy 1 (zwiększamy go o 1). A tak ta operacja wygląda po rozpisaniu: 25,9 ∙ 1012 = 2,59 ∙ 10 ∙ 1012 = 2,59 ∙ 1013 0,0135 ∙ 10-9 = 1,35 ∙ 10-11 Liczba 0,0135 jest mniejsza od 1 więc nie spełnia warunków zapisu w notacji wykładniczej, musimy zatem ją zwiększyć do liczby 1,35. Robimy to przesuwając przecinek o dwa miejsca w prawo, a więc od wykładnika dziesiątki odejmujemy 2 (zmniejszamy go o 2). 0,0135 ∙ 10-9 = 1,35 ∙ 10-2 ∙ 10-9 = 1,35 ∙ 10-11 23 23

PRZYKŁADY: 345 ∙ 1024 = 3,45 ∙ 1026 Liczbę 345 zmniejszyliśmy przesuwając przecinek o dwa miejsca w lewo więc wykładnik dziesiątki zwiększyliśmy o 2. 0,0034 ∙ 10-5 = 3,4 ∙ 10-8 Liczbę 0,0034 zwiększyliśmy przesuwając przecinek o trzy miejsca w prawo więc wykładnik dziesiątki zmniejszyliśmy o 3. 9762,2 ∙ 10-14 = 9,7622 ∙ 10-11 Liczbę 9762,2 zmniejszyliśmy przesuwając przecinek o trzy miejsca w lewo więc wykładnik dziesiątki zwiększyliśmy o 3. 0,007 ∙ 1045 = 7 ∙ 1042 Liczbę 0,007 zwiększyliśmy przesuwając przecinek o trzy miejsca w prawo więc wykładnik dziesiątki zmniejszyliśmy o 3. 24 24

PRZYKŁADY: Stała Avogadra 602000000000000000000000 1/mol = 6,02 ∙1023 1/mol Masa protonu 0,000000000000000000000000001672621 kg = 1,672621 ∙10-27 kg 25

Prędkość światła w próżni 300000000 m/s = 3 ∙ 108 m/s Ładunek elementarny 0,00000000000000000016 C = = 1,6 ∙ 10-19 C 26

Masa wirusa grypy sezonowej Powierzchnia Polski 312683000000 m2 =3,12683 ∙ 1011 m2 Masa wirusa grypy sezonowej 0000000000000000,7 kg=7 ∙ 10-16 kg 27

DZIAŁANIA NA LICZBACH ZAPISANYCH W NOTACJI WYKŁADNICZEJ Łatwość działań na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej dotyczy tylko mnożenia, dzielenia i potęgowania. Przykłady: 6 ∙ 105 ∙ 2 ∙ 104 = 6 ∙ 2 ∙ 105+4 = 12 ∙ 109 (18 ∙ 1012) : (3 ∙ 105) = (18 : 3) ∙1012 - 5 = 6 ∙ 107 (4 ∙ 103)2 = 42 ∙ (103)2 = 16 ∙103∙2 = 16 ∙ 106 28

DZIAŁANIA NA LICZBACH ZAPISANYCH W NOTACJI WYKŁADNICZEJ (2,5 ∙ 108) ∙ (8 ∙ 1012) = 2,5 ∙ 108 ∙ 8 ∙ 1012 = =2,5 ∙ 8 ∙ 108 + 12 = 2 ∙ 1020 (6,4 ∙ 108) ∙ (5,2 ∙ 10-14) = 6,4 ∙ 108 ∙ 5,2 ∙ 10-14 = = 6,4 ∙ 5,2 ∙ 108 + (-14) = 33,28 ∙ 10-6 = 3,328 ∙ 10-5 5,95 ∙ 1014 + 9,6 ∙ 1012 = 595 ∙ 1012 + 9,6 ∙ 1012 = = (595 + 9,6) ∙ 1012 = 604,6 ∙ 1012 = 6,046 ∙ 1014 29 29

Ile razy proton jest cięższy od elektronu? PRZYKŁAD: Masa protonu wynosi około 1,7 ∙ 10-27 kg, a masa elektronu 9,1 ∙ 10-31 kg. Ile razy proton jest cięższy od elektronu? 30 30

ROZWIĄZANIE: Żeby odpowiedzieć na pytanie wystarczy podzielić masę protonu przez masę elektronu : Odpowiedź: Proton jest ok. 1868 razy cięższy od elektronu. 31

PRZYKŁAD: Zakładając, że odległość Ziemi od Słońca jest równa 150 000 000 000 m oraz prędkość światła wynosi 300 000 000 m/s, oblicz, w jakim czasie światło dociera ze Słońca na Ziemię? . 32

ROZWIĄZANIE: Zapisujemy podane wielkości w notacji wykładniczej: odległość Ziemi od Słońca: 150 000 000 000 m = 1,5 ∙ 1011 m prędkość światła : 300 000 000 m/s = 3 ∙ 108 m/s Obliczamy czas, w którym światło Słońca dociera na Ziemię 33

LICZBY „LILIPUTY” I LICZBY „OLBRZYMY” 34

GDZIE SPOTYKAMY SIĘ Z „LICZBAMI OLBRZYMAMI” I „LILIPUTAMI”? Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.  W Polsce (i innych krajach np. w Niemczech, w Anglii) przyjęto za podstawę liczenia grupy sześciocyfrowe, a np. w Ameryce, Francji grupy trzycyfrowe. Czasami warto znać nazwy dużych liczb. 35

NAZWY LICZB OLBRZYMÓW I LILIPUTÓW Do opisywania bardzo dużych oraz niewyobrażalnie małych obiektów, używa się specjalnych oznaczeń i nazw dla liczb, które są potęgami dziesięciu. 36

OZNACZENIE NAZWA NAUKOWA ILE TO JEST NAZWA POTOCZNA 1060 decylion 1054 nonilion 1048 oktylion 1042 septylion 1036 sekstylion 1030 kwintylion 1024 kwadrylion E eksa 1018 trylion P peta 1015 biliard T tetra 1012 bilion G giga 109 miliard M mega 106 milion k kilo 10³ tysiąc h hekto 10² sto da deka 10 dziesięć 37

Ludzie próbują opisać za pomocą liczb zjawiska i rzeczy znajdujące się we wszechświecie. Do tego celu muszą używać zarówno liczb ogromnych (olbrzymów), jak i niewyobrażalnie małych (liliputów). 38

POWIERZCHNIE PLANET UKŁADU SŁONECZNEGO 39 39

PLANETY W UKŁADZIE SŁONECZNYM Planetami nazywamy ciała niebieskie, posiadające średnicę większą od 100 km, które obiegają gwiazdę oraz nie posiadają własnych źródeł energii promienistej, a siecią światłem odbitym od gwiazdy. Współcześnie znamy 9 planet, które wchodzą w skład naszego Układu Słonecznego. Są nimi: Merkury oraz Wenus jako planety dolne, a pozostałe: Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, Pluton są planetami górnymi. Słońce to jedyna gwiazda naszego Układu Słonecznego. Wielkość średnicy Słońca ma wartość w przybliżeniu 1,4 mln km. Zestawiając ją z Ziemią Słońce jest niebagatelnych rozmiarów olbrzymem: w nim może się zmieścić 1,3 mln takich planet, jaka jest Ziemia. 40 40

Merkury - najmniejsza i najbliższa Słońcu planeta Układu Słonecznego. Powierzchnia 75∙106 km² 41 41

WENUS Wenus – druga biorąc pod uwagę jej odległość od Słońca planeta Układu Słonecznego. Jest trzecim pod względem jasności ciałem niebieskim widocznym na niebie, po Słońcu i Księżycu. Powierzchnia 4,60 ∙ 108 km²   42 42

ZIEMIA Ziemia − trzecia, licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu. Powierzchnia 5,1 ∙ 108 km² 43 43

Mars - czwarta według oddalenia od Słońca planeta Układu Słonecznego. Powierzchnia 1,448 ∙ 108 km² 44 44

JOWISZ Jowisz - piąta w kolejności oddalenia od Słońca i największa planeta Układu Słonecznego. Powierzchnia 62,1796 ∙ 109 km²   45 45

SATURN Saturn - gazowy olbrzym, szósta planeta Układu Słonecznego pod względem oddalenia od Słońca, druga po Jowiszu pod względem masy i wielkości. Charakterystyczną jego cechą są pierścienie, składające się głównie z lodu i w mniejszej ilości z odłamków skalnych. Powierzchnia 4,27 ∙ 1010 km²   46 46

URAN Uran − gazowy olbrzym, siódma w kolejności od Słońca planeta Układu Słonecznego. Jest także trzecią pod względem wielkości i czwartą pod względem masy planetą naszego systemu. Powierzchnia 8,084 ∙ 109 km²   47 47

NEPTUN Neptun – gazowy olbrzym, ósma, najdalsza od Słońca planeta w Układzie Słonecznym. Nazwa planety pochodzi od rzymskiego boga mórz Neptuna. Wśród planet Układu Słonecznego jest czwartą pod względem średnicy i trzecią pod względem masy. Powierzchnia 7,6408 ∙ 109 km² 48 48

CIEKAWOSTKI: Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonylionów gramów. Ciało ludzkie składa się z 1028atomów, Ziemia ma ich 1052 Widocznych gwiazd jest około 1087 49

ILE WAŻY WIEŻA EIFFLA? 50 50

WIEŻA EIFFLA Wieża Eiffla – najbardziej znany obiekt architektoniczny Paryża, rozpoznawany również jako symbol Francji. Jest najwyższą budowlą w Paryżu i piątą co do wysokości we Francji. Cała konstrukcja wieży składa się z 18 038 części metalowych i około 2,5 mln nitów, jej całkowita masa, razem z betonowymi filarami wynosi około 10 000 ton. 51 51

ROZMIARY ZWIERZĄT Pchła – ok.3 mm = 0,003m = 3 ∙ 10-3 m Słoń Afrykański (Samiec) – 3,6m = 3,6 ∙ 100 m Płetwal Błękitny – 33m = 3,3 ∙ 101 m Anakonda zielona – śr. 5m = 5 ∙ 100 m Albatros wędrowny – śr. 120cm = 1,2m = 1,2 ∙ 100 m Struś – śr. 2m = 2 ∙ 100 m 52

Ilustracja z Wikipedii BAKTERIE Bakterie – grupa mikroorganizmów występujących w przyrodzie. Ich średnia wielkość wynosi do kilkudziesięciu mikrometrów (μm). Na ziemi jest w przybliżeniu pięć kwintylionów (5x 1030) bakterii. Porównanie wielkości bakterii do innych organizmów i cząstek fizycznych Ilustracja z Wikipedii Pałeczka okrężnicy 53

ATOMY Atomy – podstawowe składniki materii we wszechświecie. Składają z dodatnio naładowanego jądra i otaczającej go chmury elektronowej o ładunku ujemnym. Atomy mają rozmiary rzędu 10−10 m i masę rzędu 10−26 kg. Samo jądro jest rozmiarów 1 femtometrów (fm). 1 fm = 10-15 m 54

CIEKAWOSTKI: Jaką grubość osiągnąłby włos ludzki powiększony milion razy? Czy zrówna się ze średnicą ramienia czy przeciętnego pnia sosny, czy może beczki wielkich rozmiarów? Włos ludzki, powiększony milion razy na grubość będzie miał w średnicy 70 metrów! Będzie więc większy niż słynny barbakan krakowski zwany Rondlem; można by śmiało w jego wnętrzu jeździć w krąg samochodem, położony zaś, nie zmieściłby się na żadnej prawie ulicy naszych miast. 55

CIEKAWOSTKI: Jaką wielkość osiągnie komar, zwykły komar brzęczący, dokuczliwy — powiększony milion razy? Na pewno dla wielu wyda się to niewiarygodne, gdy usłyszą, że komar będzie miał 5 kilometrów długości! 56

Milion kroków — to podróż z Warszawy do Poznania i z powrotem. CIEKAWOSTKI: A teraz przedstawienie zestawienia rzeczy drobnych, powiększonych lub powtórzonych milion razy. - Zwykły zegarek kieszonkowy powiększony milion razy osiągnie 50 kilometrów średnicy. Człowiek powiększony milion razy będzie miał około 1700 km wzrostu. - Milion ludzi, ustawionych w rząd ramię przy ramieniu, zajmie całe wybrzeże polskie, które ma blisko 500 km. Milion kroków — to podróż z Warszawy do Poznania i z powrotem. 57

CIEKAWOSTKI: Milion kropek drukarskich takich .......... nie zmieściłoby się na papierowej wstążce długości 1800 m. Książka o milionie stronic miałaby grubość równą 50 m. Od początku naszej ery nie upłynął jeszcze dotychczas pierwszy milion dni; stanie się to dopiero za lat mniej więcej 800. ……………………………………………………………………. - Największa znana liczba pierwsza (liczba Mersenne’a): 243112609 – 1 . Zawiera: 12 978 189 cyfr. Zajmuje 3461 stron. 58

ZADANIE LEGENDA Pewien bogaty wschodni władca niezmiernie się nudził. Wszelkie przygotowywane przez dworzan rozrywki znał już na wylot. Ogłosił więc, że każdy, kto zdoła go rozbawić i zainteresować, otrzyma wspaniałą nagrodę. Wielu śmiałków próbowało ją zdobyć, ale bezskutecznie. Aż wreszcie na dworze pojawił się ubogi mędrzec z dziwną, pokratkowaną deską pod pachą i zaproponował królowi nową grę , którą my znamy jako szachy. Gra wciągnęła władcę i przerwała pasmo nudy. Król postanowił więc wspaniale nagrodzić mędrca. Poprosił go, by zażądał, czego chce. 59

Dworzanom jednak nie udało się spełnić tej prośby. Dlaczego? Mędrzec rzekł: Cóż, królu. Wystarczy jeżeli na pierwszym polu szachownicy położysz jedno ziarenko pszenicy, na drugim polu dwa, na trzecim cztery, potem osiem... i tak dalej aż do końca szachownicy. Oczywiście, jeżeli Cię na to stać. Król uznał tę odpowiedź za obraźliwą, więc rozkazał dworzanom, aby dali mędrcowi, czego żąda i wyrzucili go z pałacu. Dworzanom jednak nie udało się spełnić tej prośby. Dlaczego? 60

Najłatwiej obliczyć łączną liczbę ziarenek, Odpowiedź: Najłatwiej obliczyć łączną liczbę ziarenek, zapisując w tabelce liczbę ziarenek na kolejnych polach. Na podstawie kilku przykładów możemy odkryć wzór ogólny: 61

LICZBA ZIARENEK NA POLU NUMER POLA LICZBA ZIARENEK NA POLU LICZBA ZIARENEK NA TYM POLU I WSZYSTKICH POPRZEDNICH 1 1 = 20 1 → 2 , bo 1 = 21 -1 2 2 = 21 3 → 4 , bo 1 = 22 - 1 3 4 = 22 7 → 8 , bo 1 = 23 - 1 4 8 = 23 15→ 16 , bo 1 = 24 - 1 5 16 = 24 31 → 32 , bo 1 = 25 - 1 … ... n 2n-1 2n - 1 64 263 264 - 1 62

To w przybliżeniu 16 * 10006 = 1018 ziaren. Możemy obliczyć, że 264 = 24 * (210 ) 6 = 16 * 10246 . To w przybliżeniu 16 * 10006 = 1018 ziaren. Zakładając, że w kilogramie jest 80 000 ziaren, otrzymujemy wynik: 16 * 1018 ziaren , to 2 * 1014 kg = 2 * 1011 ton 63

więc ta masa to około 8 000 000 000 (8 miliardów) tirów.... TIR ma ładowność 25 ton, więc ta masa to około 8 000 000 000 (8 miliardów) tirów.... To sto tysięcy razy więcej tirów niż .... ziarenek w kilogramie ryżu!!!   Gdyby każdy człowiek na świecie, od noworodka do staruszka, został kierowcą, to i tak nie wystarczyłoby kierowców dla tylu ciężarówek. 64

PRZYKŁADY ZADAŃ Z WYKORZYSTANIEM WIELKICH LICZB 65

Ile czasu zajęłaby podróż samochodem (gdyby była możliwa) Zadanie 1: Ile czasu zajęłaby podróż samochodem (gdyby była możliwa) na najbliższą i najbardziej oddaloną od Ziemi planetę Układu Słonecznego, gdy odległość tych planet od Ziemi jest najmniejsza? 66

Planeta najbliższa : Wenus. Odległość około 41 mln km. Załóżmy, że prędkość podróży wynosi 100 km/h 41*106 : 102 = 41 * 104 godzin, czyli około 1,7*104 dni, czyli mniej niż 3*17 ? 50 lat (dokładniej: 47 lat) 67

Planeta najdalsza - Pluton. Odległość około 5,8 mln km. 5,8*109 :102 = 5,8*107 godzin, czyli około 7 000 lat.   68

to ile rolek musielibyśmy zakupić? Zadanie 2: Gdybyśmy chcieli ofiarować komuś Ziemię w prezencie i postanowili obwiązać ją wzdłuż równika wstęgą z kolorowego papieru toaletowego, to ile rolek musielibyśmy zakupić? 69

Rolka zawiera 220 listków po 12 cm, czyli jej długość wynosi w przybliżeniu 2,5*103 cm. Obwód równika 40 000 km, czyli 4*104 km =4*107 m =4*109 cm (4*109 ):(2,5*103 )=(40*108 ) :(2,5*103 )=(40:2,5)*105 =1,6*106 rolek, czyli 200 tysięcy paczek po 8 szt. 70

to ile ryz musielibyśmy wcześniej kupić Zadanie 3: Gdybyśmy całą powierzchnię Polski chcieli pokryć kartkami papieru formatu A4, to ile ryz musielibyśmy wcześniej kupić i jak wysoko sięgałby papier przeznaczony do tej operacji, gdyby udało nam się ułożyć wszystkie ryzy jedna na drugiej? 71

Kartka ma wymiary 21cm x 29,7 cm, a więc jej powierzchnia wynosi około 600 cm2 , czyli 6*10-8 km2.   Potrzebujemy więc (3*105 km2 ): (6*10-8 ) = 5*1012 sztuk Ryza papieru zawiera 500 kartek, zużyjemy więc 1010 (czyli 10 miliardów ) ryż. 72

5*1010 cm = 5*105 km (pół miliona kilometrów). Grubość ryzy wynosi 5 cm, a więc gdyby ułożyć je jedna na drugiej, otrzymalibyśmy słup o wysokości 5*1010 cm = 5*105 km (pół miliona kilometrów). To 12 razy więcej niż obwód równika i prawie dwukrotnie więcej niż odległość od Ziemi do Księżyca. 73

SYSTEM LICZBOWY System liczbowy jest to zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji. 74

(np. jeśli "X"=10, "V"=5, "I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16). Addytywne systemy liczbowe to systemy w których liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa (np. jeśli "X"=10, "V"=5, "I"=1 to XVI = 10+5+1 = 16). Przykładem addytywnego systemu jest rzymski system zapisywania liczb 75

W systemie rzymskim do zapisu liczb używa się 7 liter, każda z nich ma przyporządkowaną konkretną liczbę : I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 76

pamiętając przy tym o zasadach: Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C. 77

Za pomocą dostępnych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999, gdyż nie istnieją znaki dla liczb większych od 1000. Rzymianie posiadali takie symbole dla liczb: 5000, 10000, ale wyszły one już z użycia. Symbolem ↁ oznaczano liczbę 5000, a symbolem ↂ - liczbę 10000. Większe liczby można zapisywać poprzez umieszczenie jej między dwoma znakami |, co oznacza liczbę stukrotnie większą. Innym znakiem pełniącym podobną funkcję jest nadkreślenie oznaczające pomnożenie przez 1000. 78

RZYMSKIE UŁAMKI Rzymski zapis ułamków jest na ogół mało znany. Rzymskie ułamki opierały się na dwunastkach ("uncia", jedna z jednostek niższego rzędu). Jednostka była zwykle dzielona na dwanaście mniejszych jednostek i wszystkie wielokrotności tych mniejszych jednostek miały swoje nazwy i oznaczenia. 79 79

MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + 5(V) – 1(I) = 1164 SPOSÓB ODCZYTU Cyfry jednakowe są dodawane, cyfry mniejsze stojące przed większymi są odejmowane od nich, cyfry mniejsze stojące za większymi są do nich dodawane. MCLXIV = 1000(M) + 100(C) + 50(L) + 10(X) + 5(V) – 1(I) = 1164 Można spotkać zapis, w którym minimalizuje się (ogranicza) liczbę znaków. Przykładowo 1999 to normalnie MCMXCIX, ale można również napisać MIM, choć to drugie jest już jednak modyfikacją. 80 80

DZISIEJSZE UŻYCIE LICZB RZYMSKICH Do dziś jest jednak używany zwyczajowo do zapisywania liczb w pewnych szczególnych przypadkach. Na przykład w Polsce zapisuje się cyframi rzymskimi: numery liceów (ale nie szkół podstawowych i gimnazjów), numery klas i lat studiów, wieki, tomy dzieł, numery pięter, wydziałów w instytucjach. Zwyczajowo zapisuje się czasami również: miesiące, rok powstania budowli (na ich frontonach) oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach). 81 81

Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. 82

Zbiór podstawowych cech dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie p: 1. System pozycyjny charakteryzuje liczba zwana podstawą systemu pozycyjnego. 2. Do zapisu liczby służą cyfry. 3. Cyfr jest zawsze tyle, ile wynosi podstawa systemu: 0, 1, 2, ..., (p-1) 4. Cyfry ustawiamy na kolejnych pozycjach. 5. Pozycje numerujemy od 0 poczynając od strony prawej zapisu. 6. Każda pozycja posiada swoją wagę. 7. Waga jest równa podstawie systemu podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji. 8. Cyfry określają ile razy waga danej pozycji uczestniczy w wartości liczby 9. Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji 83

PRZYKŁADY SYSTEMÓW POZYCYJNYCH: dwójkowy - trójkowy, - czwórkowy, - dziesiętny, - szesnastkowy… 84

SYSTEM DWÓJKOWY Używał go John Napier w XVI wieku. Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Używał go John Napier w XVI wieku. Przykład – zamiana z dwójkowego na dziesiętny: 10(2) = 1. 21 + 0 . 20 = 2(10) 1010(2) = 1. 23 + 0. 22 + 1. 21 + 0. 20 = 10(10) 111101(2) = 1. 25 + 1. 24 +1. 23 + 1. 22 + 0. 21 +1. 20 = 61(10) 85

Otrzymujemy rozwinięcie liczby n przy podstawie p, co zapisujemy DLA PRZEDSTAWIENIA LICZBY NATURALNEJ „n” PRZY PODSTAWIE „p” WYKONUJEMY NASTĘPUJĄCE CZYNNOŚCI: 1. Obliczamy resztę z dzielenia liczby n przez liczbę p, resztę tę oznaczamy symbolem r1 2. Obliczamy resztę z dzielenia otrzymanego ilorazu przez liczbę p, oznaczamy tę resztę symbolem r2 3. Wykonujemy krok 2 tak długo, aż otrzymamy iloraz równy 0 i resztę rk 4.Otrzymane reszty r1, r2, ..., rk zapisujemy obok siebie od strony prawej do lewej w postaci ciągu symboli rk rk-1...r2r1. Otrzymujemy rozwinięcie liczby n przy podstawie p, co zapisujemy (rkrk-1...r2r1)p 86

SYSTEM DWÓJKOWY (BINARNY) Przykład - zamiana z dziesiątkowego na dwójkowy (dzielimy przez 2): 10(10) = 1010 (2) 61 (10) = 111101 (2) 61 1 30 15 7 3 10 5 1 2 Wpisujemy 0 jeżeli liczba jest parzysta i 1 jeśli liczba jest niepodzielna przez 2. Liczbę spisujemy od dołu. 87 87

KONWERSJA LICZBY DWÓJKOWEJ NA ZAPIS W SYSTEMIE O PODSTAWIE 10 Liczba w systemie dwójkowym Liczba w systemie dziesiętnym 0001 1 0010 2 0011 3 100 4 0101 5 0111 7 101010 42 88

DODAWANIE LICZB BINARNYCH Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania składa się tylko z czterech pozycji: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 89

Dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jedna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach. Dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera. 90

PRZYKŁAD DODAWANIA: 110100 + 10101 = 1001001 91

MNOŻENIE LICZB BINARNYCH Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco: 0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1 92

PRZYKŁAD MNOŻENIA: 110100 ∙101 000000 +110100 100000100 93

SYSTEM ÓSEMKOWY (OKTALNY) Podstawą systemu jest cyfra 8, a do zapisu służy 8 cyfr od 0 do 7. System ósemkowy jest stosowany w informatyce. Przykładowo, w systemie Linux polecenie "chmod" ustawiające prawa dostępu do pliku może przyjąć jako argument oktalną reprezentację żądanych praw dostępu (np: "chmod u=rwx g=rx o=r plik" odpowiada zapisowi "chmod 754 plik"). W językach programowania C/C++/Java/PHP liczby oktalne poprzedza się pojedynczym zerem (np. 0212). 94 94

W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: SYSTEM SZASNASTKOWY System szesnastkowy to system, który bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci. W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 95

ZAMIANA LICZBY SZESNASTKOWEJ NA DZIESIĘTNĄ 765(16) = 7 ∙ 162 + 6 ∙ 161 + 5 ∙ 160 = 1893(10) 12 = 1 ∙ 161 + 2 ∙ 160 = 18(10) 134A(16) = 1 ∙ 163 + 3 ∙ 162 + 4 ∙ 161 + A ∙ 160 = 4938(10) ABC(16) = A ∙ 162 + B ∙ 161 + C ∙ 160 = 2748(10) 96

Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system heksadecymalny można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją szesnastkową liczby dziesiętnej. 97

ZAMIANA LICZBY NATURALNEJ NA ZAPIS HEKSADECYMALNY Liczba 1342 1342 : 16 = 83 reszty E 83 : 16 = 5 reszty 3 5 : 16 = 0 reszty 5 Czyli 1342(10) = (53E)16 Liczba 100 100 : 16 = 6 reszty 4 6 : 16 = 0 reszty 6, Czyli 100(10) = (64)16 98

ZAMIANA NA SYSTEM DZIESIĘTNY Sumujemy potęgi cyfry liczby z systemu z jakiego zmieniamy( w tym przykładzie 2446) przez kolejne potęgi cyfry systemu od jakiego zmieniamy (w tym przykładzie potęgi cyfry 6) 244(6)=2*62+4*61+4*60=72+24+4=100(10) 99 99

ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH W INFORMATYCE Szesnastkowy system liczbowy stosuje się w informatyce, w przypadku programowania niskopoziomowego, sterowania sprzętem komputerowym, wyboru adresów itp. np: Internet Adresy IP są podawane w pozycyjnym systemie szesnastkowym np.:3ffe:0902:0012:0000:0000:0000:0000:0000/48 100

ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH W INFORMATYCE Jednostki ilości danych Bit – podstawowa jednostka w operacjach, wskazująca na obecność (1) albo brak (0) sygnału Bajt – 23 bitów = 8 bitów (najmniejsza, adresowana jednostka informacji) Kilobajt – 210 bajtów = 1 024 bajty Megabajt – 220 bajtów = 1 048 576 bajty Gigabajt – 230 bajtów = 1 073 741 824 bajty Terabajt – 240 bajtów = 1 099 511 627 776 bajty 101

ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH W INFORMATYCE Jednostki szybkości komputera FLOPS (FLoting point Operations Per Second) – liczba operacji zmiennopozycyjnych (+/–, *, / na liczbach rzeczywistych) na sekundę KFlops (kilo flops) – 103 MFlops (mega flops) – 106 GFlops (giga flops) – 109 TFlops (tera flops) – 1012 PFlops (peta flops) – 1015 EFlops (exa flops) – 1018 ZFlops (zetta flops) – 1021 YFlops (yotta flops) – 1024 102

ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH W INFORMATYCE - ciekawostki Kalkulator – około 10 flops IBM Blue Gine/L; 2005 – 180 TFlops 2007 – 478 TFlops 2nd. Roadrunner IBM 1.105 PFlops 103

ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH W INFORMATYCE - ciekawostki Najszybszy procesor PC – Intel Core i7 980XE – 107.6 Gflops Rozproszone komputery – GIMPS (najw. l. pierwsze) – 44 Tflops Google – 300 Tflops Folding@home (proteiny) – 3.8 Pflops Przyszłosc (przewidywania): 2010: 1 EFlops (1018) – Cray (?) 2019: 1 EFlops (1018) 2030: 1 ZFlops (1021) – przewidywanie pogody na 2 tygodnie 104

PROGRAMOWANIE Z racji budowy komputerów, w której np. adresy są potęgą liczby 2 oraz dzielą się przez 8 i 16, często stosowany jest system heksadecymalny. Wartość pojedynczego bajta można opisać używając tylko dwóch cyfr szesnastkowych i odwrotnie - dowolne dwie cyfry szesnastkowe można zapisać jako bajt. W ten sposób kolejne bajty można łatwo przedstawić w postaci ciągu cyfr szesnastkowych. Jednocześnie zapis 4 bitów można prosto przełożyć na jedną cyfrę szesnastkową, podczas gdy np. pozycyjny system dziesiątkowy nie ma własności stałej liczby bitów na cyfrę. System szesnastkowy sprawdza się szczególnie przy zapisie dużych liczb takich jak adresy pamięci, zakresy parametrów itp. 105

KOMPUTEROWY SKŁAD TEKSTU WWW W języku składu stron internetowych i/lub programach edycji stron WWW: HTML - kolory RGB (Red - Czerwony, Green - Zielony, Blue - Niebieski) zapisuje się jako 3 liczby hex od 0 do FF(255) poprzedzone znakiem #, np. różowy - #FF8080, szary - #808080, czarny - #000000. Zapis ten dotyczy koloru 24-bitowego przypisywanego różnym elementom graficznym dokumentu HTML. 106

GRAFIKA CYFROWA, FOTOGRAFIA Wiele programów do obróbki zdjęć i grafiki pozwala na wybór/wprowadzanie kodu koloru w formie szesnastkowej np. Photoshop, GIMP. 107

ŹRÓDŁA INFORMACJI: http://pl.wikipedia.org/ http://www.math.edu.pl Iwona Kałmuk, Ewa Jelonek, Matematyka.Vademecum.Egzamin gimnazjalny 2010, Gdynia 2008 http://www.szkolnictwo.pl http://www.wikipedia.com/ 108

WYKONAWCY GRUPA 98/74_MF_G1 : Bednarek Kinga Bednarek Przemysław Kruszyna Mateusz Sobczak Marcin Olejniczak Andżelika Zamiatała Patrycja Witkiewicz Eliza Piotrowska Patrycja Hibner Ewelina Fagasińska Adrianna 109

WYKONAWCY GRUPA 98/14_MF_G1 : Marta Dobicka Anna Ułasewicz Klaudia Burzyńska Paulina Jóźwiak Artur Michalak Grzegorz Bąkowski Krzysztof Bartczak Tomasz Beyer Kosma Czapiewski 110

111 111