Dane informacyjne: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie w Kaliszu Pomorskim ID Grupy: 98/6_mf_g2 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: ŚREDNIE LICZB DODATNICH Semestr IV rok szkolny 2011/12

W naszej prezentacji: Opowiemy o średniej arytmetycznej, geometrycznej, harmonicznej. Pokażemy jak wyznaczyć te średnie. Przedstawimy ,,ważone” odpowiedniki tych średnich. Omówimy zależności między średnimi. Zaprezentujemy zastosowanie średnich poza matematyką.

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną n liczb a1, a2, … an nazywamy liczbę: Średnią arytmetyczną można określić jako średnią potęgową rzędu 1.

3 2,64… 2+1+5+4+5+2+2+3 8 37 2*3+1*3+5*1+4*1+5*1+2*2+2*2+3*2 14 Zadanie Przyjmijmy, że Klaudia ma następujące oceny z matematyki: klasówki - 2, 1 prace domowe - 5 odpowiedź ustna - 4, 5 kartkówki- 2, 2 aktywność- 3 Pomożemy Klaudii sprawdzić czego może się spodziewać z matematyki. 3 2+1+5+4+5+2+2+3 8 Czyli ocena średnia wychodzi 3, ale pani przecież twierdzi, że klasówka i kartkówka są ważniejsze niż praca domowa. Możemy zatem, żeby ocena była bardziej sprawiedliwa, wprowadzić „wagi” ocen tak jak mamy w naszym dzienniku elektronicznym. ocena z klasówki - waga 3 ocena z odpowiedzi - waga 1 ocena z pracy domowej - waga 1 ocena z kartkówki- waga 2 ocena za aktywność- waga 2 Jeżeli odpowiednie oceny pomnożymy przez przydzielone im wagi i całość podzielimy przez sumę wag, dostaniemy: 37 2,64… 2*3+1*3+5*1+4*1+5*1+2*2+2*2+3*2 14 3+3+1+1+1+2+2+2 Średnia ważona wypadła na niekorzyść Klaudii, ale ukazała ważność poszczególnych ocen. Właśnie po to jest średnia ważona. Dzięki niej stwierdzamy, że niektóre z rzeczy, które uśredniamy mają jakby "większe znaczenie" (większą wagę) niż inne.

Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną n liczb a1, a2, … an nazywamy liczbę: Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej.

Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej a i b.

Zadanie Oblicz średnią harmoniczną liczb 6 i 3. Dane: a1=6 a2= 3 Zatem średnią harmoniczną liczb 6 i 3 jest liczba 4. Inaczej mówiąc średnia harmoniczna jest wówczas, gdy pierwsza liczba przewyższa drugą o ułamek siebie samej, podczas gdy druga przewyższa trzecią o ten sam ułamek trzeciej. I tak na przykładzie naszych liczb średnią harmoniczną 6 i 3 jest 4, ponieważ 6 przewyższa 4 o 2 (stanowi trzecią część 6) i 4 przewyższa 3 o 1(czyli stanowi trzecią część 3).

Średnia geometryczna

Średnią geometryczną n liczb a1, a2, … an nazywamy liczbę: Jest ona szczególnym przypadkiem średniej potęgowej rzędu 0.

Zadanie Oblicz średnią geometryczną liczb: 2; 2; 5; 7. Zatem średnia geometryczna tych liczb wynosi 3,44.

Wniosek Średnia arytmetyczna > średnia harmoniczna > średnia geometryczna

Średnia potęgowa Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) n liczb a1,a2,...,an nazywamy liczbę:

Średnie w statystyce …

Średnia ucinana Średnia ucinana, średnia obcięta lub średnia trymowana jest obok innych średnich, mody i mediany jedną z miar statystycznych tendencji centralnej. Przy obliczaniu średniej ucinanej obserwacje porządkuje się od najmniejszej do największej, odrzuca się mały procent najbardziej ekstremalnych obserwacji na obu krańcach (wartości najmniejsze oraz największe), na ogół równej liczności, a następnie oblicza się średnią z pozostałych obserwacji.

Średnia winsorowska Średnia winsorowska, jest jedną ze średnich, statystyczną miarą tendencji centralnej zbliżoną do zwykłej średniej arytmetycznej lub mediany, a najbardziej podobną do średniej ucinanej. Oblicza się ją tak samo jak średnią arytmetyczną, zastąpiwszy uprzednio odpowiednio wybrane skrajne obserwacje (z góry określoną liczbę najmniejszych i największych wartości w próbie) wartością maksymalną i minimalną z pozostałej części.

Średnia winsorowska i ucinana pozwala na wyrzucenie z badanego zbioru elementów najmniej prawdopodobnych mocno odbiegających od pozostałych

Mediana Mediana (zwana też wartością środkową, wartością przeciętną lub drugim kwartylem) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest kwantylem rzędu 1/2, czyli drugim kwartylem. Jest również trzecim kwartylem szóstego rzędu, piątym decylem itd. Jest to środkowa liczba uporządkowanego zbioru

Dominanta Dominanta (wartość modalna, moda, wartość najczęstsza) to jedna z miar tendencji centralnej, statystyka dla zmiennych o rozkładzie dyskretnym, wskazująca na wartość o największym prawdopodobieństwie wystąpienia, lub wartość najczęściej występująca w próbie. Dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym jest to wartość, dla której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość największą. Jest to liczba w zbiorze najczęściej występująca.

Minimum i maksimum Minimum i maksimum – inaczej odpowiednio element najmniejszy i największy danego zbioru uporządkowanego. Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Średnie występują również w fizyce : średnia prędkość średnia temperatura średnia siły wypadkowej Średnie przyśpieszenie

Koniec