Dane informacyjne: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Marii Skłodowskiej-Curie Zespół Szkół w Otorowie ID Grupy: 98/6_mf_g2 98/28_mf_g1 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne są ok.. Semestr, rok szkolny: Semestr II rok szkolny 2010/11

Po prezentacji poprowadzi Was Mar(Ł)cin W naszej prezentacji: Zilustrujemy zbiór liczb wymiernych. Opowiemy o działaniach na liczbach wymiernych. Ujawnimy do czego potrzebne jest zaokrąglanie liczb. Zobaczycie ciekawe gry dydaktyczne. Dzięki niebanalnym zadaniom udowodnimy, że matematyka może być interesująca dla każdego. Określimy położenie liczb na osi liczbowej. Opowiemy o systemie rzymskim. Podamy cechy podzielności liczb. Omówimy ciekawe liczby. Po prezentacji poprowadzi Was Mar(Ł)cin

Liczby wymierne- liczby postaci p/q (p, q Є C i q ≠ 0) 123 -12 0.53 -1.63 0 ¼ 3¼ √25…

Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe Ułamki dziesiętne zapisuje się bez kreski ułamkowej, ale specjalną funkcję pełni przecinek dziesiętny (w krajach anglosaskich kropka), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej. 12,3456 Np.: 0,7=7/10 0,15=15/100=3/20

Rozwinięcie dziesiętne liczby Rozwinięcie dziesiętne liczby otrzymuje się przez podzielenie p przez q, np.: - rozwinięcie dziesiętne skończone - rozwinięcie dziesiętne nieskończone, okresowe (liczba 6 jest okresem rozwinięcia)

Działania na liczbach wymiernych

Rozszerzanie i skracanie ułamków Liczby wymierne aby rozszerzyć /skrócić należy licznik i mianownik pomnożyć/podzielić przez tą samą liczbę Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach Liczby wymierne o różnych mianownikach dodajemy poprzez wcześniejsze sprowadzenie ich do wspólnego mianownika Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Aby dodać liczby mieszanie należy również sprowadzić do wspólnego mianownika

Odejmowanie ułamków zwykłych Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach należy sprowadzić je do wspólnego mianownika a następnie odjąć liczniki pozostawiając ten sam mianownik

Mnożenie ułamków zwykłych Zanim pomnożymy ułamki, możemy skrócić je, a następnie mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

Dzielenie ułamków zwykłych Dzielenie ułamków polega na mnożeniu przez odwrotność dzielnika.

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym. Przykłady a). 0,514 + 0,18 = 0,694 b). 0,678 - 0,25 = 0,428 c). 0,52 - 0,163 = 0,357 a) 0,514 b) 0,678 c) 1,520 + 0,18 - 0,250 - 0,163 0,694 0,428 0,357

Mnożenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym. Przykłady a). 0,5 · 0,23 = 0,115 b). 1,47 · 3 = 0,428 c). 3,14 · 0,25 = 0,785 a) 0,23 b) 1,47 c) 3,14 · 0,5 · 3 · 0,25 0,115 4,41 0,7850

Szacowanie wartości Gdy istniejące dane nie pozwalają na dokładne ustalenie wartości danej wielkości, można ją czasami oszacować  z większą lub mniejszą dokładnością. Czynność tę nazywamy szacowaniem , a uzyskany wynik: wartością oszacowaną. Wykorzystanie ma to wszędzie gdzie trzeba coś szybko obliczyć tak zwane ,,około’’, ,,w przybliżeniu” itd. Np.: 47826 : 101,83 = 469,6651282… Możemy poprzez oszacowanie szybko policzyć 48000 : 100 ≈ 480

Zadanie : Oszacuj wartości wyrażeń. Wyrażenia o wartości mniejszej od 500 oznacz #,a te o wartości większej od 500 oznacz @. a) 82,637 + 99,73 + 282,3 b) 47826 : 101,83 c) 56,289 x 79,327 d) 11,34 x ( 162,99 - 122,99)

Rozwiązanie: a) 82,637 + 99,73 + 282,3 ≈ 83+100+282 <500 # b) 47826 : 101,83 ≈ 48000 :102 ≈ 480 < 500 # c) 56,289 x 79,327 ≈ 56 x 80 =4480 > 500 @ d) 11,34 x ( 162,99 - 122,99) ≈ 11 x ( 163 - 123) = =11 x 40 = 440 < 500 #

Gry dydaktyczne

Wojna ułamków … Myślę, że każdy powinien umieć grać w karcianą grę ,,Wojna’’, więc i potraficie grać w naszą grę… Ta gra polega na wykładaniu kolejno kart i przy okazji obliczaniu która karta ma większą wartość. Jeżeli dojdzie do takiego samego wyniku na te karty kładziemy następne w kolejności i znowu obliczamy. Wygrywa osoba z większą ilością kart. Karty można wykonać samemu według upodobania 

Gra planszowa „Wężyki”

Rzymska „Zgaduj-zgadula”

Krzyżówka matematyczna Liczba w nawiasie informuje na ile liter ma być rozwiązanie : 1. Liczby 6 i -6, to liczby (9) 2. Iloczyn liczb o jednakowych znakach jest liczbą... (8) 3. Suma liczb przeciwnych jest równa ... (4) 4. Liczba przeciwna do {-[-(-4)-]-} ... (6) ________________________ I. Liczbę w postaci na przykład 2 do potęgi 3 nazywamy ... (6) II. Dzielenie to działanie ... do mnożenia (8) III. Wynikdzielenia to ... (6) IV. suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ... (6) V. LIczby naturalne, całkowite, ułamki dodatnie i ujemne, to zbiór liczb ... (10) VI. wynik odejmowania to ... (7) …A krzyżówkę rysujemy sami

Ciekawa liczba A - dzień swoich urodzin B - miesiąc swoich urodzin Uzupełnij drzewko. W puste miejsce wpisuj wyniki działań. W okienko z literami wpisz odpowiednio: A - dzień swoich urodzin B - miesiąc swoich urodzin C - dwie ostatnie cyfry roku swoich urodzin Przeczytaj liczbę w okienku oznaczonym literą D. Co ona oznacza?

Magiczny kwadrat 4 2 5 7 1 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Rozwiązanie:

Rzymskie ćwiczenia

Rozwiązywanie zadań

Gry matematyczne

Oś Liczbowa

Osią liczbową nazywamy prostą, na której zaznaczony jest kierunek i jednostka.

Przypominamy… Liczby: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,…. ......nazywają się liczbami naturalnymi. Każdą liczbę naturalną można zapisać cyframi: Np. liczba 234 zapisana jest cyframi 2 , 3, 4. Są to cyfry arabskie.

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 100 System rzymski Rzymski system zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli polegającym na składaniu liczby poprzez dodawanie znaków o określonym nominale; znaków jest 7: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 100

Cyfry wpisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej Cyfry wpisujemy od strony lewej do prawej poczynając od największej. Teraz można już zapisywać w zgrabny sposób różne liczby: 12  -  XII 29  -  XXIX 1999  -  MCMXCIX I można inaczej?

XVI 10+5+1=16 Gdy cyfry w rzymskim zapisie liczby występują w kolejności od największej do najmniejszej, to aby odczytać tą liczbę, dodajemy wartości jej cyfr. Gdy w zapisie rzymskim cyfra mniejsza poprzedza większą, to liczba odpowiadająca tym dwóm cyfrom jest równa ich różnicy. XIV 10+(5-1)=14

Ciekawostki Wartość liczby zapisanej można zwiększyć: a)Stukrotnie, zapisując znak liczby w kreskach pionowych: C = 100 C = 10000 LXII = 62 LXII = 6200 b)Tysiąckrotnie, podkreślając ją u góry: XX = 20 XX = 20000 DLXV = 565 DLXV = 565000

CECHY PODZIELNOŚCI LICZB Liczba naturalna jest podzielna przez: 2 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8 (inaczej: gdy jest liczbą parzystą) 3 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3 4 gdy liczba, wyrażona dwiema ostatnimi cyframi, dzieli się przez 4 5 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5 6 gdy dzieli się przez 2 i przez 3 7 gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby dzieli się przez 7 8 gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8 9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9 10 gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 11 gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych, dzieli się przez 11

CIEKAWE LICZBY

LICZBY DOSKONAŁE 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 Liczby doskonałe wprowadzili pitagorejczycy, podając pierwsze cztery kolejne: 6, 28, 496, 8128. Do dziś znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Odkryte dotychczas wszystkie liczby doskonałe są parzyste, nie znaleziono liczby nieparzystej. Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14

„ZŁOTA” LICZBA (a+b) : a = a : b Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Liczba złota ma ciekawe własności: - aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę, - aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę. (a+b) : a = a : b Złoty podział to taki podział odcinka na dwie części, aby stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej

Złoty prostokąt W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą b a a - b Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem

Złoty trójkąt 36º A C B D trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.

Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt Ciąg Fibonacciego 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … 3 2 8 1 1 5 Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818…144:89=1,61797…

Liczby Fibonacciego w przyrodzie Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. 8 i 13

Złote cięcie w przyrodzie cd. Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE liczby naturalne m i n, spełniające warunek: suma wszystkich mniejszych od m dzielników naturalnych liczby m równa się n i jednocześnie suma wszystkich mniejszych od n dzielników naturalnych liczby n jest równa m. Przykładem liczb zaprzyjaźnionych jest para m = 220 n = 284 suma wszystkich mniejszych dzielników liczby m 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 = n n 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 = m Obecnie znanych jest około dwóch milionów par liczb zaprzyjaźnionych.

Dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2, to liczby bliźniacze. np.: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19.

To takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem LICZBY LUSTRZANE To takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem np.: 98 i 89, 123 i 321, 1245 i 5421... Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11, np.: liczba 12 i 21 to 1221 : 11 = 192.

LICZBY PALINDROMICZNE Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. np.: 66, 323, 494, 30703, 5139315 ...

Bibliografia Bay bay!... Podręcznik „Nie tylko wynik”- MAC-edukacja Internet ,np. http://www.serwis-matematyczny.pl/, http://www.math.edu.pl/, http://www.matematyka.wroc.pl/, i inne Encyklopedia Matematyki Bay bay!...