1

DANE INFORMACYJNE Nazwy szkół: Gimnazjum im. gen. Dezyderego Chłapowskiego w Lipnie, Gimnazjum Nr 24 w Zespole Szkół Nr 2 w Szczecinie ID grup: 98/43_mf_g2 oraz 98/86_mf_g1 Opiekunki: Hanna Straburzyńska, Izabela Żałoba Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: „W świecie miary'' Semestr/rok szkolny: I semestr 2010/2011 2

SPIS TREŚCI Wstęp Szacowanie wymiarów Co to jest ar? Co to jest hektar? Mierzenie drzew Obliczanie liczby π Koszt pomalowania pokoju Wzory na pola i obwody figur płaskich Kwadrat Trójkąt prostokątny Trójkąt równoramienny Zadania Definicja objętości, jednostka objętości Sposób zamiany jednostek Przykład graniastosłupa Definicja graniastosłupa Prostopadłościan, sześcian Zadania Pomiary budynku szkoły Wyniki pomiarów Obliczenia Cyfrowy dalmierz laserowy Pomiary klasy Wyniki i obliczenia Wnioski końcowe

WSTĘP Na lekcjach matematyki poznajemy pojęcie miary i sposoby obliczania długości, pól i objętości. Realizując projekt „W świecie miary” stosowaliśmy tą wiedzę do wykonywania realnych pomiarów i związanych z mierzeniem obliczeń w świecie rzeczywistym. Używaliśmy zwykłych miar oraz dalmierza laserowego. Utrwaliliśmy naszą wiedzę na temat pól i objętości figur płaskich i brył.

SZACOWANIE WYMIARÓW Nasze działania rozpoczęliśmy od intuicyjnego podawania wymiarów różnych przedmiotów i powierzchni. Z naszych doświadczeń wynika, że nie zawsze wymiary rzeczywiste są zgodne z tymi szacowanymi. Każdy ma inne wyobrażenia, w naszym przykładzie to są wymiary klasy, krzesła, ławki i okna. Jedna osoba zawyżała, a druga zaniżała wymiary.

Wymiary podane przez kilku uczniów: Wymiary ławki: Wymiary klasy: Nasze szacowania Wymiary podane przez kilku uczniów: Wymiary ławki: Wymiary klasy: Marta Blat 110cm i 40cm Wysokość blatu 70cm Wysokość krzesła 40 cm Długość 9m Szerokość 6m Wysokość 3m Jagoda Blat 120cm i 45cm Wysokość blatu 65cm Długość 8,5m Wysokość 3,5m Mateusz Blat 110cm i 50cm Wysokość blatu 60cm

Rzeczywiste wymiary są następujące: Wymiary ławki Blat 120cm i 50 cm Wysokość 70cm Wymiary krzesła Wysokość 45cm Wymiary klasy Długość 9,2m Szerokość 5,71m Wysokość 3,28m Wymiary okna Szerokość 172cm Wysokość 200cm

MIERZENIE DRZEW Naszym zadaniem było znalezienie najgrubszego drzewa w miejscowościach, w których mieszkamy. Podzieliliśmy się na cztery zespoły. Każda z grup w godzinach popołudniowych wybrała się na zwiad i zrobiła swoje zadanie. Następnego dnia na zajęciach projektowych omawialiśmy wyniki naszych pomiarów.

MIERZENIE DRZEW Kto mierzył Miejscowość Nazwa drzewa Obwód pnia Uwagi Marta, Agnieszka, Jagoda Klonówiec dąb, kasztan 135cm, 208cm bardzo wysokie Ada, Patrycja Sulejewo dąb 127cm krzywe Klaudia, Karolina, Michalina Lipno kasztan 305cm miara się popsuła Łukasz, Adam, Mateusz Koronowo dąb, buk 303cm, 279cm Grube

WNIOSEK Najgrubszym drzewem okazał się dąb, rosnący w Lipnie, jego obwód wynosi 305cm.

WYZNACZANIE ARA I HEKATRA Na jednych z zajęć wyszliśmy na dwór, żeby wyznaczyć ar i hektar. W tym celu wzięliśmy ze sobą miary, kolorowe paliki i zabraliśmy się do pracy. To zadanie okazało się bardzo trudne, gdyż mieliśmy bardzo krótkie miary. No i na końcu okazało się, że nasz hektar ma trochę nierówne boki. Lecz najciekawsze było to, że mogliśmy się przekonać jak wygląda ar i hektar. Nikt z nas nie sądził, że te pola powierzchni są aż tak duże.

CO TO JEST AR ? Ar – jednostka pola powierzchni używana głównie w leśnictwie i rolnictwie. Oznaczana symbolem a. Służy do opisywania miary powierzchni. Kwadrat o wymiarach 10 m × 10 m ma pole powierzchni wynoszące 1 ar. 1 a = 10 m · 10 m 1 a = 100 m2

CO TO JEST HEKTAR ? Hektar – jednostka powierzchni używana między innymi w rolnictwie i leśnictwie. 1 hektar jest to pole powierzchni kwadratu o boku 100 m. Oznaczana symbolem ha. Nazwa pochodzi od przedrostka "hekto-" oznaczającego 100 i nazwy jednostki miary "ar". 1ha=100m·100m=10000m2 1 ha = 100 a

GALERIA

OBLICZANIE LICZBY π Przystąpiliśmy do zadania: π= l/d l- obwód koła Na zajęciach projektowych pt. „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat” uczyliśmy się, jak obliczać liczbę л. Wykorzystaliśmy miski, puszkę i wiadro po farbie oraz miary, żebyśmy mogli wyznaczyć średnicę i obwód danego przedmiotu. Podzieliliśmy się na 4 grupy. Przed rozpoczęciem zadania poznaliśmy wzór na obliczanie liczby л: π= l/d l- obwód koła d- średnica Przystąpiliśmy do zadania:

ZADANIE Pierwsza grupa dostała małą miskę. Wzór: π=l/d l=42cm d=15cm Obliczenia: π=42/15=2,733333...≈2,73 Mierzenie średnicy Mierzenie obwodu

ZADANIE Druga grupa dostała dużą miskę. Wzór: π=l/d l=56,1cm d=17,4cm Obliczenia: π=56,1/17,4=3,2241979...≈3,22 Mierzenie średnicy Mierzenie obwodu

ZADANIE Trzecia grupa dostała puszkę. Wzór: π=l/d l=32cm d=10,1cm Obliczenia: π=32/10,1=3,16831683...≈3,17 Mierzenie średnicy Mierzenie obwodu

ZADANIE Czwarta grupa dostała wiaderko po farbie. Wzór: π=l/d l=57,5cm d=18cm Obliczenia: π=57,5/18=3,1944444...≈3,19 Mierzenie średnicy Mierzenie obwodu

TABELA Przedmiot Obwód Średnica Wynik nieskończony Wynik zaokrąglony do części setnych mała miska 42cm 15cm 2,73333333333... 2,73 duża miska 56,1cm 17,4cm 3,2241379... 3,22 puszka 32cm 10,1cm 3,168316831... 3,17 wiadro po farbie 57,5cm 18cm 3,19444444444... 3,19

π Liczba π to stała liczbowa. Jest to liczba niewymierna o rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym i nieokresowym. Najczęściej używane wartości: π ≈ 3,14 Wyniki naszych obliczeń są inne. Wynika to najprawdopodobniej z niedokładności pomiarów.

GALERIA (MIERZENIE OBWODU I ŚREDNICY)

Opracowujemy wyniki pomiarów:

OBLICZANIE KOSZTU POMALOWANIA POKOJU Kasia chciała pomalować swój pokój. Rodzice powiedzieli jej, że zapłacą za „robociznę” jeśli ona sfinansuje farbę. Jedna puszka farby 5 litrowej kosztowała 100 złotych. Postanowiła, że cały jej pokój będzie żółty (wliczając sufit), aby oszczędzić pieniądze, gdyż w swoich oszczędnościach miała zaledwie 150 złotych. Chcąc mieć pewność, że w trakcie remontu nie zabraknie jej finansów zmierzyła swój pokój i otrzymała wymiary: pierwsza ściana-3m x4 m, druga ściana – 3m x 6 m i sufit 6m x 4m, aby wyliczyć ile będzie ją to kosztowało. Obliczenia: ściana = 3m x 4m = 12 m2 Dwie ściany = 12m2 x 2 = 24m2 Ściana 2. = 3m x 6m = 18m2 Dwie ściany = 18m2 x 2 = 36m2 Sufit= 6m x 4m = 24m2 P całego pokoju = 24m2 + 36m2 + 24m2 = 84 m2

Wydajność farby, którą wybrała Kasia - 1l starczy na 12 m2, jeżeli ścianę maluje się podwójnie. 84m2 : 12m2 = 7l 5l- 100złotych 7l- x X= (7 x 100) / 5 X= 140 złotych Odp.: Kasia musiałaby zapłacić 140 złotych, więc pieniędzy w zupełności jej wystarczy.

WZORY NA POLA I OBWODY FIGUR PŁASKICH

Ciekawe sposoby obliczania pola znanych figur

POLE KWADRATU Aby obliczyć pole kwadratu nie jest konieczna znajomość długości boku. Kwadrat jest szczególnym rombem. Pole rombu można obliczać za pomocą przekątnych : e,f – przekątne rombu W typowym rombie przekątne mają różne długości, a w kwadracie są równe.

JAK MOŻNA OBLICZYC POLE KWADRATU ZA POMOCĄ PRZEKATNYCH ? Iloczyn przekątnych dzielimy przez 2. wzór:

ZADANIE Oblicz pole kwadratu, którego przekątna ma długość 1,4dm. Dane: d = 1,4 dm Odp. Pole kwadratu wynosi 0,98 dm2 .

OGÓLNY WZÓR NA POLE TRÓJKĄTA a – podstawa h - wysokość

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY Aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego warto za podstawę wziąć jedną przyprostokątną, a za wysokość drugą przyprostokątną. P – pole a , b – przyprostokątne c – przeciwprostokątna dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi c b h h a

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY RÓWNORAMIENNY Przyprostokątne mają równe długości. P – pole a – przyprostokątne h – wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi b a h h a

Własności trójkąta równoramiennego

TRÓJKĄT RÓWNORAMIENNY Trójkąt równoramienny, jak sama nazwa mówi ma równe ramiona, a inna podstawę. a – ramiona b – podstawa α- kąt między ramionami β - kąty przy podstawie, są równe Suma miar kątów trójkąta wynosi 180°. 38

ZADANIE W trójkącie równoramiennym miara kąta między ramionami wynosi 20°. Ile stopi mają kąty przy podstawie: Obliczenia: 180°-20°=160° =80° Odp. Kąty przy podstawie mają po 800. 39

ZADANIE Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 80 cm, a długość jego podstawy jest równa 30 cm. Oblicz długość ramienia. Obliczenia: 80cm-30cm=50cm 50cm/2=25 cm Odp. Ramiona mają po 25 cm. 40

Objętość i jednostka objętości. Objętość jest miarą przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny. 1m3

Jednostki objętości m3 - metr sześcienny km3 - kilometr sześcienny dm3 = l decymetr sześcienny = litr cm3 = ml centymetr sześcienny = mililitr mm3 - milimetr sześcienny In3 - cal sześcienny ft3 - stopa sześcienna Yd3 - jard sześcienny

Najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm3 = 0,001 m³). Butelka o pojemności jednego litr z czasów PRL Butelka szklana nie używana już dziś, zastąpiona została przez butelki plastikowe, kartony tekturowe.

Zadania - przeliczanie jednostek. Przeliczamy jednostki Wiedząc, że 1m = 10dm Możemy obliczyć 1m3 = 1m ∙1m ∙ 1m = 10dm ∙ 10dm∙10dm = 1000 dm3 = = 103 dm3 Wiedząc, że 1m = 100cm 1m3 = 1m ∙1m ∙1m = 100cm ∙ 100cm ∙ 100cm = = 1 000 000cm3 = 106 cm3

Praktyczna uwaga ! Wbrew rozpowszechnionym opiniom 1l wody wodociągowej (tzn. "kranowa") "warunkach domowych" (czyli w temperaturze ok. 20 °C) nie ma nigdy masy 1 kg. Woda wodociągowa, zawierająca pewne, zmienne ilości jonów nieorganicznych oraz inne śladowe zanieczyszczenia, ma nieco mniejszą gęstość od wody destylowanej. Gęstość wody destylowanej zmienia się z temperaturą w granicach 10%. woda destylowana w temperaturze 4 °C ma gęstość 0,999719 kg/l, zaś w temperaturze 40 °C już tylko 0,9922175 kg/l Sumując oba efekty, 1 l wody wodociągowej w temperaturze pokojowej może mieć masę w zakresie od ok. 0,989 do ok. 0,993 kg. Jednak do naszych obliczeń przyjęliśmy, że masa 1 litra wody wynosi 1 kg.

Objętość na gramy Nazwa produktu 1 łyżeczka (gramy) 1 łyżka (gramy) 1 szklanka (gramy) Cukier 4 13 220 Cukier puder 12 200 Woda 5 15 250 Mąka 3 7,5 120 Bułka tarta 3,5 9,5 150 Masło 240 Śmietana Olej 4,5 14 230 Kakao 2,5 125

PUDEŁKO NA PREZENT Pudełko do którego wkładamy prezent, jest graniastosłupem składającym się z podstaw, ścian bocznych, krawędzi i wierzchołków.

Graniastosłup prosty. Graniastosłupem prostym nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ścian(podstawy) będące dowolnymi wielokątami leżą w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany (ściany boczne) są prostokątami prostopadłymi do podstawy.

Graniastosłup prosty o podstawie prostokąta nosi nazwę prostopadłościanu. Oznaczenia c b a a, b - krawędź podstawy c - wysokość prostopadłościanu (krawędź boczna) d - przekątna prostopadłościanu

Wzory Każdy prostopadłościan ma: 6 ścian (4 ściany boczne i 2 podstawy), 8 wierzchołków i 12 krawędzi Objętość prostopadłościanu – V V = a∙b∙c Pole powierzchni całkowitej – Pc Pc = 2ab + 2bc + 2ac Długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c d =√ a2 + b2+ c2

Prostopadłościan Obliczenia Oblicz objętość prostopadłościanu, którego trzy różne ściany mają pola równe 6 cm2, 10 cm2, 15 cm2. Prostopadłościan Obliczenia Możemy przyjąć, że ab= 10 cm2, ac = 15 cm2, bc = 6 cm2. Mnożąc stronami powyższe równania otrzymujemy: ab ∙ ac ∙ bc = 10 ∙ 15 ∙ 6, czyli (abc)2 = 900 Objętość prostopadłościanu wynosi abc, zatem otrzymamy ją pierwiastkując obie strony równania. V = abc = 30 cm3.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy SZEŚCIANEM. Sześcian (właściwie sześcian foremny, inaczej heksaedr) – wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada dwanaście krawędzi, osiem wierzchołków i 4 przekątne. Ścinając odpowiednio wierzchołki sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym (tj. wynosi 90°). Kąt bryłowy przy jego wierzchołku (tj. kąt trójścienny) wynosi π/2, zaś grupa symetrii sześcianu to Oh.

Sześcian Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, hipersześcianu(w przestrzeni trójwymiarowej), prostopadłościanu i romboedru. Formy sześcienne, wbrew obiegowym opiniom, występują w środowisku naturalnym, tak krystalizuje np. piryt.

Wzory a– długość jednej krawędzi sześcianu. Wzór na objętość sześcianu: V=a∙a∙a V = a3 Wzór na całkowite pole powierzchni sześcianu: S=6(a∙a) S =6∙a2 Wzór na długość przekątnej sześcianu: d = a√3

Zadanie

Gimnazjum Nr 24 w ZS Nr 2. Budynek naszej szkoły usytuowany jest bezpośrednio przy ulicy Portowej. Na rozległym (40 000 m2) terenie szkolnym pomiędzy ulicami Portową, Taborową oraz Koszarową znajduj się kilka budynków o łącznej powierzchni 7000 m2. Budynek gimnazjum ma 3 kondygnacje. Budynek o wymiarach 37,0 × 11,05m oraz dwóch bocznych symetrycznych skrzydeł o wymiarach 22,60 × 13,65m Wysokość budynku 22,63 m.

Prace pomiarowe. Pomiary przeprowadzono za pomocą miary zwijanej i cyfrowego dalmierza laserowego.

Pomiary budynku szkoły Mimo zimnego poranka odważni chłopcy mierzyli długości murów szkoły za pomocą miary. Reszta grupy zajęła się pomiarami wewnątrz budynku.

Wyniki pomiarów budynku szkoły Podstawa budynku naszej szkoły wygląda następująco: Aby obliczyć jej powierzchnię (pole) podzieliliśmy ją na trzy prostokąty: budynek i dwa symetryczne skrzydła. Aby wyznaczyć wysokość zmierzyliśmy wysokość każdej kondygnacji. skrzydło skrzydło budynek

Porównanie danych Wyniki pomiarowe Budynek 33 m × 9,87 m Skrzydło 22,4 m × 14 m Całkowita długość 61 m Wysokość budynku 20 m Sutereny 2,60 m Parter 3,20 m I piętro 3,10 m II piętro 3, 10 m III piętro 3 m Poddasze 0-5 m Wymiary budynku odczytane z książki obiektu budowlanego Budynek 37 m × 11,05 m Skrzydło 22,60 m × 13,65 m Całkowita długość 64,30 m Wysokość budynku 22,63 m

Obliczenia objętości V = 952,91 ∙ 20 = 19 058,2 [ m3] V = Pp ∙ H Pp - pole podstawy H – wysokość Obliczamy pole podstawy Pp = 33∙9,87 + (22,4 ∙ 14)∙2 = 325,71 + 627,2 = 952,91 [m2] Obliczamy objętość V = 952,91 ∙ 20 = 19 058,2 [ m3]

Przeliczenia 19 058,2 [ m3] ile to litrów ? 1m = 10dm 1m3 = 1000dm3 19 058,2 [ m3] ile to hektolitrów? 1hl = 100 l 19 058,2 [ m3] = 19 058 200 [dm3] 19 058 200 [dm3] = 190 582 [hl] 19 058,2 [ m3] ile to hektometrów [hm3] ? 1 hm3 = 106 m3 19 058,2 [ m3] ∙ 10-6 = 0,0190582 [hm3]

Cyfrowy dalmierz laserowy Dane techniczne urządzenia: Zakres pomiaru 0,20 …. 30 m Dokładność pomiaru ± 2,00mm Najmniejsze wskazanie 1mm Wymiary 66 × 100 × 34 mm Ciężar 0,18 kg

Za pomocą niniejszego urządzenia można dokonać pomiaru odległości, długości, wysokości a także wyliczeń powierzchni lub objętości (kubatury). Urządzenie może być stosowane w terenie odkrytym i pomieszczeniach.

Pomiary naszej sali Za pomocą własnych kroków, miary zwijanej i cyfrowego dalmierza laserowego wykonaliśmy pomiary naszej sali i obliczyliśmy jej objętość.

Pomiary klasy szacunkowe. Wysokość klasy wyznaczono, oszacowano za pomocą drabiny H = 3,50 m Paweł - ilość kroków Dawid - ilość kroków Długość sali 8 9 Szerokość sali 6 7

Obliczenia Paweł Dawid V = a ∙ b ∙ c [m3] a = 8 b = 6 c = 3,5 V = 8 ∙ 6 ∙ 3,5 = 168 [jdł3] V = a ∙ b ∙ c [m3] a = 9 b = 7 c = 3,5 V = 9 ∙ 7 ∙ 3,5 = 220,5 [jdł3]

Sala nr 209 Prostopadłościan Nasza klasa, w której mamy lekcję matematyki, jest graniastosłupem prostym o podstawie prostokąta. Prostopadłościan

Wyniki pomiarów sali lekcyjnej Miara zwijana Dalmierz laserowy Długość 7,60 m Szerokość 5,94 m Wysokość 3,41 m Objętość Sali V = 7,60 m ∙ 5,94 m ∙ 3,41 m V = 152,456 [m3]. Długość 7,63 m Szerokość 5,95 m Wysokość 3,40 m Objętość Sali V = 7,63 m ∙ 5,95 m ∙ 3,40 m V = 154,16 [m3].

Wnioski Obliczenia objętości sali za pomocą kroków co prawda odbiega od obliczeń objętości z wykorzystaniem przyrządów pomiarowych, jednak wstępne obliczenie objętości pomieszczenia jest zbliżone do rzeczywistego wyniku.

Nasz sala basenem. Gdyby naszą salę wypełnić wodą byłby bardzo głęboki basen. Obliczamy ile litrów wody należałoby nalać i ile by to kosztowało? Korzystając z wcześniejszych obliczeń V = 154,16 [m3]. 1m3 = 1000 dm3 Obliczmy ile to litrów ? V = 154,16 m3 ∙ 1000 = 154160 dm3 potrzebujemy 154 160 litrów wody. Cena wody 8,06 zł/m3 154,16 m3 ∙ 8,06 zł/m3 = 1242,53 zł

Wnioski końcowe W czasie trwania zajęć projektowych „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat” zapoznaliśmy się z pojęciem miary i podstawowymi metodami obliczania pól figur płaskich i objętości prostych brył, takich jak: prostopadłościan i sześcian. Utrwaliliśmy wiadomości o jednostkach. Ćwiczyliśmy szacowanie wymiarów. Wykonaliśmy praktyczne pomiary i obliczenia. Poranne pomiary na dworze pozytywnie wpłynęły na nasze samopoczucie! Doskonaliliśmy umiejętność współpracy w grupie.

Dziękujemy za obejrzenie naszej prezentacji! Grupy 98/43_mf_g2 oraz 98/86_mf_g1

74