Modele problemów decyzyjnych – przykłady Programowanie liniowo-dyskretne Modele liniowe z zmiennymi rzeczywistoliczbowymi należą do najprostszych i najbardziej popularnych modeli stosowanych w podejmowaniu decyzji Jeżeli zmienne decyzyjne lub inne zmienne pojawiające się w modelu (zmienne pomocnicze, pośrednie) maja dziedzinę ograniczoną do przestrzeni dyskretnych Minusy - Komplikacja struktury modeli, mniej efektywne metody rozwiązywania Plusy – silne narzędzie modelowania złożonych zależności, w szczególności warunków logicznych, istotnych w problemach decyzyjnych

Zastosowanie zmiennych dyskretnych Zmienne dyskretne: zmienne całkowitoliczbowe (wartości: liczby całkowite), zmienne binarne (wartości: 0, 1) 1. Do wyrażenia ilości pewnych niepodzielnych jednostek. Na przykład: liczba samolotów, samochodów, ludzi, .... Przykład W pewnej niedużej miejscowości A znajduje się szkoła gminna. 72 uczniów uczęszczających do tej szkoły mieszka poza miejscowością A i organizuje się dla nich dowóz do szkoły. Na obszarze dojazdu znajdują się dwa podstawowe przystanki w punktach B i C. Miejsca zamieszkania uczniów dojeżdżających znajdują się: 42 przy przystanku C, 6 pomiędzy przystankiem C i B, 20 przy przystanku B i 4 pomiędzy przystankiem B i A.

3km 5km 6 4 20 42 A B C Firma transportowa dysponuje dwoma rodzajami autobusów: na 35 i na 50 miejsc. Ustaliła ona następujące ceny kursów dla każdego z odcinków trasy dojazdu do szkoły: BA 39j.p. (35miejsc) 50.50j.p. (50miejsc) CA 54j.p. (35miejsc) 68.00j.p.) (50miejsc) CB 45j.p. (35miejsc) 57.50j.p. (50miejsc) Określić strategię wynajęcia autobusów (jaki typ na jaki odcinek) minimalizującą koszty wynajęcia

3km 5km 6 4 20 42 A B C Opcje decyzyjne: Liczba autobusów dla transportu na poszczególnych odcinkach Liczba autobusów 35 miejsc 50 miejsc Odcinek BA BA35 BA50 Odcinek CA CA35 CA50 Odcinek CB CB35 CB50

3km 5km 6 4 20 42 A B C Przewóz na odcinku CB: Przewóz na odcinku BA: Warunek wartości całkowitoliczbowych:

2. Do wskazania, która z możliwych opcji powinna być wybrana 2. Do wskazania, która z możliwych opcji powinna być wybrana. Zwykle tego rodzaju zastosowanie dotyczy zmiennych binarnych. Na przykład: δ = 1 wskazuje, że magazyn powinien być zbudowany, a δ = 0, że nie powinien. Możliwe jest też takie zastosowanie zmiennych całkowitoliczbowych. Na przykład: γ = 0 wskazuje, że magazyn nie powinien być budowany, γ = 1 wskazuje, że magazyn typu A powinien być zbudowany, γ = 2, że magazyn typu B powinien być zbudowany.

3. Do wskazania, że pewna zmienna ciągła (rzeczywistoliczbowa) modelu przyjęła określoną wartość. Na przykład, załóżmy, że x wyraża ilość składnika jaka ma być użyta w mieszaninie. Możemy chcieć użyć zmiennej wskaźnikowej δ dwuwartościowej (binarnej) dla rozróżnienia pomiędzy stanem, kiedy x=0 i stanem, kiedy x> 0. Przypadek 1: Chcemy, aby niezerowa wartość zmiennej decyzyjnej x>0 pociągała za sobą ustawienie wartości 1 zmiennej wskaźnikowej (flagi) Chcemy, żeby zachodziła implikacja (1) Realizuje to układ warunków algebraicznych M oznacza stałą (stały współczynnik, parametr) wyrażający znaną górną granicę dla zmiennej x (2)

Nierówności (2) nie wymuszają implikacji odwrotnej (3) Czyli (2) nie jest równoważne warunkowi tożsamości Częściej niż warunek (3) wyrażający w istocie stwierdzenie; „jeżeli δ = 1 składnik wyrażany przez x występuje w mieszaninie”, interesuje nas stwierdzenie „jeżeli δ = 1 składnik wyrażany przez x występuje w mieszaninie w ilości większej niż m”, czyli (4) Implikację (4) można wyrazić algebraicznie m oznacza stałą (stały współczynnik, parametr) wyrażający znaną dolną granicę dla zmiennej x (5)

Próg uruchomienia lokaty Zmienna δ – flaga dodatniości zmiennej x Zastosowania: a) Modelowanie wymagań progowych wartości dodatnich pewnych zmiennych – typowe: ograniczenie na minimalny poziom aktywności, jeżeli dany proces jest aktywny Przykłady: (i) w zagadnieniach transportowych – wymaganie minimalnej wielkości ładunku dla uruchomienia połączenia, (ii) w zagadnieniach zarządzania finansowego – wymaganie minimalnej wartości lokaty dla jej uruchomienia Np. Próg uruchomienia lokaty

K xij b) Modelowanie kosztów stałych Przykłady: (i) zagadnienie transportowe z kosztami stałymi: koszt transportu towaru od dostawcy i do odbiorcy j składa się z kosztu stałego dij uruchamiania tego połączenia oraz kosztu zmiennego proporcjonalnego do ilości towaru z kosztem jednostkowym cij K xij

Kryterium oceny opcji z występowaniem w ograniczeniach

(ii) zagadnienie mieszanki xA – udział składnika A w mieszance xB – udział składnika B w mieszance Poza zwykłymi warunkami dla tych i innych zmiennych zapewniającymi odpowiednią jakość mieszanki wymagane jest spełnienie warunku: jeżeli składnik A jest użyty w mieszance wówczas również składnik B musi być użyty Warunek Nierówność

Wymagane spełnienie warunku Musimy ustalić pewien poziom m, poniżej którego będziemy uważali, że składnik B nie występuje w mieszance, np. m=0.001 Wówczas jest równoważny ostatniej implikacji

4. Do wskazania, że pewne ograniczenie jest spełnione Chcemy kontrolować, czy ograniczenie jest spełnione, czy nie? a) Implikacja (6) może być wyrażona algebraicznie (7) gdzie górnym ograniczeniem dla wyrażenia

b) Implikacja (8) Możemy go zapisać równoważnie czyli (8a) i takie same trudności jak dla wyrażenia x > 0

Przechodzimy na zapis jako ε – mała liczba Wówczas (8a) może być zapisane Równoważna nierówność (9) W (9) m oznacza stałą (stały współczynnik, parametr) wyrażający znaną dolną granicę dla wyrażenia

Chcemy kontrolować, czy ograniczenie jest spełnione, czy nie? Odpowiednie nierówności można uzyskać przez transformację powyższej nierówności do nierówności ≤ Odpowiedniki (7) i (9) mają postać (10)

(11)

Chcemy kontrolować, czy ograniczenie jest spełnione, czy nie? Spełnienie warunku uzyskiwane przez jednoczesne spełnienie warunków

a zatem postawienie nierówności (7) i (10) jednocześnie

Spełnienie warunku inaczej oznacza, przy δ = 0 nierówność ≤ lub ≥ jest niespełniona Można to wyrazić przez warunki (9) i (11) z dwoma zmiennymi δ’ oraz δ’’ (9a) (11a) z warunkiem (12)

Warunki logiczne i zmienne binarne Pokazaliśmy możliwość wprowadzenia zmiennych binarnych jako zmiennych decyzyjnych lub zmiennych wskaźnikowych (flagowych) Idea: wykorzystać te zmienne do przedstawienia warunków logicznych wiążących różne decyzje lub stany za pomocą ograniczeń liniowych z tymi zmiennymi Algebraiczne modele prostych warunków logicznych: Warunek logiczny Model algebraiczny

Przykład Jeżeli produkty A lub B (lub obydwa) są produkowane, wówczas co najmniej jeden z produktów C, D lub E też musi być produkowany Niech Pi oznacza stwierdzenie „Produkt i jest produkowany” (i jest A, B, C, D lub E) Chcemy spełnienia Wprowadzamy dwie zmienne wskaźnikowe jeżeli produkt i jest wytwarzany jeżeli stwierdzenie jest prawdziwe

Stwierdzenie możemy przedstawić Stwierdzenie możemy przedstawić Wymagamy po pierwsze Korzystając z przedstawionych wcześniej wyników, zapisujemy to algebraicznie (a)

Wymagamy po drugie Korzystając z przedstawionych wcześniej wyników, zapisujemy to algebraicznie (b) Ścieżka postępowania  wprowadzić zmienne binarne δA, δB, .... oraz związać je z zmiennymi rozważanego problemu  dodać dodatkowe ograniczenia do pierwotnego problemu

Specjalne zbiory uporządkowane Dwa rodzaje SOS1 (special ordered set of type 1) – specjalny zbiór uporządkowany typu 1 SOS2 (special ordered set of type 2) – specjalny zbiór uporządkowany typu 2 SOS1 – uporządkowany zbiór zmiennych (ciągłych lub dyskretnych) w którym jednocześnie tylko jedna zmienna może przyjmować wartość niezerową SOS2 uporządkowany zbiór zmiennych (ciągłych lub dyskretnych) w którym jednocześnie tylko co najwyżej dwie sąsiednie zmienne mogą że przyjmować wartości niezerowe

Zastosowania: 1. wybór tylko jednej opcji (np. lokalizacja inwestycji) 2. aproksymacja wieloodcinkowa

Warunki na dodatkowe zmienne λ f2 f6 f1 f5 f4 f3 f0 Warunki na dodatkowe zmienne λ