Systemy rozmyte Systemami rozmytymi nazywamy systemy (statyczne lub dynamiczne) w których wykorzystujemy zbiory rozmyte i właściwy im aparat matematyczny Zbiory rozmyte mogą zostać włączone w rozważane systemy w różny sposób  W opisie systemu. System może być opisany za pomocą zestawu reguł if-then z rozmytymi stwierdzeniami, lub za pomocą relacji rozmytych  W specyfikacji parametrów systemu. System może być zdefiniowany równaniami algebraicznymi lub różniczkowymi z parametrami będącymi liczbami rozmytymi  W wejściach, wyjściach i zmiennych stanu. Wejścia, wyjścia i zmienne stanu mogą być zbiorami rozmytymi

Systemy rozmyte mogą być traktowane jako uogólnienie systemów punktowych (systemy pewne) i uszczegółowienie systemów przedziałowych (systemy niepewne, bez różnicowania niepewności w jej przedziale) Argument punktowy Argument przedziałowy lub rozmyty Odwzorowanie punktowe Odwzorowanie rozmyte Odwzorowanie przedziałowe

Odwzorowanie f:XY może być traktowane jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego XxY t.j. jako relacja. Określenie wartości odwzorowania dla danego wejścia przebiega w trzech krokach 1. Rozszerz dane wejście xX do przestrzeni iloczynowej XxY 2. Znajdź przecięcie rozszerzenia i relacji (odwzorowania) 3. Rzutuj uzyskane przecięcie na Y Procedura poprawna dla punktowych, przedziałowych i rozmytych odwzorowań i danych !!! Dalej będziemy zajmowali się najbardziej powszechnymi systemami rozmytymi – systemami zdefiniowanymi za pomocą reguł, czyli systemami opartymi o reguły rozmyte (rule-based fuzzy systems). System taki będziemy też nazywać modelem rozmytym

Systemy oparte o reguły rozmyte W systemach opartych o reguły rozmyte, zasadniczym procesem jest wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym - procedura wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty W systemach opartych o reguły rozmyte zależności pomiędzy zmiennymi są reprezentowane za pomocą reguł IF-THEN mających ogólną następującą postać

Rozmyta reguła IF – THEN – możliwa postać Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne lingwistyczne A, B – wartości zmiennych lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y Określenia: x is A – poprzednik, przesłanka y is B – następnik, konkluzja, rezultat,

Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać: Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać i w zależności od tego wyróżniamy trzy typy modeli rozmytych

 Lingwistyczny model rozmyty (Zadeh-1973, Mamdani-1977), w którym zarówno przesłanka jak i konkluzja są stwierdzeniami rozmytymi. Singletonowy model rozmyty jest szczególnym przypadkiem tego modelu  Model rozmyty Takagi-Sugeno (Takagi oraz Sugeno-1985), w którym konkluzja jest nierozmytą funkcją zmiennych przesłanki a nie rozmytym stwierdzeniem

Model lingwistyczny Model lingwistyczny został wprowadzony jako sposób ujęcia wiedzy jakościowej eksperckiej w formie reguł IF-THEN x – zmienna lingwistyczna przesłanki/wejścia Xi – wartość zmiennej lingwistycznej przesłanki/wejścia y – zmienna lingwistyczna konkluzji/wyjścia Yi – wartość zmiennej lingwistycznej konkluzji/wyjścia

Zwykle wymaga się żeby zbiór określeń/wartości zmiennej lingwistycznej posiadał pewne właściwości – wymienimy teraz jedną:  kompletność Kompletność. Kompletność oznacza, że każdy element przestrzeni rozważań jest przypisany do co najmniej jednego zbioru rozmytego z niezerowym stopniem przynależności Alternatywnie może być nakładane wymaganie nazywane -kompletnością Używane są silniejsze warunki (algorytmy skupiskowe - clustering algorithms)

Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu gazu Wejście – x, natężenie dopływu tlenu O2, skalar Wyjście – y, moc grzejna, skalar Wartości lingwistyczne wejścia – T(x) = {Low, OK, High} Wartości lingwistyczne wyjścia – T(y) = {Low, High}

Przykład – model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku

Grafik/wykres rozmyty Agregacja relacji Grafik/wykres rozmyty

Model lingwistyczny - wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Wnioskowanie w systemie opartym o reguły jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973) Złożeniowa reguła wnioskowania - analogie z klasyczną analizą Zadania: a) znaleźć wartość b opowiadającą wartości a przy zadanym odwzorowaniu f punktowym b) znaleźć przedział b odpowiadający przedziałowi a przy zadanym odwzorowaniu f przedziałowym

Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i)

Operator I może być:  implikacją rozmytą w sensie klasycznym  implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) I implikacja rozmyta w sensie klasycznym: - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna)

Przykłady implikacji rozmytej klasycznej: - implikacja Łukasiewicza - implikacja Kleene-Diene

I implikacja rozmyta w sensie inżynierskim: implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja relacja może być odwrócona (jest symetryczna) Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)

Mechanizm wnioskowania oparty jest na uogólnionej regule modus Mając regułę if-then oraz fakt x is A’ zbior wyjściowy B’ jest wyliczany w oparciu o relacyjną max–t regułę złożeniową Dla t-normy MIN otrzymamy złożenie MAX-MIN

- relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważań Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a) Niech: - relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważań - zbiór rozmyty określona na przestrzeni rozważań oraz: - funkcja przynależności pary do relacji rozmytej - funkcja przynależności do zbioru rozmytego Pamiętając, że: wynik złożenia zbioru A oraz relacji F rzutowany na przestrzeń Y jest określony

Używając t-normy min dla operacji przecięcia: i rzutując to przecięcie na przestrzeń Y otrzymamy funkcję wyniku złożenia w tej przestrzeni Zbiór B możemy zatem wyrazić:

Ilustracja: Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczne Relacja rozmyta F Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczne Przecięcie F i A Projekcja przecięcia F i A na przestrzeń Y Zadanie: Dana relacja rozmyta F na przestrzeni rozważań XxY oraz zbiór rozmyty A na przestrzeni rozważań X Znaleźć wynik złożenia relacji F i zbioru A określony w przestrzeni rozważań Y

Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a)  Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania  Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

Wnioskowanie rozmyte - reguła Modus Ponens Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B gdzie: A, B - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest dojrzały

Podstawą wnioskowania w rozmytej logice jest tautologia Uogólniony Modus Ponens: Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A’ Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B’ gdzie: A’, B’ oznacza „bliski A”, „bliski B” odpowiednio A, A’, B, B’, - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały Skróty: Uogólniony Modus Ponens - UMP Generalised Modus Ponens - GMP

Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego  Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY)  [0,1] obliczana Operator I może być typu (i) „A pociąga za sobą B” - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) „A powiązane z B” – operacja przecięcia realizowana t-normą

 Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A  B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:

Realizacje:  Podejście formalne oparte o relacje rozmyte – systemy czystej logiki rozmytej  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego – systemy z rozmywaniem i wyostrzaniem

Podejście formalne 1. Przedstaw każdą regułę IF-THEN jako relację rozmytą 2. Zagreguj posiadane relacje w jedną reprezentatywną dla całej bazy reguł 3. Mając określone wejście, użyj reguły złożeniowej dla określenia odpowiadającego mu wyjścia

Wnioskowanie z jedną regułą 1. Oblicz relację implikacji 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ Przykład graficzny:

Praktycznie obliczenia relacyjne mogą być prowadzone w dyskretnych przestrzeniach rozważań Przykład: Rozważmy regułę: ze zbiorami rozmytymi A oraz B danymi Niech zbiór rozmyty wejścia

Używając t-normy min (implikacja Mamadaniego) macierz relacji RM reguły IF-THEN otrzymujemy w postaci

Zbiory wejścia: przesłanki A i faktu A’ Stosując regułę złożeniową wnioskowania obliczymy zbiór wyjścia

Wybierając ponownie zastosowanie t-normy min jako operatora przecięcia obliczymy je dla aktualnego zbioru wejścia i relacji

Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

Używając operatora implikacji Łukasiewicza otrzymamy macierz relacji RŁ reguły IF-THEN w postaci

Wybierając zastosowanie jako operatora przecięcia t-normę Łukasiewicza

Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania! Implikacja klasyczna Implikacja inżynierska Przyjmuje wartość zero tylko, kiedy przesłanka jest prawdziwa, a konkluzja nie Kiedy przesłanka nie jest prawdziwa, przyjmuje wartość 1 niezależnie od wartości konkluzji - Przyjmuje wartość zero kiedy tylko przesłanka lub konkluzja, bądź obydwie nie są prawdziwe Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania!

Wnioskowanie z wieloma regułami 1. Oblicz relację implikacji dla każdej z relacji 2. Zagreguj relacje Ri w jedną całościową 3. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’

Agregacja reguł Baza reguł jest przedstawiana za pomocą agregacji relacji Ri odpowiadających poszczególnym regułom w pojedynczą relację  Jeżeli Ri jest typu „A pociąga za sobą B” (implikacja w sensie klasycznym) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora przecięcia poszczególnych relacji Ri (operatora t-normy)  Jeżeli Ri jest typu „A powiązane z B” (implikacja inżynierska) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora połączenia poszczególnych relacji Ri (operatora s-normy)

Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Konkluzji Wartość lingwistyczna Element dziedziny 1 2 3 Low 1.0 0.6 0.0 OK 0.4 High 0.1 Wartość lingwistyczna Element dziedziny 25 50 75 100 Low 1.0 0.6 0.0 High 0.3 0.9

Baza reguł: Dziedziny lingwistyczne reguł: R1: LowxLow; R2: OKxHigh; R3: HighxLow; Macierze implikacji dla poszczególnych reguł: wybieramy t-normę MIN: R1: LowxLow

R2: OKxHigh R3: HighxLow

Agregacja reguł:

Relacje reguł graficznie i ich agregacja – graficzna ilustracja (większa rozdzielczość dyskretyzacji przestrzeni rozważań): R1: LowxLow R = R1R2R3 R2: OKxHigh R3: HighxLow

Grafik/wykres rozmyty Wykres rozmyty modelu lingwistycznego z przykładu. Ciemniejsze zacieniowanie odpowiada większemu stopniowi przynależności. Linia ciągła jest możliwą funkcją punktową reprezentującą podobną relację jak model rozmyty

Wnioskowanie Niech zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately Low

Niech teraz zbiór rozmyty wejścia - Approximately OK (mniej więcej OK)

Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately High

konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnych Niedogodność metody formalnej: konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnych Można pokazać, że dla przypadków 1. korzystania do reprezentacji reguł z implikacji rozmytych i dla punktowych (crisp) wejść 2. korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych schemat wnioskowania może być uproszczony przez ominięcie obliczeń relacyjnych

Dla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw Dla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych uproszczenia te prowadzą do powszechnie znanego schematu wnioskowania nazywanego wnioskowaniem Mamdaniego Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London