Wykład 23 19. Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny 20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach 20.3.1 Równanie telegrafistów 20.4 Zjawisko naskórkowości. 20.5 Fale elektromagnetyczne w izolatorze. 20.6 Wektor Poyntinga 20.7 Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych Reinhard Kulessa

19. Równania Maxwella Zestawmy sobie więc wszystkie równania Maxwella. Równania te podamy tak, jak były one podane do tej pory na wykładzie, w postaci różniczkowej i całkowej. Równania Maxwella podaliśmy w oparciu o tzw. równania materiałowe. Reinhard Kulessa

Prawo Gaussa dla pola magn. (19.1) Same równania Maxwella mają następującą postać Postać różniczkowa Nazwa odpow. prawa Postać całkowa I Prawo Ampera (19.2) Prawo indukcji Faradaya II (19.3) Prawo Coulomba Prawo Gaussa (E) III (19.4) IV Prawo Gaussa dla pola magn. (19.6) Reinhard Kulessa

Korzystając z równań materiałowych możemy I równanie Maxwella napisać w następującej postaci: Ia (19.6) W równaniach tych wykorzystaliśmy zależność: Do kompletu należy jeszcze dodać równanie ciągłości (19.7) Reinhard Kulessa

Pamiętamy, że w elektrostatyce mieliśmy: . Podajmy jeszcze postać równań Maxwella wyrażoną przez skalarny i wektorowy potencjał pola. (19.8) Pamiętamy, że w elektrostatyce mieliśmy: . W drugim równaniu Maxwella mamy . Podstawiając do tego równania wartość wektora B z równania (19.8) mamy: Reinhard Kulessa

Otrzymaliśmy więc podane we wzorze (19.8) wyrażenie. , co możemy zapisać jako , lub . Możemy więc twierdzić, że wyrażenie w nawiasie w ostatnim wzorze jest gradientem funkcji skalarnej, (19.9) . czyli Otrzymaliśmy więc podane we wzorze (19.8) wyrażenie. Reinhard Kulessa

Możemy więc napisać III równanie Maxwella następująco: lub . (19.10) Równanie Maxwella Ia możemy napisać następująco: Korzystając z równania (19.9) , otrzymujemy: Reinhard Kulessa

Zastosujmy teraz następujący warunek: (19.11) Równania (19.10) i (19.11) wydają się być zupełnie różne i skomplikowane. Możemy jednak skorzystać z dowolności dodania do potencjału wektorowego A gradientu pewnej funkcji. Zapisywaliśmy to w elektrostatyce stosując specyficzny warunek dla uproszczenia równań; . Zastosujmy teraz następujący warunek: (19.12) Wówczas równanie (19.10) przechodzi w równanie: (19.13) , Reinhard Kulessa

a równanie (19.11) przyjmuje postać: (19.14) Dwa ostatnie równania są równaniami Maxwella wyrażonymi przez potencjał skalarny  i potencjał wektorowy A. Operator nazywamy operatorem D’Alamberta. (19.15) (19.16) Reinhard Kulessa

Można pokazać, że zarówno  jak i A można policzyć znając rozkład ładunków i prądów, oraz ich zależności czasowe. (19.17) Z wzorów tych widać, że pole w punkcie (1), zależy od rozkładu ładunków i prądów w punkcie (2) w chwili (t-r12/c). Informacja o tych rozkładach może dotrzeć do punktu (1) dopiero po czasie (r12/c) Reinhard Kulessa

Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe Z kursu mechaniki powinni Państwo pamiętać równanie fali w ośrodku sprężystym. x y  W równaniu tym v2 = / - określało prędkość rozchodzenia się zaburzenia w kierunku x. Równanie to możemy zapisać jako: Reinhard Kulessa

Oznacza to że , ,  =const. i  = 0. Równanie to poza tym, że jest jednorodne, posiada lewą stronę równą tej w równaniu (19.16) dla potencjałów  i A. Widzimy więc, że dla obszaru w którym nie ma ładunków i prądów równanie (19.16) jest równaniem falowym. Wyprowadźmy sobie więc równanie falowe dla fal elektromagnetycznych wprost z równania Maxwella korzystając z równań materiałowych. Załóżmy, że mamy ośrodek homogeniczny i izotropowy, oraz ze nie zawiera on ładunków. Oznacza to że , ,  =const. i  = 0. Znane nam cztery równania Maxwella mają wtedy w układzie SI następującą postać: Reinhard Kulessa

Wykonajmy kolejno zaznaczone po prawej stronie równań I’ i II’ operacje. Otrzymamy wtedy następujące równania. = 0 Reinhard Kulessa

Dla drugiego przypadku eleminując wyrażenie otrzymujemy: Eleminując z tych równań wyrażenie oraz mnożąc wynik obustronnie przez 1/0 , otrzymujemy: (20.1) Dla drugiego przypadku eleminując wyrażenie otrzymujemy: (20.2) Przez kombinację równań Maxwella uzyskaliśmy dwa identycznej postaci równania, które możemy zapisać jako: , (20.3) Reinhard Kulessa

Gdzie  może przyjmować wartości H lub E. Równanie to nie jest proste, gdyż występują w nim zarówno pierwsza, jaki i druga pochodna cząstkowa po czasie. Załóżmy, że: . Po podstawieniu otrzymujemy: (20.4) . Jeśli zajdzie nierówność (/0) >> , w równaniu dominuje człon z /t i wtedy mamy równanie dyfuzyjne, a gdy (/0) << , wtedy dominuje człon z 2/t2, i otrzymujemy równanie falowe. Dla izolatorów automatycznie jest spełniony warunek dla równania falowego . Widać więc z powyższego, że równania Maxwella zawierają w sobie opis rozchodzenia się fal elektromagnetycznych. Reinhard Kulessa

 20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny Z równań Maxwella wiemy, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w przestrzeni ze skończoną prędkością (patrz r. (20.3) ). Po raz pierwszy praktycznie wytworzył fale elektromagnetyczne Heinrich Herz w Karlsruhe w 1888 r. Dokonał On tego przy pomocy oscylującego dipola elektrycznego. Układ drgający Herza wyglądał bardzo prosto. Był to obwód drgający z przerwą iskrową. Rezonator Herza Obwód drgający  C L Reinhard Kulessa

Obwód taki możemy przedstawić następująco: H W lewym rysunku L,C, H i E są dobrze zlokalizowane. Dobroć obwodu Q  100. W prawej części wymienione wielkości są rozmyte, a Q  1, ze względu na wypromieniowanie energii. Do drgającego dipola zawsze musi być doprowadzona energia aby podtrzymać drgania. Reinhard Kulessa

 HF Taki drgający pręt jest dipolem elektrycznym , (20.5) przy czym . Wzdłuż tego pręta periodycznie oscyluje ładunek elektryczny wytwarzając periodyczne pole E. Z kolei płynący prąd , (20.6) wytwarza periodyczne pole indukcji magnetycznej B. Szukamy więc pola E i B w punkcie P odległym o r od dipola. Reinhard Kulessa

W rozdziale piątym rozważaliśmy problem dipola stacjonarnego i podaliśmy wartość natężenia pola w układzie biegunowym. Obecnie problem należy rozważać w układzie sferycznym. p  r x y z  P Nie będziemy tutaj przeprowadzać pełnych obliczeń, gdyż nie poznaliśmy zagadnienia potencjałów opóźnionych. Podamy wyniki uzyskane przez Herza przy następujących założeniach. l(długość dipola) << r Zgodnie z równaniem falowym prędkość rozchodzenia się wektorów E i B jest c. Należy więc uwzględnić, że kształty pól w punkcie P w czasie t zostały wywołane przez stan dipola w chwili (t-r/c). W układzie sferycznym wynik jest następujący: Reinhard Kulessa

Musimy tu rozważyć dwa przypadki: (20.7) Musimy tu rozważyć dwa przypadki: A). Obszar bliski dipola r << =2c/. Zarówno prędkość jak i opóźnienia nie grają tu roli. Dla pola E wystąpią te człony, które poznaliśmy w rozdziale 5.7.4, czyli podkreślone na powyżej na czerwono. Reinhard Kulessa

Dla pola B otrzymamy zgodnie z prawem Biotta-Savarta, Ponieważ wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły zarówno do wektora r jak i l, będzie miał tylko składową B. Przypadek ten nie jest związany z rozchodząca się falą elektromagnetyczną. Przejdźmy więc do przypadku drugiego: B) r >> . Zgodnie ze wzorem (20.5) trzy człony powtarzające się we wzorze (20.7) można napisać następująco: Reinhard Kulessa

W prawej części równania zastosowaliśmy związek: . W prawej części równania zastosowaliśmy związek: Ze względu na to, że /r << 1, człony w wyższej potędze będą zaniedbywalne. Dominującą rolę będzie odgrywało więc trzecie równanie. Przybliżone rozwiązanie będzie miało postać: Reinhard Kulessa

Wrócimy jeszcze do krótkiego omówienia mocy wypromieniowanej (20.8) (20.9) Wrócimy jeszcze do krótkiego omówienia mocy wypromieniowanej przez dipol później. Reinhard Kulessa

20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach Rozważmy koaksialny przewód z dwóch rur, w których płyną prądy I w przeciwnych kierunkach. Skorzystajmy w tym celu ze znanego nam już rysunku Jeśli pomiędzy przewodami zakreślimy pętlę o promieniu r, to zgodnie z prawem Ampera : x r 2b 2a V(x0) V(x0+x) B(r) I Reinhard Kulessa

Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowana powierzchnię wynosi: Wobec tego Dla a < r < b. Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowana powierzchnię wynosi: . Wobec tego współczynnik indukcji własnej na jednostkę długości kabla wynosi: . (20.10) Równocześnie pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi: Reinhard Kulessa

(20.11) Mamy więc, że; (20.12) Równanie to jest słuszne dla wszystkich rodzajów podwójnych kabli. Widzimy więc, ze rozchodzą się po nich fale elektromagnetyczne . Reinhard Kulessa

 20.3.1 Równanie telegrafistów Rozważmy układ dwóch przewodów podłączony do generatora wysokiej częstości. Układ taki nazywamy linią Lehera.  V V+dV A B D C I I+dI x x+dx  cos t Potencjał V i natężenie prądu I , czyli wektory E i B zmieniają się periodycznie w funkcji położenia. 1). Rozważmy zmianę ładunku na odcinku dx w czasie dt. Reinhard Kulessa

Z drugiej strony odcinek x tworzy kondensator o pojemności C*dx, czyli I (20.13) 2). Rozważmy zmianę indukcji na odcinku dx. Oznaczmy przez R* wartość oporu przypadającego na jednostkę długości przewodnika i zastosujmy prawo indukcji elektromagnetycznej dla kontury ABCD. Reinhard Kulessa

. Mamy więc: II I (20.14) Następnie biorąc z I równania pochodną /t a z równania II pochodną /x otrzymujemy po eleminacji drugich pochodnych mieszanych i skorzystaniu z równania I; (20.15a) Reinhard Kulessa

Jeśli do linii Lehera przyłożymy zmienne napięcie typu Veit, wtedy Następnie biorąc z I równania pochodną /x a z równania II pochodną /t otrzymujemy po eleminacji drugich pochodnych mieszanych; (20.15b) Otrzymaliśmy więc dwa identyczne równania na potencjał i natężenie prądu. Są to tzw. równania telegrafistów. Jeśli do linii Lehera przyłożymy zmienne napięcie typu Veit, wtedy Równanie (20.15a) przyjmie wtedy postać: Reinhard Kulessa

Mamy tu do rozważenia dwa przypadki: a). Można wtedy zaniedbać w równaniu (20.15a) człon z drugą pochodną cząstkowa po czasie i wtedy: (20.16) Równanie to ma charakter równania dyfuzyjnego. Jeśli znika L* linia Lehera da się przedstawić jako łańcuch R-C. Reinhard Kulessa

Można wtedy zaniedbać człon z pierwszą pochodną czasową, V/t. R o z m y c i e b). Można wtedy zaniedbać człon z pierwszą pochodną czasową, V/t. Dla idealnego przewodnika R* = 0. Wtedy; (20.17) Jest to równanie falowe, przy czym; Reinhard Kulessa

Gdzie vfaz jest prędkością fazową fali. (20.18) , Gdzie vfaz jest prędkością fazową fali. Ogólnym rozwiązaniem równania (20.15) są wyrażenia; . W wyrażeniu na zespolone natężenie prądu dodaliśmy dla bezpieczeństwa fazę. Stała k jest równa: Wstawiając odpowiednie pochodne do równania (20.13), otrzymamy: Reinhard Kulessa

Po podstawieniu tych wartości otrzymujemy, . (20.19) Ostatnie równanie ma postać prawa Ohma. Wyrażenie ma znaczenie impedancji. Impedancja ta jest rzeczywista, czyli natężenie i napięcie prądu są w fazie, co oznacza, że =0. Wyrażenie przedstawia sobą opór falowy. Reinhard Kulessa

20.4 Zjawisko naskórkowości. Wróćmy do równania (20.3) i zastanówmy się jakie człony w tym równaniu będą istotne w przypadku, gdy przewodnikiem będzie miedź. Wyrażenie /0 odpowiada częstości 8 ·1016 s-1. Odpowiada to długości fali w próżni =3.7 10-7 cm, co odpowiada podczerwieni. Częstości, które możemy realizować technicznie, przy pomocy generatorów wysokich częstości są rzędu 1010 Hz. Wynika stąd, że /0>>, czyli od częstości naszego źródła prądu. Czyli w równaniu (20.3) dominować będzie człon z /t, tak, że . (20.20) Reinhard Kulessa

Załóżmy, że mamy następującą sytuację. j, E    z x Mamy więc: Po podstawieniu do wzoru (20.20) otrzymujemy: Reinhard Kulessa

W nawiasie kwadratowym ostatniego równania występuje wektor gęstości prądu j0(x). Gdzie 1/2 = /0c2.. Z równania tego widać, że j0(x) musi mieć postać; . Na wartość wektora gęstości prądu otrzymujemy więc: . (20.21) Płynący w przewodniku prąd zmienny nie wnika więc głęboko do wnętrza przewodnika. Dla miedzi (mm)=66.7/(Hz)1/2.. Otrzymujemy więc 9.5 mm dla prądu o częstości 50 Hz. Reinhard Kulessa

Głębokość penetracji fali do wnętrza przewodnika miedzianego pokazane jest na poniższym rysunku. Reinhard Kulessa

20.5 Fale elektromagnetyczne w izolatorze. W izolatorze wiadomo, że =0. Zgodnie z równaniem (20.3) znika w nim człon z /t. (20.22) . Rozpatrzmy falę płaską rozchodząca się w kierunku x: E(x,t), H(x,t). Załóżmy, że |E| = Ey, czyli ma kierunek prostopadły do założonego kierunku x. Pytanie jest następujące, czy istnieje wtedy wektor H i jak jest on ewentualnie skierowany. Równania falowe redukują się do: , Reinhard Kulessa

Pamiętamy, że w izolatorze  = 0, a również j = 0, wtedy I równanie oraz, . Pamiętamy, że w izolatorze  = 0, a również j = 0, wtedy I równanie Maxwella ma postać: . Założyliśmy, że wektor natężenia pola elektrycznego E ma tylko składową Ey, wobec tego Zgodnie z naszym założeniem musi znikać pierwszy człon po prawej stronie. Reinhard Kulessa

Dla wektora H pozostaje tylko składowa z-towa. Mamy więc, . Dla wektora H pozostaje tylko składowa z-towa. Widzimy z tego, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Wektory E i H zmieniają amplitudę w kierunku prostopadłym do kierunku prędkości fazowej vfaz, oraz są do siebie prostopadłe. H E vfaz Reinhard Kulessa

E0y Reinhard Kulessa

Fala elektromagnetyczna poruszając się w izolatorze transportuje 20.6 Wektor Poyntinga Fala elektromagnetyczna poruszając się w izolatorze transportuje energię. Ile energii transportuje fala przez powierzchnię A w czasie dt. Transportuje tej energii tyle, ile zawiera cylinder o objętości A·vfaz·dt. A Vfaz ·dt k H E Reinhard Kulessa

Wiadomo również, że odpowiednie gęstości energii są równe; Dla fali harmonicznej zachodzi następująca zależność: . Otrzymujemy więc, Reinhard Kulessa

Gęstość strumienia energii definiujemy jako Wynika stąd, że . Gęstość strumienia energii definiujemy jako Ze względu na to, że kierunek transportu energii jest prostopadły do wzajemnie prostopadłych wektorów E i H, możemy S wyrazić jako wektor. Reinhard Kulessa

Korzystając z równania (20.9) podającego wektor natężenia pola (20.23) Korzystając z równania (20.9) podającego wektor natężenia pola elektrycznego i wektor indukcji magnetycznej dla drgającego dipola, otrzymujemy na energię promieniowania dipola wartość; Rozkład kątowy energii emitowanej przez drgający dipol jest przedstawiony na następnym rysunku. Reinhard Kulessa

 Reinhard Kulessa

20.7 Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych Współczynnik załamanie światła jest zdefiniowany jako; Wiemy, że prędkość fazowa . Stąd znajdziemy związek pomiędzy optycznymi a elektrycznymi stałymi materiałowymi. (20.24) Dla izolatorów =1. Dyspersja światła w pryzmacie wskazuje na to, że współczynnik załamania światła n zależy od długości fali, czyli również (). Odpowiednie zależności można znaleźć w oparciu o model rozpraszania światła na atomach(elektronach) Reinhard Kulessa

Padająca fala o częstości  indukuje wtórny moment dipolowy w atomie. Moment ten uzyskuje dla pewnej częstości wartość maksymalną. W oparciu o takie rozważania otrzymujemy na współczynnik załamania wyrażenie; , (20.25) gdzie N oznacza liczbę atomów/cm3, e - ładunek elektronu, m – masę elektronu, 0 – częstość rezonansową, a Współczynnik załamania przyjmuje więc postać (20.26) . n0() przedstawia rzeczywisty współczynnik załamania odpowiedzialny za rozszczepienie światła, Reinhard Kulessa

() jest odpowiedzialny za tłumienie amplitudy fali. Prawo absorbcji fali elektromagnetycznej ma postać: . (20.27) Reinhard Kulessa