Wykład 9 3.5.2 Opory ruchu -- Siły tarcia 3.5.3 Ruch ciał w płynach 3.5.4 Siła grawitacji 3.5.4.1 Prawa Keplera Reinhard Kulessa

3.5.2 Opory ruchu -- Siły tarcia Wszystkie ciała poruszające się w naszym otoczeniu napotykają w swoim ruchu na opory. Siły oporu są skierowane przeciwnie do wektora prędkości ciał i starają się powstrzymać ruch. Opory ruchu występują zawsze gdy ciała się poruszają, czyli ślizgają się, toczą lub poruszają w płynach. Rozważmy kilka przypadków. 1. Tarcie statyczne Załóżmy, że działamy na blok poziomą siłą F. Jak długo siła ta jest mniejsza od pewnej siły Fmax blok się nie poruszy. Oznacza to, że wypadkowa siła pozioma jest równa zero. Oznacza to, że poza siłą F musi do bloku być przyłożona druga siła Fs. W N F Fs Reinhard Kulessa

1. Tarcie dynamiczne(poślizgowe) Siła Ft musi być tej samej wielkości co siła F i skierowana przeciwnie. Siła ta jest zwana siłą tarcia, i ponieważ blok się nie porusza mamy do czynienia z tarciem statycznym. Eksperyment pokazuje, że tarcie statyczne jest prawie niezależne od powierzchni styku, i jest proporcjonalne do siły normalnej działającej pomiędzy blokiem a powierzchnią. Siła tarcia statycznego , gdzie s jest współczynnikiem starcia statycznego. 1. Tarcie dynamiczne(poślizgowe) Po przekroczeniu siły Fmax = sN blok zacznie się poruszać. Siła którą musimy działać aby utrzymać blok w ruchu jest mniejsza od siły potrzebnej do ruszenia bloku. Mamy wtedy do czynienia z tarciem dynamicznym Fd. . d jest współczynnikiem tarcia dynamicznego. Reinhard Kulessa

Równanie ruchu ciała na które działa siła tarcia poślizgowego Zwrot siły tarcia jest przeciwny do kierunku ruchu. . (3.15) Równanie ruchu ciała na które działa siła tarcia poślizgowego ma postać: . (3.16) Zwykle N = mg. 2. Tarcie toczne Rozważmy co się dzieje, kiedy mamy koło toczące się po płaskiej powierzchni. Na pewnej części swojego obwodu koło zagłębia się w podłoże. Reinhard Kulessa

przeciwnym zwrocie przesuwa się B A r W=mg Ft F N t Działając na oś koła siłą F, punkt przyłożenia siły nacisku przesuwa się do punktu B. Nacisk w punkcie B rośnie, a w punkcie A maleje. Mamy do czynienia z dwoma parami sił; siłą F i siłą nacisku W, oraz odpowiednimi siłami reakcji Ft i N. Punkt przyłożenia reakcji sprężystej podłoża N równej co do wielkości sile normalnej W, lecz o przeciwnym zwrocie przesuwa się w kierunku działania siły F. Przesunięcie to ma pewną wartość graniczną t . Mamy wtedy do czynienia z dwoma parami sił o przeciwnych momentach F i Ft o momencie F·r,oraz W i N o momencie W·t . Warunkiem równowagi jest równość momentów . Reinhard Kulessa

 jest współczynnikiem lepkości i ma wymiar [N·sm-2]. Toczenie koła zacznie się wtedy, gdy siła F przekroczy wartość dla której zachodzi równowaga. 3.5.3 Ruch ciał w płynach S v = const d F FL Jeśli mamy ciało pływające po powierzchni cieczy, to siły oporu działające na to ciało związane są z lepkością cieczy. Jeśli na deseczkę zadziałamy siłą F, to ciecz to ciecz oddziaływuje na deseczkę siłą przeciwną FL. Deseczka wtedy porusza się ruchem jednostajnym v=const. Dla tego przypadku mamy; . (3.18)  jest współczynnikiem lepkości i ma wymiar [N·sm-2]. Jeśli ciało porusza się w płynie, to na ciało to działa ze strony Reinhard Kulessa

Siła oporu czołowego ma postać Płynu siła FC, którą można rozłożyć na dwie składowe, siłę oporu czołowego , oraz siłą nośną. Siła oporu czołowego ma postać . W równaniu tym l jest wymiarem liniowym prostopadłym do v, k=k(Re) jest funkcją liczby Reynoldsa Re. Liczba Reynoldsa jest zdefiniowana następująco: (3.19) . Najczęściej siła oporu stawiana ciału poruszającemu się w cieczy przedstawia się wzorem Newtona. Reinhard Kulessa

Dla ruchu kulki w cieczy Stokes znalazł, że c = 24/Re, dla (3.20) . Dla ruchu kulki w cieczy Stokes znalazł, że c = 24/Re, dla Re << 1. Powierzchnia kulki S = r2, a jej średnica l=2r. Na siłę oporu otrzymujemy: , . (3.21) Równanie (3.21) przedstawia Prawo Stokes’a. Reinhard Kulessa

Na kulkę działa siła ciężkości, siła wyporu, oraz siła oporu. Dla przykładu rozwiążmy równanie ruchu dla kulki spadającej swobodnie w cieczy. Na kulkę działa siła ciężkości, siła wyporu, oraz siła oporu. Równanie ruchu możemy zapisać jako: Zakładając, że ruch odbywa się na jednej osi, mamy;

gdzie G jest stałą grawitacji i G=6.67·10-11 Nm2/kg2. 3.5.4 Siła grawitacji Według Newtona prawo powszechnego ciążenia w układzie inercjalnym można podać w postaci; , (3.22) gdzie G jest stałą grawitacji i G=6.67·10-11 Nm2/kg2. m1 i m2 są masami dwóch ciał oddziałujących, ich masy grawitacyjne. Są one źródłem pola grawitacyjnego. W fizyce mówimy o polu wówczas, gdy każdemu punktowi danej przestrzeni możemy przyporządkować pewną wartość jakiejś wielkości fizycznej – skalar, wektor lub tensor. Przykłady pól skalarnych i wektorowych wielkości podane są na następnej stronie Reinhard Kulessa

Poziomice Granica lasu Zbocza gór Temperatura Kierunek wiatru Prędkość zmian Reinhard Kulessa

O P P1 m1 m rp r Obserwator umieszczony w punkcie O powie, że znajdująca się w punkcie P cząstka m, znajduje się w polu grawitacyjnym wytworzonym przez cząstkę m1 umieszczoną w punkcie P1. Natężenia pola grawitacyjnego g w punkcie P określonym przez wektor rp wyraża się wzorem: (3.23) . Reinhard Kulessa

Jeśli na cząstkę w punkcie P oddziaływuje grawitacyjnie n ciał otoczenia, to natężenie pola grawitacyjnego jako sumę wektorową natężeń w punkcie o współrzędnych rp dla każdego z tych ciał z osobna. . W porównaniu z ziemskim polem grawitacyjnym możemy zaniedbać wpływ na oddziaływanie grawitacyjne innych ciał. Dla cząstki P znajdującej się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi, h << RZ=6.35·106 m. Reinhard Kulessa

Siła, która nadaje ciału przyśpieszenie ziemskie g, nazywamy ciężarem. mgz oznacza masę grawitacyjną Ziemi , mgz = 5.97·1024 kg. Siła, która nadaje ciału przyśpieszenie ziemskie g, nazywamy ciężarem. . Z drugiej strony . Widzimy więc, że tylko wtedy, gdy mC = mB wszystkie ciała w polu ziemskim mają to samo przyśpieszenie. Czy możemy sprawdzić, że mC/mB = 1?. Rozważmy ruch wahadła matematycznego. Reinhard Kulessa

Przyspieszenie styczne w tym ruchu wynosi:  l F Ft s Patrz czerwony trójkąt Pod wpływem składowej Ft siły grawitacji F, kulka wykonuje ruch wahadłowy. Przyspieszenie styczne w tym ruchu wynosi: W oparciu o II zasadę dynamiki Newtona możemy napisać dla małych kątów  . Otrzymujemy więc równanie oscylatora harmonicznego. Reinhard Kulessa

. . Wiemy już, że W oparciu o liczne doświadczenia możemy powiedzieć, że niezależność okresu drgań wahadła od rodzaju ciała można rozumieć tylko wtedy, gdy masa ciężka mC jest równa masie bezwładnej mB. Zasada równoważności masy ciężkiej i bezwładnej została przez Einsteina przyjęta jako jedna z podstaw ogólnej teorii względności. Reinhard Kulessa

3.5.4.1 Prawa Keplera W roku 140 n.e. Claudius Ptolemeus zaproponował swój geocentryczny model Świata. Gwiazdy stałe zostały ustalone, a wszystkie inne planety razem ze Słońcem i Księżycem krążyły wokół Ziemi, przy czym planety po skomplikowanych torach. System ptolomeuszowski był w stanie wytłumaczyć obserwowane pętle kreślone przez Mars. Reinhard Kulessa

Zobaczmy, jak wyglądała linia zakreślana przez Merkurego w 1955 r. Reinhard Kulessa

Poniżej widzimy pętle kreślone przez Marsa. U.J. Schrewe Reinhard Kulessa

Układ heliocentryczny został zaproponowany przez Kopernika w 1543 r. Reinhard Kulessa

Wytłumaczenie pętli zataczanych przez Marsa w oparciu o układ heliocentryczny. Reinhard Kulessa