Ruch harmoniczny prosty

Wykład 5 Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny prosty F = -kx W dowolnej chwili F = ma Ale tutaj F = -kx ma = Więc: -kx = ma = a k m x Tj różniczkowe równ. na x(t)!

Ruch harmoniczny prosty niech gdzie w jest szybkością kątową Niech x = A cos(t)

Ruch harmoniczny prosty jak  może mieć coś wspólnego z ruchem po linii prostej?? x = R cos  = R cos (t) x  1 1 1 2 2 q cos q 3 3  4 6 -1 4 6 5 5

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie Pokazaliśmy, że ma rozwiązanie x = A cos(t) . Ale x = A sin(t) tez może być rozwiązaniem. Ogólne rozwiązanie jest liniową kombinacją obydwu! x = B sin(t)+ C cos(t)

Ruch harmoniczny prosty Ogólne rozwiązanie: x = A cos(t + ) jest równoważne x = B sin(t)+ C cos(t) x = A cos(t + ) = A cos(t) cos - A sin(t) sin gdzie C = A cos() and B = A sin() = C cos(t) + B sin(t) Więc x = A cos(t + ) jest ogólnym rozwiązaniem!

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie Wykres A cos( t ) A = amplituda drgań q =  t = 0 q = T = 2p T = 2/ A  = w t -    A

Ruch harmoniczny prosty cd. Wykres A cos(t + )   -   

Ruch harmoniczny prosty Wykres A cos(t - /2)  = /2 A  -    = A sin(t)!

Prędkość i przyśpieszenie położenie: x(t) = A cos(t + ) prędkość: v(t) = -A sin(t + ) przyspieszenie: a(t) = -2A cos(t + ) xMAX = A vMAX = A aMAX = 2A k m x

Warunki początkowe Pozwalają wyznaczyć fazę początk.! x(t) = A cos(t + ) v(t) = -A sin(t + ) a(t) = -2A cos(t + ) Niech x(0) = 0 , i x rośnie, tak, że v(0) >0: x(0) = 0 = A cos()  = /2 lub -/2 v(0) > 0 = -A sin()  < 0 więc  = -/2    k m cos sin x

Warunki początkowe więc  = -/2!! x(t) = A cos(t - /2 ) v(t) = -A sin(t - /2 ) a(t) = -2A cos(t - /2 ) x(t) = A sin(t) v(t) = A cos(t) a(t) = -2A sin(t) A x(t) t k x m   -A

Ruch harmoniczny prosty -parametry x = A cos(t + f) A = amplituda t + f = faza  = szybkość kątowa (częstość) f = faza początkowa T –okres (czas trwania jednego drgania). f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T w = 2p f = 2p / T

Sprężyna -ky = ma = y k y = 0 y = A cos(t + ) F = -ky m gdzie

Sprężyna A = amplituda  = częstość  = faza początkowa Dla sprężyny Rozwiązanie ogólne x = A cos(t + ) A = amplituda  = częstość  = faza początkowa Dla sprężyny Częstość nie zależy od amplitudy!!! Tak jest zawsze dla ruchu harm. prostego! Drgania występują wokół położenia równowagowego w którym siła jest równa zeru!

Wahadło matematyczne

sin  i cos  dla małych  Szereg Taylora sin  i cos  wokół  = 0 :

 = 0 cos(t + ) Wahadło matematyczne Moment siły ciężkości wokół osi z:  = -mgd. d = Lsin   L dla małych  więc  = -mg L Ale  = II=mL2  L d m mg z gdzie Równanie różniczkowe dla RHP!  = 0 cos(t + )

huśtawka L2 < L1 , f2 > f1 lub T1 > T2 . L2 L1 f1 f2

Wahadło fizyczne Wahadło stanowi pręt zawieszony jednym końcem. Znajdź częstość wahań przy odchyleniu wahadła od równowagi o mały kąt. z  x CM L mg

Wahadło - pręt Moment wokół osi (z)  = -mgd = -mg(L/2)sinq  -mg(L/2)q dla małych q Dla pręta Więc  = I z d I L/2  x CM d L mg gdzie

Okres Jaką długość powinno mieć wahadło matematyczne, aby miało tę samą częstość co wahadło fizyczne? LS LR (a) (b) (c)

Rozwiązanie LS LR S = P jeśli