Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe Funkcja wielu zmiennych Pochodna cząstkowa. Gradient Dywergencja Rotacja

Funkcja jednej zmiennej Zmienna niezależna Zmienna zależna

Funkcja jednej zmiennej Wykres y=f(t) jest krzywą płaską

Funkcja wielu zmiennych Zmienna zależnat Zmienna niezależna

Funkcja wielu zmiennych Wykres – powierzchnia w 3D

Pochodna cząstkowa Pochodna z funkcji jednej zmiennej ( względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji; Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych to pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;

Pochodna cząstkowa Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe; Pochodna cząstkowa jest gradientem powierzchni w kierunku danym przez tę zmienną, względem której liczono pochodną: pochodna cząstkowa względem x

Przykład Pochodna cząstkowa funkcji: względem x (traktujemy y jako stałą): względem y (traktujemy x jako stałą):

Pole skalarne i wektorowe Pole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura) Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych (np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).

Pole skalarne i wektorowe np.

Pole skalarne i wektorowe Pole wektorowe (2D) : np.

Pole wektorowe Przepływ wody wokół podpory mostu

Pole skalarne Głębokość wody w Auckland Harbour

Pole wektorowe Prądy wodne w Waitemata Harbour

Operator Gradientu Rozważmy funkcję skalarną f = f (x, y, z). Jak policzyć jak szybko f zmienia się wzdłuż pewnej krzywej C opisanej równaniem: s jest długością mierzoną wzdłuż C; chcemy policzyć pochodną f względem s aby stwierdzić jak szybko zmienia się ona względem C. Niech w jest równa wartości f na krzywej C:

Operator Gradientu krzywa C t Kontury f (x, y, z) = constant

Operator Gradientu Aby obliczyć jak f zmienia się wzdłuż C liczymy pochodną: Prawa strona może być też zapisana tak:

Operator Gradientu Czyli: gdzie t jest jednostkowym wektorem stycznym do s:

Operator Gradientu Operator gradientu : lub:

Przykład Oblicz gradient funkcji: Gradient :

Operator gradientu grad f tworzy pole wektorowe z pola skalarnego f Aby zinterpretować grad f piszemy: q jest kątem między wektorem stycznym t i wektorem grad f . Ta pochodna jest największa gdy q = 0 i cosq = 1. grad f jest wektorem, który jest równy maksimum szybkości zmian f i wskazuje kierunek maksimum szybkości zmian.

Powierzchnie w 3D Wektor gradientu w punkcie P jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P. Tak więc wektor normalnej n do powierzchni w punkcie P: C t n P

Operator dywergencji Prędkość cieczy lub gazu może reprezentować wektor pola, tzn. Dywergencja jest miarą źródłowości pola.

Operator dywergencji Rozważmy skalar: Jeśli v > 0 ciecz wypływa ze źródła Jeśli v < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu

Operator dywergencji Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną

Operator Laplace’a uwaga: div(grad f ) pisze się tak: To jest operator Laplace’a Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in.

Operator rotacji Prędkość ruchu obrotowego (np. bryły sztywnej) można określić stosując rotację; Niech wektor prędkości punktów bryły reprezentuje wektor pola

Operator rotacji Operator rotacji wektora pola:

Operator rotacji W postaci macierzowej:

Przykład Oblicz rot v dla:

Sens fizyczny rotacji Dla płynącej cieczy, rot v oznacza, że mamy do czynienia z wirami: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż osi obrotu; jego kierunek określa reguła prawej dłoni; Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż tej osi; długość rot v jest równa podwojonej prędkości kątowej.

Podsumowanie Gradient Dywergencja Rotacja Maksimum szybkości zmian i kierunek maksymalnej szybkości zmian pola skalarnego skalar  vektor Dywergencja Wskazuje źródło pola wektor  skalar Rotacja Określa obrót wektora pola wektor  wektor