Wykład III Nośniki nadmiarowe w półprzewodnikach Rekombinacja bezpośrednia i pośrednia Quazi-poziomy Fermiego

Większość urządzeń półprzewodnikowych pracuje w oparciu o nośniki nadmiarowe: Nośniki nadmiarowe są generowane dzięki wzbudzeniom optycznym, bombardowaniu elektronami lub wstrzykiwaniem nośników np. w złączu p-n.

Pobudzanie światłem

Jeśli strumień fotonów o energii hν E g oświetla próbkę Si, to można oszacować jaka część tego strumienia zostanie pochłonięta przez tę próbkę. Stosunek natężenia światła, które przeszło przez próbkę do natężenia światła padającego zależy od długości fali fotonów (λ) i grubości próbki (l). Niech I 0 (photony/cm 2 sec) = wiązka fotonów o długości fali λ, skierowana zostaje na próbkę o grubości (l). Zgodnie z prawem Lamberta-Beera spadek natężenia wiązki w odległości (x) od powierzchni na odcinku dx, jest proporcjonalny do natężenia wiązki w (x), grubości warstwy dx i współczynnika opisującego własności optyczne ośrodka : Jeśli grubość jest mała i można założyć, że =const, to natężenie światła po przejściu przez próbkę o grubości (l) :

Absorpcja w półprzewodnikach Dla dłuższej drogi z powyższego wzoru wynika następujące wyrażenie:

Półprzewodniki absorbują fotony o energii hν E g ! E (eV) = hc / λ (μm) - Si absorbuje nie tylko fale o długości odpowiadającej przerwie wzbronionej (~1μm) ale również fale krótsze, z zakresu widzialnego. -Si będzie przezroczysty w podczerwieni (bo h E g ), ale nieprzezroczysty w zakresie UV-VIS (bo tam hν E g ).

Pomiary przerwy wzbronionej : - absorpcja fotonów gdy hν E g; fotony nie są absorbowane, jeśli h E g to wyjaśnia, dlaczego niektóre materiały są przezroczyste dla pewnych długości fal ! - jeśli E g = ~2 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła czerwonego, - jeśli E g = ~3 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła widzialnego,

Pomiar absorpcji

W pobliżu k=0 zależność E(k) jest paraboliczna zarówno dla pasma przewodnictwa (e), pasma dziur ciężkich (hh), dziur lekkich (lh) oraz pasma powstałego na skutek oddziaływania spin – orbita (so). Różnica między zależnościami dyspersyjnym dla poszczególnych pasm wynika tylko z innej wartości masy efektywnej. Krawędź absorpcji w półprzewodnikach z prostą przerwą wzbronioną ( np. GaAs)

Z ZZE dla przejść optycznych w GaAs z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa: gdziei niech

Łączna gęstość stanów. Gęstość stanów określa rozkład stanów po energii w obrębie jednego pasma. Łączna gęstość stanów uwzględnia fakt, że początkowy i końcowy stan elektronu znajdują się w obrębie kontinuum stanów dozwolonych, różnych pasm. Dla elektronów w paśmie: D(E)dE=2D(k)dk g(k) jest gęstością stanów w przestrzeni pędów a mnożnik 2 wynika z tego, że w danym stanie kwantowym mogą się znajdować dwa elektrony o różnych spinach. Stąd: Wiadomo, że gęstość stanów w przestrzeni wektora falowego g(k) jest równa liczbie stanów zawartych w przestrzeni między dwiema sferami o promieniach k i k+dk. Ta zaś jest równa liczbie stanów na jednostkę objętości, tj. 1/(2 ) 3 pomnożonej przez objętość między sferami równą 4 k 2 dk. Tak więc:

wtedy dla zaś dla dla energii fotonów większej niż przerwa wzbroniona łączna gęstość stanów rośnie jak Łączna gęstość stanów

Prawdopodobieństwo przejścia W i-f jest proporcjonalne do łącznej gęstości stanów, więc współczynnik absorpcji będzie miał podobną zależność funkcyjną od energii fotonów co łączna gęstość stanów, ponieważ w przybliżeniu dipolowym można założyć, że M =const ( tzn. słabo zależy od k)

Z ekstrapolacji części liniowej wykresu do przecięcia z osią odciętych można wyznaczyć przerwę wzbronioną E g

Przejścia skośne Przejścia skośne mogą pojawić się wtedy i tylko wtedy, gdy w procesie oddziaływania foton–elektron bierze udział trzecia cząstka, która umożliwia spełnienie zasady zachowania wektora falowego. Zazwyczaj taką rolę pełni fonon gdzie E p,, – energia i pęd fononu. Znak + odpowiada procesowi z emisją, – procesowi z absorpcją fononu. Si Proces dwuetapowy: elektron jest wzbudzany przy udziale fotonu z pasma walencyjnego do stanu wirtualnego bez zachowania energii ale z zachowaniem wektora falowego. W drugim etapie elektron przechodzi ze stanu do stanu na dnie pasma przewodnictwa przy udziale procesu absorpcji lub emisji fononu. Możliwe jest przejście takie, że najpierw jest oddziaływanie z fononem, a potem – z fotonem

gdzie: H eR – hamiltonian oddziaływania elektronu z fotonem, H ep – hamiltonian oddziaływania elektronu z fononem. – stan początkowy układu z zapełnionym pasmem walencyjnym, pustym pasmem przewodnictwa oraz liczbą fononów n p, – stan końcowy układu z elektronem w minimum pasma przewodnictwa, dziurą w maksimum pasma walencyjnego oraz liczbą fononów, – przedstawia dwa możliwe stany pośrednie, opisane wyżej. Prawdopodobieństwo absorpcji fotonu w jednostce czasu i w jednostce objętości Element macierzowy oddziaływania elektron – fonon zależy od stopnia obsadzenia stanów fononowych gdzie Przejścia skośne

W wielu półprzewodnikach elementy macierzowe są stałe. Wtedy wystarczy wykonać sumowanie po k c i k v, które sprowadza się do całkowania po E c i E v : Zakładając, że pasma są paraboliczne mamy : gdzie E ig jest przerwą wzbronioną. Zero energii przyjęto dla wierzchołka pasma walencyjnego. Podstawiając do równania na R i i całkując po E v mamy: Przejścia skośne

Podstawiając mamy Przejścia skośne

dla procesów z emisją fononu: dla procesów z absorpcją fononu: Po scałkowaniu mamy: Przejścia skośne

Schematyczny przebieg krawędzi absorpcji w obszarze przejść skośnych dla dwu temperatur z zaznaczonym sposobem wyznaczenia przerwy energetycznej oraz energii fononu Przejścia skośne

Luminescencja w półprzewodnikach Przejścia bezpośrednie -Fluorescencja : szybka luminescencja (średni czas życia ( ) = sec) Przejścia z udziałem poziomów pułapkowych -Fosforescencja : wolna luminescencja ( = kilka sek - min) W zależności od rodzaju wzbudzenia : [ wzbudzenie ] [ emisja ] - fotoluminescencja : absorpcja fotonu rekombinacja - katodoluminescencja : wysokoenerget. elektrony rekombinacja - elektroluminescencja : wstrzykiwanie prądu rekombinacja

Fotoluminescencja Emisja światła: Gdy hν E g generowana jest para elektron-dziura Wzbudzony elektron oddaje energię sieci Elektron rekombinuje z dziurą w pasmie walencyjnym

Wzbudzenie i rekombinacja z udziałem poziomu pułapkowego a) Kreacja pary elektron-dziura, b) elektron relaksuje do dna pasma przewodnictwa c) elektron zostaje spułapkowany na poziom E T i d) ponownie wzbudzony termicznie do pasma przewodnictwa e) rekombinacja z dziurą z pasma walencyjnego. Proces c) i d) może być wielokrotnie powtarzany, zanim nastąpi e). Stąd proces emisji światła w fosforach (ZnS) może trwać b. długo.

Koncentracja nośników Przybl. parabol. (swob.elektron): m*: masa efektywna Elektrony: Dziury:

Koncentracja elektronów i dziur w stanie równowagi termodynamicznej Niech gęstość stanów = D(E) zaś prawdopodobieństwo, że zostaną zajęte elektronami = f(E), wówczas koncentracja elektronów: f(E)D(E) maleje istotnie dla E> EC, więc mało elektronów zajmuje stany powyżej dna pasma przewodnictwa efektywna gęstość stanów (N C ): wszystkie stany są zastąpione stanami na dnie pasma przewodnictwa koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa=(efektywna gęstość stanów N C ) x (funkcja Fermiego) : koncentracja dziur w paśmie walencyjnym

Koncentracja samoistna półprzewodnik samoistny E F = E i : ale

Koncentracje równowagowe

Koncentracja równowagowa nośników w półprzewodniku domieszkowym ECEC E F =E i EVEV ECEC EiEi EVEV ECEC EiEi EVEV samoistny EFEF EFEF N-typuP-typu q Fn q Fp

W półprzewodniku samoistnym w stanie równowagi Rekombinacja prosta zachodzi spontanicznie, prawdopodobieństwo, że elektron zrekombinuje z dziurą nie zależy od czasu. Szybkość zaniku nadmiarowych nośników w wyniku rekombinacji w dowolnej chwili jest proporcjonalna do liczby elektronów i dziur. Współczynnik proporcjonalności nazywa się współczynnikiem rekombinacji, α r. Całkowita zmiana koncentracji elektronów w pasmie przewodnictwa = szybkość generacji termicznej (g i )- szybkość rekombinacji : Rekombinacja prosta

Załóżmy, że nadmiarowa para EHP jest kreowana w chwili t =0 przez impuls światła i początkowe nadmiarowe koncentracje elektronów i dziur ( n i p) są takie same. Chwilowe koncentracje nadmiarowe są też równe: δn(t) = δp(t) Jeśli nadmiarowe koncentracje są małe, to człon δn 2 można zaniedbać. Dla półprzewodnika typu p, równowagową koncentrację nośników mniejszościowych (n 0 ) też można zaniedbać. Rozwiązanie tego równania : = czas życia na rekombinację = czas życia nośników mniejszościowych gdzie

Czas życia nośników Ogólne wyrażenie na czas życia na rekombinację : (*)

Względna zmiana koncentracji nośników mniejszościowych jest bardzo duża zaś niewielka dla nośników większościowych Przykład 1. Zanik nadmiarowych dziur i elektronów w wyniku rekombinacji Załóżmy, że mamy próbkę GaAs z N A = cm -3. Konc. samoistna w GaAs jest ~10 6 cm -3, więc i p 0 >>n 0. Załóżmy dalej, że dla t=0 koncentracja generowanych światłem nadmiarowych elektronów i dziur Δn = Δp = 0.1p 0. Na rys. pokazano zanik nadmiarowych dziur i elektronów w wyniku rekombinacji, obliczony ze wzoru (*) przy założeniu, że = 10 ns. Wykładniczy zanik n(t) w skali półlogarytmicznej jest liniowy.

Rekombinacja pośrednia : pułapkowanie (a)W półprzewodnikach ze skośną przerwą wzbronioną (m.in. Si i Ge ) rekombinacja bezpośrednia jest b. mało prawdopodobna. (b) Najczęściej zachodzi rekombinacja poprzez centra rekombinacyjne i z udziałem fononów. (c) Domieszka lub defekt zachowują się jak centrum rekombinacji, jeśli po przejęciu nośnika jednego typu pułapkują nośnik przeciwnego typu, co w efekcie prowadzi do anihilacji pary elektron – dziura [EHP]. (d) Na rys. na str. następnej, ponieważ E r znajduje się poniżej E F, w stanie równowagi centra rekombinacji są zajęte przez elektrony. Zatem w pierwszym etapie, dziura jest pułapkowana ( co jest równoważne przejściu elektronu z E r do pasma walencyjnego i pozostawieniu stanu pustego w centrum rekombinacyjnym). Tak wiec po spulapkowaniu dziury energia jest oddawana w postaci ciepła.

(e)Energia jest również oddawana gdy elektron z pasma przewodnictwa w natępnym kroku przechodzi na pusty stan E r. Po obydwu etapach, centrum E r jest na powrót w stanie wyjściowym (zajęte przez elektron), ale brakuje jednej pary EHP. Tak więc zaszedł jeden proces rekombinacji EHP i centrum jest gotowe do kolejnego takiego procesu poprzez spułapkowanie dziury. (f)Czas życia dla takiego procesu jest bardziej skomplikowany, bo czas życia na pułapkowanie każdego rodzaju nośnika jest inny. Często rekombinacja opóźnia się, bo spułapkowany nośnik jest termicznie wzbudzany do swojego pasma zanim nastąpi spułapkowanie nośnika drugiego typu. (g)Kiedy nośnik zostanie spułapkowany a następnie wzbudzony ponownie termicznie zanim zostanie spułapkowany następny nośnik, to taki proces nazywa się chwilowym pułapkowaniem. Takie centrum (defekt, domieszka) nazywane jest centrum pułapkowym. Jeśli bardziej prawdopodobne jest spułapkowanie nośnika przeciwnego typu to jest ono nazywane centrum rekombinacyjnym.

Procesy pułapkowania przez centrum rekombinacji: (a)spułapkowanie dziury przez centrum zajęte przez elektron (b)spułapkowanie elektronu przez puste centrum. Rekombinacja pośrednia: pułapkowanie

(h)Poziomy pułapkowe zlokalizowane głęboko w przerwie są wolniejsze jeśli chodzi o proces wzbudzania termicznego nośników, ze względu na większą ilość energii niezbędnej do wzbudzenia niż w przypadku płytkich poziomów.

Energie są liczone względem najbliższego pasma (E v lub E c ). Indeks górny oznacza stan ładunkowy domieszki po jonizacji (poziomy donorowe są oznaczone + zaś akceptorowe - ). Poziomy domieszkowe w Si

Fotoprzewodnictwo Efeky rekombinacji i pułapkowania można mierzyć metodą zaniku fotoprzewodnictwa. Obsadzenie nadmiarowymi elektronami i dziurami zanika ze stałą czasową charakterystyczną dla danego procesu rekombinacji. Przewodnictwo podczas zaniku jest dane wzorem : Zależność czasowa koncentracji nośników może być monitorowana poprzez zmianę oporności próbki w funkcji czasu.

Pomiar zaniku fotoprzewodnictwa

Generacja nośników w stanie stacjonarnym: quazi- poziomy Fermiego W stanie równowagi szybkość generacji termicznej EHP g(T) = g i, jest równoważona przez szybkość rekombinacji, tak, że równowagowe koncentracje elektronów n 0 i dziur p 0 nie zmieniają się : Tu generacja może być z poziomów defektów i pasmo-pasmo. Po oświetleniu próbki stałym strumieniem światła pojawi się generacja optyczna (g op ) oprócz generacji termicznej. Koncentracje nośników n i p wzrosną. Nowa równowaga między procesami rekombinacji i generacji może być zapisana przy pomocy koncentracji równowagowych (n 0 i p 0 ) i odchyłek od równowagowych wartości (δn i δp):

W stanie stacjonarnym, bez pułapkowania: δn = δp Ponieważ szybkość generacji termicznej jest równa Dla niskiego poziomu pobudzania optycznego δn 2 można zaniedbać, Nadmiarowe koncentracje : Zatem jeśli nie ma pułapkowania:

Przykład Załóżmy, że EHP/cm 3 jest generowanych optycznie (g op ) w ciągu każdej μs w próbce Si, w której n 0 = cm -3 i n = τ p = 2μs. Wówczas stacjonarna nadmiarowa koncentracja elektronów i dziur jest równa 2 x cm -3. O ile procentowa zmiana koncentracji nośników większościowych (elektronów) jest mała, to koncentracja nośników mniejszościowych zmienia się z p 0 = n i 2 /n 0 = ( 1.5 x ) 2 /10 14 = 2.25 x 10 6 cm -3 ( w równowadze ) do p = p 0 + δp = p 0 + g op τ p = 2.25 x 10 6 cm -3 + (10 13 EHP/cm 3 μs) x (2μs) = 2 x cm -3 ( w stanie stacjonarnym ) Należy zauważyć, że równanie n 0 p 0 =n i 2 spełnione w stanie równowagi, nie jest spełnione dla nośników nadmiarowych: np n i 2

Wiadomo, że poziom Fermiego (E F ) ma znaczenie tylko gdy nie ma nośników nadmiarowych (tj. w stanie równowagi). Można napisać wyrażenia na stacjonarne koncentracje dla elektronów i dziur, podobnie jak wyrażenia na koncentracje równowagowe, definiując oddzielne quazi-poziomy Fermiego F n i F p odpowiednio dla elektronów i dziur: Quazi-poziomy Fermiego (F n i F p ) są odpowiednikami równowagowego poziomu Fermiego E F. Kiedy obecne są nośniki nadmiarowe, odchyłki F n i F p od E F wskazują, na ile koncentracje elektronów i dziur (n i p) różnią się od równowagowych koncentracji (n 0 i p 0 ). Odległość między quazi- poziomami Fermiego (F n - F p ) jest miarą odchyłki od równowagi ( w równowadze F n = F p = E F ).

Quazi-poziomy Fermiego F n i F p dla Si z n 0 = cm -3, p = 2 s, i g op = EHP/cm 3 s Przykład cd. : n 0 = cm -3 n = n 0 + δn = n 0 + g op τ n = cm -3 + (10 13 EHP/cm 3 μs) x (2μs) = cm x cm -3 = 1.2 x cm -3 Porównując: 1.2 x = (1.5x10 10 ) exp[(F n -E i )/0.026] F n -E i = eV Analogicznie, E i -F p - = eV otrzymamy z

Detektory fotoprzewodzące Uwaga: sa to diagramy pasmowe na których zaniedbano pochylenie pasm Wywołane polem elektrycznym!

Półprzewodnik w polu elektrycznym

Detektory fotoprzewodzące

Fotoprąd: Szybkość generacji: Koncentracja nośników wygenerowanych światłem:

Czułość napięciowa detektora fotoprzewodzącego Jest to stosunek wartości skutecznej napięcia sygnału wyjściowego o częstotliwości podstawowej do wartości skutecznej mocy promieniowania padającego o częstotliwości podstawowej

Detektory fotoprzewodzące Jeśli zdefiniuje się fotoprąd pierwotny: wówczas wzmocnienie G fotoprądu w detektorze fotoprzewodzącym wyraża się wzorem: G (ang. gain – zysk) dla detektorów fotoprzewodzacych może być równy:

Detektory fotoprzewodzące Dla małego prądu stałego płynącego przez detektor PC wskutek jego polaryzacji, dominujący jest szum Johnsona – Nyquista i wówczas detekcyjność wyraża się wzorem:

Tesla-blatna

Fotorezystory CdS - tanie : mierniki światła w aparatach fotogr., czujniki świateł ulicznych, czujniki w alarmach. PbS i InSb LDRs (light dependent resistor) są używane w tzw. średniej podczerwieni (mid-IR) Ge:Cu - daleka podczerwień (far-IR); spektroskopia w podczerwieni i astronomia w podczerwieni