Dodawanie i odejmowanie wektorów Opracował: Sławomir Klarzak, II L.O. im. J. Kasprowicza w Kutnie

Oznaczać go będziemy AB albo krócej Wektorem AB nazywamy uporządkowana parę punktów A i B, z których punkt A oznacza początek, a punkt B koniec wektora. Oznaczać go będziemy AB albo krócej A B Kierunek wektora wyznacza prosta przechodząca przez punkty AB. Zwrot oznaczamy grotem. Długość wektora jest równa długości odcinka AB. Będziemy ją oznaczać |AB|, , lub krótko . W odpowiedniej skali długość wektora ilustruje wartość wielkości fizycznej Dwa wektory są sobie równe, jeżeli mają ten sam kierunek ( leżą na prostych równoległych), tę samą długość i ten sam zwrot A B C D Zapisujemy AB=CD lub Dwa wektory są przeciwne, jeżeli mają ten sam kierunek ( leżą na prostych równoległych), tę samą długość lecz przeciwny zwrot A B D C Zapisujemy AB= -CD lub

I. Dodawanie wektorów 1. O tym samym kierunku a. Zgodnych zwrotach Rysujemy wektor Do końca wektora przykładamy początek wektora . Następnie go rysujemy Wektor zaczyna się w początku wektora a kończy w końcu wektora Jego długość jest równa sumie długości wektora i Co zapisujemy

I. Dodawanie wektorów 1. O tym samym kierunku b. przeciwnych zwrotach Rysujemy wektor Do końca wektora przykładamy początek wektora i go rysujemy Wektor zaczyna się w początku wektora a kończy w końcu wektora Jego długość jest równa różnicy długości wektora i . Co zapisujemy

Zastosujmy dotychczasową wiedzę do przykładów z fizyki. Wiemy, że elementy, które dodajemy nazywamy składnikami. Dlatego wektory, które dodajemy nazywamy wektorami składowymi. Wektor równy sumie wektorów składowych- wektorem wypadkowym. Załóżmy, że na ciało działają dwie siły . Siła wypadkowa jest zawsze równa sumie wektorowej sił składowych. Czyli a) Niech na ciało działają siły o tym samym kierunku i tym samym zwrocie. Ile wynosi wartość wypadkowej siły W tym przypadku, jest równa sumie wartości sił składowych czyli 5N b) Niech na ciało działają siły o tym samym kierunku lecz przeciwnym zwrocie. Ile wynosi wartość wypadkowej siły W tym przypadku, jest równa różnicy wartości sił składowych czyli 1N

I. Dodawanie wektorów 2. O różnych kierunkach Rysujemy wektor Do końca wektora przykładamy początek wektora i go rysujemy Wektor zaczyna się w początku wektora a kończy w końcu wektora Jego długość nie jest równa sumie ani różnicy długości wektorów i

I. Dodawanie wektorów 2. O różnych kierunkach Okazuje się, że wektor można otrzymać innym sposobem. Metoda równoległoboku Rysujemy wektor W początku wektora przykładamy początek wektora i go rysujemy Następnie z końca wektora rysujemy równoległą do wektora. Z końca wektora równoległa do wektora Okazuje się, że wektor, który zaczyna się w punkcie przyłożenia wektorów, a kończy w punkcie przecięcia się równoległych, jest też jest wektorem

Wykorzystamy regułę równoległoboku. Zastosujmy te wiadomości w fizyce. Załóżmy, że na ciało działają dwie siły jak na rysunku poniżej Jak znaleźć wypadkową siłę? Wykorzystamy regułę równoległoboku. Ile wynosi wartość wypadkowej siły? Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy 5N. W tym wypadku suma sił o wartości 3N i 4N dała nam siłę wypadkową o wartości 5N

Do tej pory mając siły składowe otrzymywaliśmy siłę wypadkową. Spróbujmy teraz: mając siłę ciężkości , znaleźć jej składowe. (Na rysunku równoległą do równi i prostopadłą do równi) Do tego zagadnienia wrócimy podczas omawiania ruchu ciał po równi pochyłej

Ptaszek o ciężarze Q usiadł na poziomym przewodzie Ptaszek o ciężarze Q usiadł na poziomym przewodzie. Znajdź graficznie siłę napinającą przewód, jeżeli w wyniku jego ciężaru przewód ugiął się o kąt  od poziomu. Wartości sił napinających przewód będziemy mogli obliczyć po zapoznaniu się z funkcjami trygonometrycznymi.

II. Odejmowanie wektorów Wykorzystajmy najpierw wiadomości z dodawania wektorów. Wyrażenie powyżej można zapisać następująco Czyli odjąć, to do wektora pierwszego dodać wektor przeciwny do drugiego. Rysujemy wektor Bierzemy wektor przeciwny do Do końca wektora przykładamy początek wektora a następnie go rysujemy Wektor r podobnie jak przy dodawaniu zaczyna się w początku wektora pierwszego a kończy w końcu drugiego.

Wykorzystamy to na późniejszych lekcjach fizyki. Okazuje się, że wektor r można otrzymać innym sposobem. Narysujmy wektory tak, żeby ich początki były w tym samym punkcie Okazuje się, że wektor r będzie zaczynał się w końcu wektora a kończył w końcu wektora Wykorzystamy to na późniejszych lekcjach fizyki.