Ü     warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: tworzony jest Hessian:

a minory są postaci:

Ü     Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero. Ü     Warunek dostateczny jest spełniony wtedy, gdy minory Hessiana: dla maksimum - zmieniają znaki na przemian „-”, „+”, „-”,... dla minimum - wszystkie minory są dodatnie

Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2, Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz jednym warunku dodatkowym g(x1,x2,..,xn.)=0 Dla funkcji n-zmiennych postaci y=f(x1,x2,...,xn) o własnościach analogicznych jak dla dwóch zmiennych oraz jednym warunku dodatkowym w postaci funkcji liniowej g(x1,x2,...,xn)=0 tworzymy funkcję Lagrange’a:  F(x1,x2,...,xn,)=f(x1,x2,...,xn)+g(x1,x2,...,xn)

Ü    warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe zero:

Ü     warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla: maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana zmieniały się na przemian „-”, „+”, „-”, „+”,... minimum - wszystkie minory powinny być dodatnie Wyznacznik Hessiana ma postać:

Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2, Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz wieloma warunkami dodatkowymi liniowymi gj(x1,x2,..,xn.)=cj   Dla funkcji n-zmiennych y=f(x1,x2,...,xn) oraz j-ograniczeniach dodatkowych (liniowych) gj(x1,x2,...,xn)=cj gdzie m<n; j=1,2,...,m funkcja Lagrange’a ma postać:

a Hessian obrzeżony: gdzie: fin - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y, - pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj po zmiennych i

1  Warunki Kuhn-Tucker,a wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona ciągła, różniczkowalna w przedziale i wypukła, warunkiem istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x1 jest:

Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma postać: gdzie: fj - pierwsze pochodne funkcji, xjfj - warunek komplementarności.

Przy wprowadzaniu m-ograniczeń nieliniowych, problem optymalizacji funkcji n-zmiennych przyjmie postać: a funkcja Lagrange’a jest postaci:

Dla istnienia ekstremum musza być spełnione warunki Kuhn-Tucker’a:

gdzie: i=1,2,...,m j=1,2,...,n Dwa pierwsze równania są podobne do warunków koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i nieujemne w drugim. Dwa następne warunki gwarantują nieujemność wszystkich zmiennych, w tym i mnożników Lagrange’a. Kolejne dwa równania są warunkami komplementarności.

Dla wypukłych f(x1,. ,xn) i gi(x1,. ,xn) gdzie i=1,2, Dla wypukłych f(x1,...,xn) i gi(x1,...,xn) gdzie i=1,2,...,m warunki Kuhn-Tucker'a są wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować funkcję ze znakiem ujemnym.

W przypadku maksymalizacji funkcji f(x1, W przypadku maksymalizacji funkcji f(x1,...,xn) przy i-warunkach dodatkowych (i=1,2,...,m): gi(x1,...,xn) xj funkcja Lagrange’a ma postać:

Warunki Kuhn-Tucker’a są następującej postaci:

Mnożniki Lagrange’a przy warunkach ubocznych w formie nierówności mierzą stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu przy jednostkowych zmianach w warunkach ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie pochodne cząstkowe.

Dla problemu produkcji, interpretacja jest następująca: fj - wartość graniczna produktu, - cena korzyści czynnika i („cena cieniowa”), - ilość użytego czynnika i do produkcji jednostki marginalnej dobra j , - marginalne koszty zastosowania czynnika i w produkcji dobra j . - agregaty marginalnych kosztów produkcji dobra j .