   Zbigniew Łucki Katedra Zarządzania Przedsiębiorstwem Zespół realizujący: prof. dr hab. inż. Zbigniew Łucki dr inż. Alicja Byrska-Rąpała dr inż. Alina Kozarkiewicz-Chlebowska dr inż. Dionizy Szyba mgr Izabella Stach-Janas mgr inż. Mateusz Wiernek mgr inż. Jerzy Wąchol mgr inż. Sebastian Załęcki pies Benji  

    Matematyczne techniki zarządzania - 2 PORADY I PROŚBY MTZ to część wiedzy człowieka z wyższym wykształceniem (rozumie-nie rozmów, opracowań, artykułów naukowych itp.) przedmiot jest odmatematyzowany — uczymy rozumienia problemów, posługiwania się tablicami i programami komputerowymi oraz inter- pretacji wydruków warunkiem sukcesu w opanowaniu wiedzy jest skupienie uwagi na danym przedmiocie — jak masz bezmyślnie przepisywać slajdy, to lepiej idź do kina, a potem ucz się z książek (literatura w skrypcie) staramy się uczyć Państwa metodą pokazową i metodą „zróbmy razem”, co znacznie ułatwia zapamiętywanie można nauczyć się przedmiotu w ogóle nie „ucząc się” — wystarczy właściwie wykorzystać wykłady, ćwiczenia i projekty  Gambarelli G., Łucki Z.: Jak przygotować pracę dyplomową lub doktorską. Łucki Z.: Jak zdać egzamin.

Matematyczne techniki zarządzania - 3 MTZ obejmuje następujące standardowe przedmioty: rachunek prawdopodobieństwa statystyka opisowa statystyka matematyczna ekonometria badania operacyjne Dlaczego MTZ, a nie oddzielne przedmioty — statystyka, ekonometria i badania operacyjne? Uzasadnienie przedmiotu: poznawanie i poprawianie rzeczywistości zarządzanie ilościowe walka z bombą I (przetwarzanie informacji) Skrypt do ćwiczeń Matematyczne techniki zarządzania. Przykłady i zadania. Red. nauk. Z. Łucki. Wyd. AGH, Kraków 1998. If you can’t measure it, you can’t manage it... Jeśli czegoś nie zmierzysz, nie możesz tym zarządzać! Robert S. Kaplan   Wykładowcę ubiera: żona Teresa, Wydział GGiIŚ

Matematyczne techniki zarządzania - 4 Przykłady praktycznego wykorzystania MTZ Przykład 1. Zmierzono wydajność pracy dwu brygad w pewnej fabryce. Brygada A ma średnią wydajność 45,8, a brygada B wydajność 48,7. Czy można powiedzieć, że brygada B jest lepsza od brygady A i dać jej wyższe wynagrodzenie?  A ? B  45,8 48,7 TAK, bo B ma lepszy wynik. NIE, bo pomiar był wyrywkowy i uzyskana różnica może mieć przypadkowy charakter. Powtórny pomiar może dać całkiem odwrotny wynik. Przykład 2. Grając na giełdzie rozpatrujemy prognozy zachowania się akcji firmy C w ciągu roku. Specjaliści określili, że istnieje szansa 60%, że cena jednej akcji wzrośnie o 30 zł, przy prawdopodobieństwie 40%, że cena spadnie o 50 zł. Czy warto kupić akcje firmy C w celu przechowania przez rok? 

Matematyczne techniki zarządzania - 5 Powiązanie MTZ z innymi przedmiotami zysk, koszt Ekonomika Matematyka decyzja, kontrola MTZ Organizacja całka, pochodna Informatyka Socjologia program, menu kryterium, wartość

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Matematyczne techniki zarządzania - 6 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo P(A) zajścia zdarzenia A jest to stosunek liczby „n” sytuacji sprzyjających temu zdarzeniu do liczby „N” wszystkich sytuacji możliwych. P(A) = n/N Inne symbole: P, Pi, p, pi, p(B), P(X) itd. 1  P(A)  0 P(A) =O: zdarzenie A jest niemożliwe. P(A) = 1: zdarzenie A jest pewne. Zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie, zdefiniuj zdarzenie A. Przykłady: ciągnięcie karty z talii , zapytanie studenta itd. Najczęściej używanym modelem losowania jest urna z kulami - kule mogą reprezentować każdy element: karty, studenta, pracownika, maszynę, złoże geologiczne itd. N n

Matematyczne techniki zarządzania - 7 Rozpatrywanie dwu lub więcej zdarzeń W rzeczywistości rozpatrujemy kilka zdarzeń równocześnie. Najprostszym układem są dwa zdarzenia wykluczające i uzupełniające się: A i Ā (nie-A, zdarzenie przeciwne). P(A) + P(Ā) = 1 P (Ā) = 1 — P(A) W ogólnym przypadku, obliczenia przeprowadza się w zależności od wzajemnego stosunku zdarzeń. Rozróżniamy następujące rodzaje zdarzeń: ze względu na równoczesność występowania 1. zdarzenia wykluczające się 2. zdarzenia niewykluczające się ze względu na wzajemne powiązanie (sposób losowania) 1. zdarzenia niezależne (losowanie ze zwracaniem) 2. zdarzenia zależne (losowanie bez zwracania) A B A B

DZIAŁANIA NA PRAWDOPODOBIEŃSTWACH Matematyczne techniki zarządzania - 8 Zdarzenia zależne wpierw zachodzi zdarzenie A, a po nim zdarzenie B występuje prawdopodobieństwo warunkowe P(BA) Przykład 3. W urnie znajduje jest 15 kul: 10 czerwonych i 5 czarnych. Wylosowanie kuli czerwonej w 1. losowaniu = zdarzenie A. Wylosowanie kuli czerwonej w 2. losowaniu = zdarzenie B. NUMER LOS. ZE ZWRACANIEM LOS. BEZ ZWRACANIA LOSOWANIA ZDARZENIA NIEZALEŻNE ZDARZENIA ZALEŻNE 1 P(A) =10/15 P(A) = 10/15 2 P(B) =10/15 P(BA) = 9/14 P(BĀ) = 10/14 DZIAŁANIA NA PRAWDOPODOBIEŃSTWACH Mnożenie prawdopodobieństw Prawdopodobieństwa dwu lub więcej zdarzeń mnożymy w celu obliczenia jaka jest szansa wystąpienia wszystkich tych zdarzeń równocześnie. P(AB) = P(AB) zdarzenia wykluczające się: P(AB) = 0

Matematyczne techniki zarządzania - 9 zdarzenia niewykluczające się niezależne: P(AB) = P(A) P(B) zdarzenia niewykluczające się zależne: P(AB) = P(A) P(BA) Przykład 3 cd. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej w obu losowaniach? losowanie ze zwracaniem P(AB) = (10/15) (10/15) losowanie bez zwracania P(AB) = (10/15) (9/14) Dodawanie prawdopodobieństw Prawdopodobieństwa dwu lub więcej zdarzeń dodajemy w celu obliczenia jaka jest szansa zajścia co najmniej jednego z tych zdarzeń. zdarzenia wykluczające się: P(AB) = P(A) + P(B) A i B A B A B +

Matematyczne techniki zarządzania - 10 dwa zdarzenia niewykluczające się: P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) P(AB) trzy zdarzenia niewykluczające się: P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)  P(AB)  P(AC)  P(BC) + P(ABC) Kombinowanie wielu zdarzeń Przez łączenie ze sobą obu działań na prawdopodobieństwach  mnożenia i dodawania  można rozwiązać dowolnie skomplikowane zadanie z rachunku prawdopodobieństwa. Przykład 4. Rzucamy trzy razy monetą. Jaka jest szansa (P) wyrzucenia jednego orła (O) i dwu reszek (R) w tych trzech rzutach? Szukanemu rozwiązaniu odpowiadają trzy sytuacje: ORR: P(ORR) = (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125 ROR: P(ROR) = (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125 RRO: P(RR0) = (0,5) (0,5) (0,5) = 0,125 P = P(OOR) + P(ROR) + P(RRO) = 0,375 TAKIE LICZENIE JEST PRACOCHŁONNE I DLATEGO STOSUJE SIĘ GOTOWE WZORY

Matematyczne techniki zarządzania - 11 Prawdopodobieństwo całkowite i bayesowskie Te dwa pojęcia mają taki sam układ zdarzeń — istnieje szereg zdarzeń wykluczających się Ai oraz zależne od nich zdarzenie B. Pojęcia te różnią się natomiast pytaniem: p. całkowite: jaka jest szansa zajścia zdarzenia B? p. bayesowskie: jaka jest szansa, że zaszło zdarzenie Ai, jeśli zaszło B? Wzór na prawdopodobieństwo całkowite  Wzór na prawdopodobieństwo bayesowskie Przykład 5. Do egzaminu z MTZ przystępują studenci studiów dziennych, zaocznych i wieczorowych. Szansa zdania egzaminu przez tych studentów wynosi odpowiednio 0,7, 0,5 i 0,3. Liczebności studentów wynoszą odpowiednio 150, 90 i 60 osób. Jaka jest szansa zdania egzaminu przez dowolnego studenta? Jeśli student zdał egzamin, to jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to student zaoczny?

Matematyczne techniki zarządzania - 12 Definiujemy zdarzenia: A1— zdawanie egzaminu przez studenta studiów dziennych A2— zdawanie egzaminu przez studenta studiów zaocznych A3— zdawanie egzaminu przez studenta studiów wieczorowych B — zdanie egzaminu Wyznaczamy prawdopodobieństwa: P(BA1) = 0,7 P(BA2) = 0,5 P(BA3) = 0,3 P(A1)=150/300=0,5 P(A2)=90/300=0,3 P(A3)=60/300=0,2 Obliczamy prawdopodobieństwo całkowite zdania egzaminu przez dowolnego studenta: P(B) = (0,5)(0,7)+(0,3)(0,5)+(0,2)(0,3) = 0,56 Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe, że osoba, która zdała egzamin, jest studentem studiów zaocznych: P(A2B) =(0,3)(0,5)/0,56 =0,27 

Matematyczne techniki zarządzania - 13 Wzór dwumianowy (Bernoulliego) Umożliwia on określenie szansy uzyskania określonej liczby sukcesów (k) przy losowaniu ze zwracaniem:  gdzie: n — liczba losowanych elementów p — prawdopodobieństwo sukcesu w jednym losowaniu Liczba sposobów wylosowania k elementów z n-elementowej próbki jest dana wzorem na liczbę kombinacji Przykład 4 cd. Prawdopodobieństwo jednego sukcesu w trzech losowaniach możemy wyliczyć tym wzorem znacznie szybciej:

Matematyczne techniki zarządzania - 14 Wzór Poissona (zdarzeń rzadkich) Jest to szczególny przypadek wzoru dwumianowego, polegający na tym, że n jest bardzo duże (>100), a p bardzo małe (poniżej 0,05): Przykład 6. Producent pewnych wyrobów twierdzi, że jego produkcja zawiera — zgodnie z obowiązującą normą — maksymalnie 1% braków. Klient zakupił 100 losowo wybranych wyrobów i znalazł w nich dwa braki. Oskarża więc producenta o niedotrzymywanie normy. Producent broni się losowością próbki. Kto ma rację? Mamy: n=100, p=0,01,  =1, k=2 i obliczamy szansę trafienia na próbkę z dwoma brakami przy produkcji zgodnej z normą: Rację ma więc producent, gdyż klient natrafił na pechowy dla niego układ zdarzeń, który jest możliwy z szansą 18,4%.

Matematyczne techniki zarządzania - 15 Wzór Pascala Dotyczy on również losowania ze zwracaniem, ale określa prawdopodobieństwo, że do uzyskania z góry określonej liczby sukcesów k potrzeba będzie n losowań.  Wzór geometryczny (probabilistyka egzaminacyjna) Jest to wzór Pascala dla przypadku, gdy interesuje nas jeden tylko sukces (k=1). Przy niezmienionych oznaczeniach mamy: Przykład 7. Studenta, który nie przygotowuje się dokładnie do egzaminu i przy każdej próbie jego zdawania ma szansę p sukcesu, interesuje jakie jest prawdopodobieństwo, że zda egzamin za pierwszym, drugim, trzecim itd. razem. Szanse te (w %) wynoszą: Który raz zdaje p=0,5 p=0,7 p=0,9 1 50,00 70,00 90,00 2 25,00 21,00 9,00 3 12,50 6,30 0,90 4 6,25 1,89 0,09 5 3,12 0,57 ~0,01

Matematyczne techniki zarządzania - 16 Wzór hipergeometryczny Wzór ten dotyczy losowania bez zwracania. Szansa uzyskania k elementów o sprzyjającej cesze jest zależna od liczby wszystkich elementów w urnie N, od liczby elementów w urnie z tą cechą R i od liczby elementów losowanych z urny n.  Pierwszy człon licznika określa liczbę sposobów wylosowania elementów sprzyjających, drugi — elementów niesprzyjających, a mianownik — liczbę sposobów wylosowania próbki z urny. Typowym przykładem jest losowanie Totolotka. Przyjmując N = 49, R = 6, n =6, można obliczyć szanse trafienia trzech i sześciu liczb w losowaniu. Wynoszą one P(k=3) = 0,017.650.40 P(k=6) = 0,000.000.08 P(k=0) = 0,435.964.98

Matematyczne techniki zarządzania - 17 ZMIENNE LOSOWE Definicja zmiennej losowej Symbol: X Realizacje (wartości): x1, x2,...xi.,xn Zmienna losowa jest to wielkość zależna od przypadku, dla której jesteśmy w stanie określić prawdopodobieństwo pi, że przyjmuje ona wartości z przedziału (a, b). Istnieją dwa światy: zdeterminowany: wartość stała C = constans stochastyczny (probabilistyczny): zmienna losowa X Syntetyczny zapis zmiennej losowej: walka z bombą I (dla celów zarządzania) rodzaj rozkładu modelowego oraz jego funkcje i parametry Klasyfikacja zmiennych losowych: skokowe (dyskretne): liczba studentów, awarii, złóż, klientów ciągłe: ilość czasu, pieniędzy, węglowodorów, produkcji  

Zmienna losowa skokowa — rozkład  Matematyczne techniki zarządzania - 18 Funkcje do opisu zmiennych losowych zmienne skokowe zmienne ciągłe f. rozkładu prawdopodobieństwa f. gęstości dystrybuanta dystrybuanta Zmienna losowa skokowa — rozkład Jak przetworzyć zebrane dane (obserwacje, pomiary itp.) w rozkład zmiennej losowej? Przykład 8. Asystent zapisuje liczbę studentów obecnych na poszczególnych ćwiczeniach laboratoryjnych: Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Data 4P 11P 18P 25P 8L 15L 22L 29L 6G 13G 20G 3S 10S 17S 24S Obecni 8 5 6 6 8 4 5 6 7 8 5 6 7 8 8 TO NIE JEST ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ!!! To jest wykres zmiany liczby obecnych w funkcji czasu!

Matematyczne techniki zarządzania - 19 Aby zbudować rozkład prawdopodobieństwa należy zidentyfikować poszczególne wartości xi zmiennej i policzyć ile razy każda z nich występuje. Uzyskamy w ten sposób liczebności ni dla poszczególnych wartości, które następnie przekształcimy w prawdopodobieństwa pi występowania poszczególnych wartości — według wzoru:  Xi 4 5 6 7 8 ni 1 3 4 2 5 pi 0,067 0,200 0,267 0,133 0,333 JAK NALEŻY ROZUMIEĆ TEN WYKRES? Jak się go interpretuje: prawdopodobieństwo, że... ...procent zajęć ma...

Zmienna skokowa — dystrybuanta Matematyczne techniki zarządzania - 20 Zmienna skokowa — dystrybuanta Dystrybuanta jest to funkcja określająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą niż określone xi: Przykład 8 cd. Funkcję dystrybuanty wyznaczamy kumulując wartości kolejne pi: xi 2 3 4 5 6 7 8 9 pi 0,000 0,000 0,067 0,200 0,267 0,133 0,333 0,000 F(xi) 0,000 0,000 0,000 0,067 0,267 0,534 0,667 1,000 JAK NALEŻY ROZUMIEĆ TEN WYKRES? Jak się go interpretuje: prawdopodobieństwo, że... ...procent zajęć ma...

Miary do opisu zmiennej losowej X Matematyczne techniki zarządzania - 21 znając dystrybuantę można wyznaczyć rozkład i na odwrót znajomość funkcji dystrybuanty umożliwia rozwiązanie zadań: 1. jaka jest szansa, że X<xi 2. jaka jest szansa, że x1<X<x2 3. jaka jest szansa, że X>xi  wg definicji = F(x2)—F(x1) ??? = 1—F(xi) ??? Miary do opisu zmiennej losowej X miary tendencji centralnej miary rozproszenia (zmienności) Miary tendencji centralnej 1. wartość średnia m, μ a także 2. wartość oczekiwana, nadzieja matematyczna E(X) 3. mediana, wartość środkowa Me 4. moda, wartość modalna, dominanta Mo Wartość średnia Jest to średnia arytmetyczna: gdy dane nie są przetworzone 

Matematyczne techniki zarządzania - 22 gdy dane są przetworzone w rozkład Przykład 8 cd. Obliczamy średnią liczbę osób obecnych na ćwiczeniach: Interpretacja średniej Wady średniej: 1. nie występuje w rzeczywistości 2. nie odzwierciedla zbioru danych 3. prowadzi do złych decyzji (miraż średniej) .. ... .. .... .. . ...x . ... ... . .. ..... . . . . . . x . . . . . . Wartość oczekiwana Jest to wartość średnia odnosząca się do bardzo dużej liczby doświadczeń (do populacji generalnej), liczona z wartości xi i pi. Przykład 9. Obliczamy oczekiwaną liczbę oczek przy rzucaniu kostką do gry: Średnia liczba wyrzuconych oczek m odnosi się do określonej liczby rzutów (n=10, 30 lub 100) i nie da się określić a priori, aczkolwiek czasami przyjmuje się, że E(X) = m.

Matematyczne techniki zarządzania - 23 Mediana Jest to wartość środkowa zbioru danych, gdy te zostaną ułożone w kolejności rosnącej lub malejącej. Jeśli liczba danych jest parzysta, to mediana jest średnią geometryczną dwu wartości środkowych. Przykład 8 cd. Ustawiamy rosnąco liczbę studentów obecnych na ćwiczeniach: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6 , 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 Me = 6 Dlaczego mediana różni się od średniej? Przykład płac w Radzie Miasta! Moda (dominanta) Jest to wartość, która występuje najczęściej. W przykładzie 8 wartość Mo = 8. W zależności od mody rozróżniamy rozkłady: amodalne jednomodalne dwumodalne Me m Mo

Matematyczne techniki zarządzania - 24 Miary rozproszenia (zmienności) 1. odchylenie standardowe s, sx, s(X), σ, σx, σ(X) 2. wariancja V(X), s2, s2(X), σ2, σ2(X) 3. współczynnik zmienności W = s/m 4. rozpiętość (rozstęp) R = xmax— xmin 5. kwantyle Q Odchylenie standardowe Jest to liczba określająca przeciętną odległość wartości zmiennej losowej od jej wartości średniej: .. ... .. .... .. . ...x . σ ... ... . .. ..... s duże! . . . . . . x . . . . . . s małe! w jakich jednostkach jest wyrażone odchylenie standardowe? dlaczego w kalkulatorach mamy dwa różne przyciski na odchylenie standardowe? Wzór dla całego zbioru, Wzór dla próbki, daje mniejszą wartość daje większą wartość (poprawka)

Istnieje oddzielny dział statystyki — ANALIZA WARIANCJI Matematyczne techniki zarządzania - 25 Przykład 8 cd. Odchylenie standardowe liczby studentów obecnych na ćwiczeniach wynosi: σn = 1,3098 σn-1 = 1,3558 jak zinterpretować te wartości? jaką informację one niosą? Wariancja NIE MYLIĆ WARIANCJI Z WARIACJĄ wariacja to liczba możliwych układów przy losowaniu wariancja to miara zmienności zmiennej Jest to liczba będąca kwadratem odchylenia standardowego. Dla przykładu 8 wariancja wynosi Vn = 1,8382. W jakich jednostkach wyraża się wariancja? Ważnym pojęciem jest też liczba odpowiadająca licznikowi wzoru na wariancję — nosi ona nazwę całkowitej sumy kwadratów (SSTO) lub zmienności całkowitej. Dla przykładu 8 wartość SSTO = 25,7348. Istnieje oddzielny dział statystyki — ANALIZA WARIANCJI

(drugi kwartyl Q2 jest równocześnie medianą Me) Matematyczne techniki zarządzania - 26 Współczynnik zmienności Jest to liczba określająca względną zmienność zmiennej. Dla przykładu 8 współczynnik W = 0,210 = 21%. Rozpiętość Jest to miara mało używana, gdyż nie odzwierciedla ona rozkładu. Dla przykładu 8 rozpiętość wynosi 4 studentów. Kwantyle Są to liczby dzielące zbiór danych na części jednakowe pod względem liczebności: kwartyle — 3 liczby dzielące zbiór na 4 równe części: Q1, Q2, Q3 (drugi kwartyl Q2 jest równocześnie medianą Me) decyle — 9 liczb dzielących zbiór na 10 równych części percentyle — 99 liczb dzielących zbiór na 100 równych części Liczba stopni swobody  Jest to liczba określająca ile danych ze zbioru można zmienić bez zagrożenia zmianą wyznaczanego parametru. przy obliczaniu średniej ogólnie  

Matematyczne techniki zarządzania - 27 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 m= xi/6 można można można można można nie można nie można zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać zmieniać Niektóre typowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Przy każdym badaniu statystycznym otrzymujemy inny rozkład. Otrzymany rozkład staramy się dopasować do rozkładu modelowego: 1. rozkład zero-jedynkowy 2. rozkład dwumianowy 3. rozkład Poissona 4. rozkład hipergeometryczny Rozkład zero-jedynkowy (binarny, dychotomiczny) Zmienna losowa przyjmuje wartości: x1 = 0, x2 = 1 (kobieta-mężczyzna, sprzedany-niesprzedany, zapłacony-niezapłacony itd.).  Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) dotyczy losowania ze zwracaniem n razy z urny prawdopodobieństwo p sukcesu jest stałe zmienną losową jest liczba sukcesów (X = k) rozkład jest symetryczny dla p = q = 0,5

Matematyczne techniki zarządzania - 28 wartość oczekiwana wynosi E(X)=np wariancja wynosi V(X)=npq stosuje się go również przy losowaniu bez zwracania z dużych zbiorów Przykład 4 cd. Możemy obliczyć prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych liczb wyrzuconych orłów (xi = 0, 1, 2 lub 3). E(X)=(3)(0,5)=1,5 V(X)=(3)(0,5)2=0,75 Rozkład dwumianowy jest często stosowany do analizy ryzyka przy podejmowaniu decyzji, gdyż pozwala ocenić rozmiary pecha lub szczęścia, na jakie może natrafić decydent, a które są niezależne od jego woli czy umiejętności. Przykład 10. Szansa udanej inwestycji w pewnym sektorze wynosi p=1/3. Inwestor ma środki tylko na 5 inwestycji. W zależności od pecha lub szczęścia — liczba jego sukcesów może wynieść xi = 0, 1, 2, 3, 4 lub 5. Inwestor obliczył, że warunkiem utrzymania się firmy na rynku jest udanie się co najmniej 3 inwestycji. Oblicz oczekiwaną liczbę udanych inwestycji, ich wariancję oraz szanse firmy inwestora.

Matematyczne techniki zarządzania - 29 E(X)=(5)(1/3)=1,67 V(X)=(5)(1/3)(2/3)=1,11 P(X>2)=0,165+0,041+0,004= =0,21 = 21% Tablice Nomogramy Programy komputerowe Analiza wrażliwości (czułości) — badanie wpływu zmiany założeń na wynik obliczeń i na decyzję. Rozkład Poissona dotyczy zdarzeń rzadkich, n (n>100) prawdopodobieństwo sukcesu jest bardzo małe, p0 (p<0,05) zmienną losową jest liczba sukcesów (X = k) rozkład jest asymetryczny wartość oczekiwana wynosi E(X) = np =  wariancja wynosi V(X) = np =  

Matematyczne techniki zarządzania - 30 Przykład 6 cd. Wyznaczamy prawdopodobieństwa wszystkich możliwych liczb braków (xi = k = 0, 1, 2,...,100). Pamiętamy, że  = E(X) = V(X) = np = 1,0. Jak zinterpretować wykres? ROZKŁAD POISSONA JEST STABLICOWANY SKRYPT s.154 (tab. I) Rozkład hipergeometryczny dotyczy losowania bez zwracania prawdopodobieństwo sukcesu zmienia się po każdym losowaniu zmienną losową jest liczba sukcesów (X = k) rozkład jest symetryczny, gdy n=N/2 wartość oczekiwana wynosi E(X)=(nR)/N wariancja wynosi V(X) = npq (N—n)/(N—1) ROZKŁAD MA ZASTOSOWANIE W ZARZĄDZANIU DO OCENY RYZYKA PRZY OGRANICZONEJ LICZBIE MOŻLIWYCH INWESTYCJI