kurs mechaniki kwantowej przy okazji: język angielski http://web.utk.edu/~tbarnes/website/qm1/qm1.html kurs mechaniki kwantowej przy okazji: język angielski

WYKŁAD 4 FALOWY CHARAKTER CZĄSTEK MATERIALNYCH POJĘCIE FALOWEJ AMPLITUDY PRAWDOPODOBIEŃSTWA W MECHANICE KWANTOWEJ (interferencja dla cząstek materialnych; doświadczenie Davissona – Germera i inne, zasada nieoznaczoności, tunelowanie, STM)

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA – GERMERA Zmianie napięcia przyspieszającego towarzyszy powstawanie obrazu charakterystycznego dla dyfrakcji promieni X na krysztale Ni Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

DOŚWIADCZENIE DAVISSONA – GERMERA Silna interferencja występuje dla określonego napięcia przyspieszającego elektrony Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

DOŚWIADCZENIE MÖLLENSTEDTA - DÜKERA Elektronowy analog bipryzmatu Fresnela; na włóknie ujemne napięcie odpychające elektrony; powstają dwa pozorne źródła; na płycie fotograficznej obserwujemy prążki interferencyjne. Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

DYFRAKCJA NEUTRONÓW Feynman, III tom, rozdz. 3. Podrozdział 3.3 – dyfrakcja neutronów; kiedy jest, a kiedy nie ma interferencji Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

DOŚWIADCZENIE YOUNGA NA ATOMACH Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

PORÓWNANIE DYFRAKCJI ŚWIATŁA I ELEKTRONÓW Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

Dla fal elektromagnetycznych i fotonów mieliśmy: Efekt fotoelektryczny, zjawisko Comptona Związek p z λ zgodny z teorią klasyczną (pęd niesiony przez falę e-m, równania Maxwella) i teorią względności (trójkąt mnemotechniczny dla cząstek bez masy)

Obie relacje przenosimy na cząstki materialne: wzór de’ Broglie’a E jest energią, p jest pędem cząstki materialnej Fala prawdopodobieństwa (amplituda prawdopodobieństwa) zwana funkcją falową i oznaczana ψ, jest falą płaską dla cząstek o określonej energii i nieokreślonym położeniu (Feynman t. I, rozdz. 37, 38) ω i k to częstość i wektor falowy funkcji falowej

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 1. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia (przejścia od stanu początkowego do końcowego) jest dane przez kwadrat modułu zespolonej liczby Φ nazywanej amplitudą prawdopodobieństwa, oznaczanej w notacji Diraca <koniec|początek> (bra i ket). P = prawdopodobieństwo Φ = amplituda prawdopodobieństwa P = |Φ|2 = ΦΦ* = (<koniec|początek>)(<początek|koniec>) Amplitudę prawdopodobieństwa <x|ψ> nazywamy funkcją falową. Dla cząstki o określonym pędzie (energii) i nieokreślonym położeniu funkcja falowa jest falą płaską, exp[i(kx – ωt)]

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka alternatywnych sposobów, np. dwa, poprzez dwa różne stany pośrednie: <koniec|1><1|początek>, <koniec|2><2|początek> to amplituda prawdopodobieństwa dla tego zdarzenia jest sumą amplitud prawdopodobieństwa dla każdego ze sposobów na jaki może ono zajść. Φ = Φ1 + Φ2; <k|p> = <k|1><1|p> + <k|2><2|p> Wystąpi interferencja gdyż: P = | Φ1 + Φ2|2 = |Φ1|2 + |Φ2|2 + Φ1Φ*2 + Φ*1Φ2 = P1 + P2 + wyraz interferencyjny wyraz Przypadek ten występuje w omawianych wcześniej doświadczeniach (Davissona – Germera itd.)

PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ 3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z alternatywnych sposobów zachodzi (sprawdzamy przez który z otworów przechodzi elektron) to prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw dla każdego z tych alternatywnych sposobów. Nie występuje interferencja. P = | Φ1|2 + |Φ2|2 = P1 + P2 (<k|p><p|k>) = (<k|1><1|p>) (<1|k><p|1>) + (<k|2><2|p>) (<2|k><p|2>) „Sprawdzanie” nie oznacza, że sprawdzamy „my”, wystarczy, że taka możliwość istnieje, tzn. istnieje taka informacja w układzie fizycznym, nawet jeśli nie chcemy lub nie umiemy z niej skorzystać. Kot Schrödingera nie jest jednocześnie żywy i martwy zbyt długo tzn. Φ = Φ1 + Φ2 bardzo szybko przechodzi w P = P1 + P2 . Przypadek ten występuje także w omawianym przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III) rozpraszaniu neutronów.

Cząstka nierelatywistyczna gdzie V wyrażamy w woltach, a λ w Å Wzór de’Broglie’a; związek pomiędzy długością fali, a napięciem przyspieszającym dla cząstki naładowanej Cząstka nierelatywistyczna zatem: Ponieważ: mamy ostatecznie: gdzie V wyrażamy w woltach, a λ w Å

Dla cząstek relatywistycznych, z trójkąta mnemo: Ponieważ: mamy ostatecznie:

Dyfrakcja funkcji falowej, a zasada nieoznaczoności Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

a z relacji de’Broglie’a: zasada nieoznaczoności Heisenberga Przed szczeliną płaska fala (nieoznaczoność położenia w kierunku x nieskończona, nieoznaczoność pędu zero) Za szczeliną: Z dyfrakcji: a z relacji de’Broglie’a: zasada nieoznaczoności Heisenberga

Doświadczenie Younga na cząstkach materialnych

a niepewność kierunku cząstki wynosi: Warunkiem obserwacji prążków jest nieoznaczoność położenia cząstki w momencie przechodzenia przez szczeliny (nie możemy wiedzieć przez którą szczelinę przeszła cząstka): przybliżona a niepewność kierunku cząstki wynosi: Ponieważ: a (de’Broglie): więc:

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU Dlaczego elektron nie wyląduje na jądrze? Klasycznie, krążąc wypromieniowuje energię i promień powinien maleć do zera. Byłby to stan o najniższej energii, po wypromieniowaniu NIESKOŃCZONEJ energii. Taki „zapadnięty” atom miałby mały rozmiar i nieskończoną energię wiązania. Wszystkie atomy byłyby jednakowe, nie ma chemii i biologii. Elektron w takim atomie miałby określone położenie i pęd (x = 0 i p = 0), czyli mielibyśmy: na co nie pozwala mechanika kwantowa.

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc: czyli pęd nie może być równy 0.

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc: czyli pęd nie może być równy 0. Powiedzmy, że średni pęd będzie: Energia kinetyczna elektronu:

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU r – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc: czyli pęd nie może być równy 0. Powiedzmy, że średni pęd będzie: Energia kinetyczna elektronu: Energia potencjalna: Całkowita energia atomu

Ek a0 E Ep promień Bohra 0.528Å R - stała Rydberga Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

Cząstka przenika przez barierę (T < 1); efekt kwantowy Zjawisko tunelowe, tunelowanie (przenikanie) cząstki materialnej przez barierę potencjału Ponieważ: w obszarach x < 0 i x > L i: dla x > 0 i x < L (Re(Ψ))2 tu oscylacje o mniejszej amplitudzie Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Cząstka przenika przez barierę (T < 1); efekt kwantowy

Skaningowy mikroskop tunelowy STM (STM – Scanning Tunneling Microscope) Zasada działania: Piezoelektryczne pręty kwarcowe umożliwiają skanowanie powierzchni (x,y) i śledzenie wysokości ostrza nad powierzchnią próbki (z). Mapa z(x,y) tworzy obraz powierzchni Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Obraz STM powierzchni próbki Au Wikimedia Commons Made by: Erwin Rossen, Eindhoven University of Technology, 2006.