Metody ekonometryczne ćwiczenia 2 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego (1): AUTOKORELACJA Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Sferyczność macierzy E(eeT) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Dodatnia autokorelacja

Dlaczego autokorelacja jest zła?(1) ... nie skorzystaliśmy z założenia o sferycznej macierzy kowariancji składnika losowego, więc jego złamanie nie spowoduje, że parametry będą obciążone. (Pamiętajmy, że autokorelacja może być symptomem błędu specyfikacji, a ten może powodować obciążenie.) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Dlaczego autokorelacja jest zła?(2) z diagonali tej macierzy otrzymujemy błędy standardowe oszacowań przy sferycznych zakłóceniach: przy niesferycznych zakłóceniach: WNIOSKI: utrata efektywności błędne wnioskowanie oparte na macierzy kowariancji skł. losowego nieadekwatność wnioskowania ze statystyk t i F Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Przyczyny autokorelacji Inercja zjawisk gospodarczych Podejście autokorelacyjne Błąd specyfikacji modelu Funkcyjnej Dynamicznej Pominięcie zmiennej objaśniającej Podejście respecyfikacyjne Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Ćwiczenie funkcja produkcji rynek paliw w USA model popytu na benzynę brytyjskie dane makroekonomiczne krzywa Philipsa wsparta (adaptacyjnymi) oczekiwaniami

Test mnożnika Lagrange’a (LM) Szacujemy podstawowe równanie regresji: ...i drugie pomocnicze równanie, w którym składnik losowy uzależniamy dodatkowo od jego P poprzednich wartości: jeżeli nie ma autokorelacji, poprzednie wartości epsilona nie objaśnią bieżącej wniosek: R2 pomocniczego modelu powinno być niskie ~ UWAGA! test asymptotyczny Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009 Test Durbina-Watsona autokorelacja ? brak ? autokorelacja dodatnia autokorelacji ujemna 0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4 ograniczenia: model z wyrazem wolnym bez opóźnionej zmiennej objaśnianiej normalny rozkład składnika losowego wykrywa maksymalnie autokorelację rzędu 1 posiada obszar niekonkluzywności współczynnik autoregresji pierwszego rzędu Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008 Test h-Durbina Odpowiedź Durbina na zarzut, że test DW jest zbyt skłonny nie wykrywać autokorelacji, gdy regresorem jest opóźniona zmienna objaśniana. (Nerlove, Wallis 1966 – zob. na stronie) Wysokie wartości d świadczą o autokorelacji. d~N(0,1). Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Statystyka Ljunga-Boxa Statystyka testowa, za pomocą której orzekamy, czy występuje autokorelacja do rzędu P włącznie: Wysokie wartości (statystyczna istotność) Q świadczą o autokorelacji. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009 Ćwiczenie Czy w naszych modelach jest autokorelacja? Czy możemy stosować test DW w każdym z tych trzech przypadków? Rozważ autokorelację wyższych rzędów. Uzupełnij specyfikację krzywej Philipsa o regresor d_infl opóźniony o 1 okres. Jaki jest wynik testu h-Durbina? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Odporne błędy oszacowań Newey i West (1987) skonstruowali estymator macierzy wariancji-kowariancji parametrów w warunkach autokorelacji: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009 Ćwiczenie Oszacuj jeszcze raz modele z odpornymi błędami oszacowań. Porównaj poprzednie i nowe wartości statystyk t i ich nowe p-value. Jakie decyzje weryfikacyjne uległy (mogły ulec) zmianie? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Uogólniona MNK (UMNK, GLS) ~ Pomnóżmy obie strony równania lewostronnie: Składnik losowy po przekształceniu danych X i y jest sferyczny: Estymator UMNK to estymator MNK dla równania z przekształconymi danymi: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009 UMNK – zastosowanie Niekiedy znamy (zakładamy) macierz kowariancji parametrów. Skąd wziąć macierz W, gdy po prostu mamy model z autokorelacją? Zakładamy określony schemat autokorelacyjny dla składnika losowego. Macierz W jest wtedy funkcją parametrów ri. Same parametry ri możemy oszacować na podstawie modelu KMNK. itd. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Metoda Cochrane’a-Orcutta UMNK dla autokorelacji I rzędu Model KMNK z autokorelacją, na jego podstawie przyjmujemy r (wsp. autokorelacji I rzędu reszt). Transformujemy dane (y, x) jak wyżej. Szacujemy model na transformowanych danych. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Metoda Praisa-Winstena Cochrane i Orcutt przy transformacji danych pomijają pierwszą obserwację. Prais i Winsten nie usuwają jej, a transformują w inny sposób: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Uogólniona metoda Cochrane’a- Orcutta Ogólniejsza niż klasyczna metoda C-O, ale wciąż szczególny przypadek UMNK Zakładamy dla składnika losowego proces AR rzędu P: Z modelu KMNK z autokorelacją szacujemy parametry. Macierz W jest funkcją tych parametrów. Szacujemy model UMNK za pomocą macierzy W.

Ćwiczenie Oszacuj nasze 3 modele (o ile to uzasadnione) za pomocą UMNK, zakładając autokorelację odpowiedniego rzędu. Przyjmij autokorelację I rzędu i porównaj wyniki oszacowań metodą C-O, P-W i H-L. Porównaj parametry modelu UMNK i MNK. Co się zmieniło? Porównaj wyniki różnych testów. Sprawdź, czy w modelach oszacowanych za pomocą UMNK nie ma dodatkowej autokorelacji. W tym celu zapisz reszty modelu, oszacuj dla nich odpowiedni proces autoregresyjny i dokonaj analizy jego reszt.

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009 Literatura do ćwiczeń 3 Welfe 3.1, 3.2 … więcej o opisie problemów spowodowanych autokorelacją składnika losowego i zróżnicowaniu ich przyczyn Welfe 3.3 Jak uprościć ogólny schemat autoregresyjny do schematu I rzędu Welfe 3.5-3.7 UMNK – niektóre warianty Dla chętnych: Klasyczny tekst uzasadniający nieadekwatność statystyki DW do modeli autoregresyjnych (na stronie) Welfe – cały rozdział 3 Dla maniaków : Greene (2000) s. 198-200 (wyprowadzenie estymatora Newey’a-Westa – polecam tę lekturę po zajęciach z heteroskedastyczności), s. 268-277 (więcej o UMNK) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009 Praca domowa Przypomnijcie sobie z własnych zajęć z Ekonometrii I temat „Heteroskedastyczność składnika losowego” (diagnostyka, zadania...?). Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009