WYKŁAD 4. Skojarzenia Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych konców). Skojarzenie M w G traktujemy jak podgraf G. Wierzchołki w V(M) nazywamy M-nasyconymi. α’(G) – moc największego skojarzenia w G (tutaj moc = liczba krawędzi).

Graf krawędziowy Graf krawędziowy danego grafu G to L(G)=(V’,E’), gdzie V’=E(G), a E’ składa się ze wszystkich par przecinających się krawędzi grafu G. Zatem α’(G) =α(L(G)).

Ilustracja G L(G) ac ab ad be de df dg ef a b c d e g f

Ścieżki powiększające Dane jest skojarzenie M w grafie G. Ścieżka powiększająca M w G ma końce poza V(M), a co drugą krawędź w M. Twierdzenie (Berge, 1957) Skojarzenie M w grafie G ma moc |M|= α’(G) (tzn. jest największe) wgdy w G nie ma ścieżki powiększającej M.

Dowód Tw. Berge’a  M  M,M’ – skojarzenia w G, |M|<|M’|; spójrzmy na MΔM’ ścieżka powiększająca M (jej końce nie należą do M)

Skojarzenia doskonałe Skojarzenie M w grafie G nazywamy doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2. Warunek konieczny: n=|V(G)| -- parzyste. Składowa (spójności) – maksymalny podgraf spójny (każde dwie składowe grafu G są wierzchołkowo rozłączne).

A F E J B G H I C D Graf Petersena

A B

A B

Warunek Tutte’a S |S|=2, 4 składowe nieparzyste w G-S – nie istnieje skojarzenie doskonałe. q(G) – liczba nieparzystych składowych

Warunek Tutte’a Warunek (konieczny) Tutte’a:

Tw. Tutte’a Twierdzenie (Tutte, 1947) G ma skojarzenie doskonałe wgdy zachodzi warunek Tutte’a.

Dowód tw. Tutte’a (1) Przypuśćmy, że istnieje graf, który spełnia warunek Tutte’a, ale nie ma skojarzenia doskonałego. Niech G będzie takim grafem o największej liczbie krawędzi. Dodanie dowolnej krawędzi do G nie narusza warunku Tutte’a (dlaczego?), więc musi prowadzić do pojawienia się skojarzenia doskonałego.

Dowód tw. Tutte’a (2) K – zbiór wierzchołków o stopniu n-1 G’=G-K Pokażemy, że w G’ wszystkie składowe są grafami pełnymi. Wtedy, ponieważ q(G’) ≤ |K|, G będzie mieć skojarzenie doskonałe – sprzeczność.

Dowód tw. Tutte’a (3) Przypuśćmy, że pewna składowa grafu G’ nie jest pełna, a więc istnieją w niej a,b,c takie, że ab i bc są krawędziami a ac nie. Ponieważ b nie należy do K, to istnieje wierzchołek d taki, że bd nie jest krawędzią. Niech M_1 będzie skojarzeniem doskonałym w G+ac, a M_2 w G+bd. Oczywiście, ac jest w M_1, a bd w M_2.

Dowód tw. Tutte’a (4) Poprowadźmy w G maksymalną ścieżkę P wychodzącą z d i na przemian zawierającą krawędzie z M_1 i M_2. P kończy się w b krawędzią z M_1 (przypadek 1.) LUB w a lub c krawędzią z M_2 (przypadek 2.), bo w przeciwnym razie można by P kontynuować. W przypadku 1., C =P+bd jest parzystym cyklem z co drugą krawędzią w M_2, a jedyną krawędzią w C poza G jest bd (która jest w M_2). Zastępując w M_2 krawędzie z C, tymi z C-M_2, otrzymujemy skojarzenie doskonałe w G – sprzeczność.

Ilustracja do 1. przypadku b C c d jest skojarzeniem doskonałym w G - sprzeczność

Dowód tw. Tutte’a (5) W przypadku 2., P kończy się krawędzią z M_2. Przyjmijmy, że jej ostatnim wierzchołkiem jest a. C =P+ab+bd jest parzystym cyklem o tej samej własności co poprzednio. Ponownie, zastępując w M_2 krawędzie z C, tymi z C-M_2, otrzymujemy skojarzenie doskonałe w G – sprzeczność.

Ilustracja do 2. przypadku b C=d...abd c d jest skojarzeniem doskonałym w G - sprzeczność

Wniosek – Tw. Petersena Most (krawędź cięcia) to taka krawędź e, że G-e ma więcej składowych niż G. Np. Petersen (1891) Każdy 3-regularny graf bez mostów ma skojarzenie doskonałe. (dowód na ćwiczeniach)

Pokrycia wierzchołkowe Podzbiór U zbioru V(G) nazywamy pokryciem wierzchołkowym (krawędzi), jeśli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Moc najmniejszego pokrycia - β(G). Trywialnie,

Skojarzenia w grafach 2-dzielnych – tw. Königa Twierdzenie (König ,1931) Dla grafów dwudzielnych α’(G)= β(G)

Dowód tw. Königa (1) Niech M będzie największym skojarzeniem w grafie 2-dzielnym G o dwupodziale (A,B). Wystarczy pokazać, że istnieje pokrycie U mocy |M|. Ścieżka M-naprzemienna ma jeden koniec w A-V(M) i co drugą krawędź w M. Konstrukcja zbioru U: do U zaliczamy po 1 końcu każdej krawędzi M; wybieramy koniec w B, gdy kończy się w nim jakaś M-naprzemienna ścieżka, a koniec w A – w przeciwnym razie.

Ilustracja dowodu Tw. Königa B A U

Dowód tw. Königa (2) Niech ab będzie krawędzią (a z A, a b z B). Pokażemy, że a lub b jest w U. Tak jest, gdy ab jest krawędzią skojarzenia M. W przeciwnym razie M zawiera krawędź a’b lub ab’ (bo M jest maksymalne).

Dowód tw. Königa (3) W pierwszym przypadku (gdy nie zachodzi drugi), krawędź ab jest ścieżką M-naprzemienną, więc b jest w U. W drugim przypadku, jeśli a nie jest w U, to b’ jest, tzn. b’ jest końcem M-naprzemiennej ścieżki, która omija a i b. Przedłużając te ścieżkę o krawędzie b’a i ab, otrzymujemy też M-naprzemienną ścieżkę, a że nie jest to ścieżka M-powiększająca (M jest największe!), to b należy do M, a więc także do U. 