WYKŁAD 8. Siła spójności A,B – dowolne podzbiory V(G) Ścieżkę P w grafie G o końcach a i b nazywamy A-B ścieżką, gdy Jeśli A={u}, B={v}, to piszemy u-v ścieżka.

Zbiory rozdzielające Mówimy, że zbiór wierzchołków (krawędzi) X rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera element zbioru X. Mówimy, że X rozdziela G, gdy w G-X istnieją wierzchołki u i v takie, że X rozdziela {u} i {v}. Wtedy zbiór X nazywamy, odpowiednio, cięciem wierzchołkowym lub cięciem krawędziowym.

Ilustracja A B X

Wierzchołki i krawędzie cięcia Jeśli X={v} rozdziela dwa wierzchołki tej samej składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia. Krawędź, która rozdziela swoje końce, to krawędź cięcia. Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1-elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe)

Bloki Maksymalny, spójny podgraf H grafu G, bez wierzchołków cięcia (w H) nazywamy blokiem Dwa bloki mają co najwyżej 1 wspólny wierzchołek, który jest wtedy wierzchołkiem cięcia grafu G; każda krawędź należy do innego bloku; G jest sumą swoich bloków. B_1 B_2 B_3 B_4 B_5

Graf bloków Graf bloków grafu G to dwudzielny graf o dwupodziale (A, B), gdzie A to zbiór wierzchołków cięcia, B – zbiór bloków G, a krawędź łączy Fakt. Graf bloków jest lasem. (ćw.) 1 2 3 4 5 4 2 1 3 5

k-Spójność Przyjmujemy, że każdy graf jest 0-spójny. Dla k>0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k (inaczej: G-X jest spójny dla każdego zbioru wierzchołków X mocy |X|<k). Każdy spójny graf oprócz K_1 jest 1-spójny. Blok jest maksymalnym 2-spójnym podgrafem, chyba, że jest mostem lub wierzchołkiem izolowanym.

Stopień spójności Stopień spójności κ(G) to największe k, dla którego G jest k-spójny. Np. κ(G)=0 gdy G jest niespójny; κ(K_n)=n-1 dla n=1,2,… Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(G) jest mocą najmniejszego cięcia wierzchołkowego w G.

Grafy 2-spójne Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go otrzymać z cyklu przez sukcesywne dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma końcami w dotychczasowym grafie, tzn. istnieje ciąg grafów H_1,...,H_l, gdzie H_1 jest cyklem, H_l=G i dla każdego i=2,...,l graf H_i jest sumą H_{i-1} i ścieżki P_i o końcach u_i i v_i takiej, że Dowód na ćw.

Ilustracja H_{i-1} P_i

Krawędziowa k-spójność Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy |V(G)|>1 i nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k (inaczej: G-X jest spójny zawsze, gdy X jest zbiorem krawędzi mocy |X|<k). Stopień spójności krawędziowej κ’(G) to największe k, dla którego G jest k- krawędziowo-spójny. Równoważnie, κ’(G) to moc najmniejszego cięcia krawędziowego w G.

Krawędziowa k-spójność a RRD Jeśli G ma k RRD, to G jest k-krawędziowo-spójny (oczywiste) Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)

κ(G), κ’(G), δ(G) Twierdzenie (Whitney, 1932) Dowód: Prawa nierówność: Krawędzie incydentne z dowolnym wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe. Lewa nierówność: Jeśli G=K_n, to κ(G)=κ’(G)=n-1.

Lewa nierówność – c.d. Niech X będzie najmniejszym cięciem krawędziowym w grafie G nie będącym grafem pełnym. X można traktować jako dwudzielny podgraf grafu G z 2-podziałem V_1, V_2=V(G)-V_1. Każda krawędź między V_1 i V_2 należy do X. V_1 V_2 X

Lewa nierówność – dokończenie Jeśli V_1={v}, to istnieje u taki, że uv nie jest krawędzią w G (w przeciwnym razie G byłby pełny). Wtedy sąsiedzi v tworzą cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|. Jeśli |V_1|,|V_2|>1, to istnieją v w V_1 i u w V_2 takie, że uv nie jest krawędzią w G.(ćw.) Biorąc po 1 końcu każdej krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć v i u, otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|.

Ilustracja u v d(v)=δ V_1 V_2 X

Tw. Mengera (1927) Jeśli istnieje k parami rozłącznych A-B ścieżek, to każdy zbiór wierzchołków rozdzielający A i B musi mieć moc co najmniej k. Tw 1. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V(G). Wtedy najmniejsza moc zbioru wierzchołków rozdzielających A i B równa się największej mocy zbioru rozłącznych A-B ścieżek. Bez dowodu.

Ilustracja V_2 V_1

Tw. Königa raz jeszcze Wniosek 1 : Tw. Königa Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o 2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B ścieżki to skojarzenie.  A B

A i B -- jednoelementowe Dwie u-v ścieżki nazywamy niezależnymi, gdy ich jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce. Wn.2. Niech a i b będą wierzchołkami grafu G. Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego zbioru wierzchołków różnych od a i b, rozdzielającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek. Moc najmniejszego zbioru krawędzi rozdzielających a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

Dowód Wniosku 2 (ćw.) Zastosuj Tw. 1 do A=N(a) i B=N(b)  Zastosuj Tw. 1 do grafu krawędziowego L(G), A=E(a), B=E(b)  a b A B

Globalne Tw. Mengera Tw 2. (Menger, 1927) (i) Graf jest k-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami niezależnych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. (ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami krawędziowo rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

Dowód Tw. 2(i)  Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą parą wierzchołków, to |V(G)|>k i G nie może mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k. Zatem G jest k-spójny.  Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera wierzchołki a i b nie połączone k niezależnymi ścieżkami. .

Dowód Tw. 2(i)  c.d. Z Wniosku 2(i), ab jest krawędzią. Podgraf G’:=G-ab ma co najwyżej k-2 niezależne a-b ścieżki. Ponownie z Wniosku 2(i), istnieje zbiór wierzchołków X mocy |X|<k-1 rozdzielający a i b w G’. Ponieważ |V(G)|>k, to istnieje w G wierzchołek v taki, że

Dowód Tw. 2(i)  dokończenie X rozdziela w G’ wierzchołek v od a lub b (powiedzmy od a). Wtedy X powiększony o b rozdziela w G v i a, co przeczy k-spójności G.  Dowód Tw. 2 (ii) -- ćwiczenia

Ilustracja a b v X