WYKŁAD 8. Siła spójności Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy krawędzią cięcia grafu G, gdy podgraf G-e ma więcej składowych spójności niż G.

Cięcia Mówimy, że zbiór X wierzchołków (krawędzi) grafu G jest cięciem wierzchołkowym (krawędziowym) grafu G, gdy podgraf G-X jest niespójny. Jeśli wierzchołki u i v należą do różnych składowych spójności podgrafu G-X, to mówimy, że cięcie X rozspójnia u i v w G.

Wierzchołki i krawędzie cięcia Jeśli X={v} rozspójnia dwa wierzchołki tej samej składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia. Krawędź, która rozspójnia swoje końce, to krawędź cięcia. Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1-elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe), ale odwrotnie być nie musi (podać kontrprzykład).

k-Spójność Dla k  0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i G nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k. Każdy graf jest 0-spójny. Każdy spójny graf oprócz K_1 jest 1-spójny. Spójny graf G jest 2-spójny, gdy |V(G)|>2 i G nie ma wierzchołka cięcia.

Charakteryzacja grafów 2-spójnych Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go otrzymać z cyklu przez sukcesywne dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma końcami w dotychczasowym grafie, tzn. istnieje ciąg grafów H_1,...,H_l, gdzie H_1 jest cyklem, H_l=G i dla każdego i=2,...,l graf H_i jest sumą H_{i-1} i ścieżki P_i o końcach u_i i v_i takiej, że Dowód na ćw.

Ilustracja H_{i-1} P_i

Stopień spójności Dla k  0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i G nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k. Stopień spójności κ(G) to największa liczba całkowita k taka, że G jest k-spójny. Np. κ(G)=0 gdy G jest niespójny; κ(K_n)=n-1 dla n=1,2,… Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(G) jest mocą najmniejszego cięcia wierzchołkowego w G.

Krawędziowa k-spójność Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy |V(G)|>1 i G nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k. Stopień spójności krawędziowej κ’(G) to największa liczba całkowita k taka, że G jest k- krawędziowo-spójny. Równoważnie, κ’(G) to moc najmniejszego cięcia krawędziowego w G.

Krawędziowa k-spójność a RRD Jeśli G ma k RRD (rozłącznych, rozpiętych drzew), to G jest k-krawędziowo-spójny (oczywiste). Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)

κ(G), κ’(G), δ(G) Twierdzenie (Whitney, 1932) Dowód: Prawa nierówność: Krawędzie incydentne z dowolnym wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe. Lewa nierówność: Jeśli G=K_n, to κ(G)=κ’(G)=n-1.

Lewa nierówność – c.d. W grafie G nie będącym grafem pełnym niech X będzie najmniejszym cięciem krawędziowym. X można traktować jako zbiór krawędzi dwudzielnego podgrafu grafu G z 2-podziałem V_1, V_2=V(G)-V_1. Każda krawędź grafu G pomiędzy V_1 i V_2 należy do X. V_1 V_2 X

Lewa nierówność – dokończenie Ponieważ G nie jest pełny a |X| = κ’(G)  δ(G) , to istnieją u w V_1 i v w V_2 takie, że uv nie jest krawędzią w G. (ćw.) Biorąc po 1 końcu każdej krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć u i v, otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozspójniające u i v) mocy nie większej niż |X|.

Ilustracja v u d(u)=δ V_1 V_2 X

Niezależne ścieżki Dwie u-v ścieżki (czyli ścieżki z u do v) nazywamy niezależnymi, gdy ich jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce u i v. Jeśli istnieje k parami niezależnych u-v ścieżek, to każde cięcie wierzchołkowe rozspójniające u i v musi mieć moc co najmniej k.

Tw. Mengera dla pary wierzchołków Tw.1 (Menger, 1927). Niech a i b będą wierzchołkami grafu G. Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego cięcia wierzchołkowego, rozspójniającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek. Moc najmniejszego cięcia krawędziowego rozspójniającego a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

Globalne Tw. Mengera Tw 2. (Menger, 1927) (i) Graf jest k-spójny (tzn.|V(G)|>k i G nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k) wgdy zawiera co najmniej k parami niezależnych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. (ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny (tzn. |V(G)|>1 i G nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k) wgdy zawiera co najmniej k parami krawędziowo rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

Dowód Tw. 2(i)  Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą parą wierzchołków, to |V(G)|>k i G nie może mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k. Zatem G jest k-spójny.  Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera wierzchołki a i b nie połączone k niezależnymi ścieżkami. .

Dowód Tw. 2(i)  c.d. Z Twierdzenia 1(i), ab jest krawędzią. Podgraf G’:=G-ab ma co najwyżej k-2 niezależne a-b ścieżki. Ponownie z Twierdzenia 1(i), istnieje cięcie wierzchołkowe X mocy |X| k-2 rozspójniające a i b w G’. Ponieważ |V(G)| k+1, to istnieje w G wierzchołek v taki, że

Dowód Tw. 2(i)  dokończenie X rozspójnia w G’ wierzchołki v i a lub b (powiedzmy a). Wtedy zbiór X powiększony o b rozspójnia w G v i a, co przeczy k-spójności G.  Dowód Tw. 2 (ii) – ćwiczenia!

Ilustracja a b v X

A-B ścieżki i zbiory rozdzielające A,B – dowolne podzbiory V(G) Ścieżkę P w grafie G o końcach a i b nazywamy A-B ścieżką, gdy Mówimy, że zbiór wierzchołków X grafu G rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera wierzchołek z X.

Ilustracja A B X

Tw. Mengera (1927) Tw 3. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V(G). Wtedy moc najmniejszego zbioru rozdzielającego A i B równa się mocy największego zbioru rozłącznych A-B ścieżek. Bez dowodu.

Ilustracja V_2 V_1

Tw. Mengera dla pary wierzchołków Tw.1 (Menger, 1927). Niech a i b będą wierzchołkami grafu G. Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego cięcia wierzchołkowego, rozspójniającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek. Moc najmniejszego cięcia krawędziowego rozspójniającego a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

Dowód Tw. 1 (ćw.) Zastosuj Tw. 3 do A=N(a) i B=N(b)  Zastosuj Tw. 3 do grafu krawędziowego L(G), A=E(a), B=E(b)  a b A B

Tw. Königa raz jeszcze Wniosek 1 : Tw. Königa Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o 2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B ścieżki to skojarzenie.  A B