WYKŁAD 4. Skojarzenia Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych konców). Skojarzenie M w G traktujemy jak podgraf G. Wierzchołki w V(M) nazywamy M-nasyconymi. α(G) – moc największego skojarzenia w G (tutaj moc = liczba krawędzi).

Graf krawędziowy Graf krawędziowy danego grafu G to L(G)=(V,E), gdzie V=E(G), a E składa się ze wszystkich par przecinających się krawędzi grafu G. Zatem α(G) =α(L(G)).

L(G) ac ab ad be de df dg ef Ilustracja ab c de f g G

Ścieżki powiększające Dane jest skojarzenie M w grafie G. Ścieżka powiększająca M w G ma końce poza V(M), a co drugą krawędź w M. Twierdzenie (Berge, 1957) Skojarzenie M w grafie G ma moc |M|= α(G) (tzn. jest największe) wgdy w G nie ma ścieżki powiększającej M.

Dowód Tw. Bergea M M M,M – skojarzenia w G, |M|<|M|; spójrzmy na MΔM ścieżka powiększająca M (jej końce nie należą do M)

Skojarzenia doskonałe Skojarzenie M w grafie G nazywamy doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2. Warunek konieczny: n=|V(G)| -- parzyste. Składowa (spójności) – maksymalny podgraf spójny (każde dwie składowe grafu G są wierzchołkowo rozłączne).

Graf Petersena A B C D E F G H I J

A B

A B

Warunek Tuttea |S|=2, 4 składowe nieparzyste w G-S – nie istnieje skojarzenie doskonałe. q(G) – liczba nieparzystych składowych S

Warunek Tuttea Warunek (konieczny) Tuttea:

Tw. Tuttea Twierdzenie (Tutte, 1947) G ma skojarzenie doskonałe wgdy zachodzi warunek Tuttea.

Dowód tw. Tuttea (1) Przypuśćmy, że istnieje graf, który spełnia warunek Tuttea, ale nie ma skojarzenia doskonałego. Niech G będzie takim grafem o największej liczbie krawędzi. Dodanie dowolnej krawędzi do G nie narusza warunku Tuttea (dlaczego?), więc musi prowadzić do pojawienia się skojarzenia doskonałego.

Dowód tw. Tuttea (2) K – zbiór wierzchołków o stopniu n-1 G=G-K Pokażemy, że w G wszystkie składowe są grafami pełnymi. Wtedy, ponieważ q(G) |K|, G będzie mieć skojarzenie doskonałe – sprzeczność.

Dowód tw. Tuttea (3) Przypuśćmy, że pewna składowa grafu G nie jest pełna, a więc istnieją w niej a,b,c takie, że ab i bc są krawędziami a ac nie. Ponieważ b nie należy do K, to istnieje wierzchołek d taki, że bd nie jest krawędzią. Niech M_1 będzie skojarzeniem doskonałym w G+ac, a M_2 w G+bd. Oczywiście, ac jest w M_1, a bd w M_2.

Dowód tw. Tuttea (4) Poprowadźmy w G maksymalną ścieżkę P wychodzącą z d i na przemian zawierającą krawędzie z M_1 i M_2. P kończy się w b krawędzią z M_1 (przypadek 1.) LUB w a lub c krawędzią z M_2 (przypadek 2.), bo w przeciwnym razie można by P kontynuować. W przypadku 1., C =P+bd jest parzystym cyklem z co drugą krawędzią w M_2, a jedyną krawędzią w C poza G jest bd (która jest w M_2). Zastępując w M_2 krawędzie z C, tymi z C-M_2, otrzymujemy skojarzenie doskonałe w G – sprzeczność.

Ilustracja do 1. przypadku ab cd C jest skojarzeniem doskonałym w G - sprzeczność

Dowód tw. Tuttea (5) W przypadku 2., P kończy się krawędzią z M_2. Przyjmijmy, że jej ostatnim wierzchołkiem jest a. C =P+ab+bd jest parzystym cyklem o tej samej własności co poprzednio. Ponownie, zastępując w M_2 krawędzie z C, tymi z C-M_2, otrzymujemy skojarzenie doskonałe w G – sprzeczność.

ab cd C=d...abd jest skojarzeniem doskonałym w G - sprzeczność Ilustracja do 2. przypadku

Wniosek – Tw. Petersena Most (krawędź cięcia) to taka krawędź e, że G-e ma więcej składowych niż G. Np. Petersen (1891) Każdy 3-regularny graf bez mostów ma skojarzenie doskonałe. (dowód na ćwiczeniach)