WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Sympleksy n=2.
Advertisements

Materiały pomocnicze do wykładu
Wycinanki - składanki czyli o mierze inaczej.
DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska.
Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G)
Zadania przygotowawcze na egzamin
Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania
ALGORYTMY GRAFOWE.
Grażyna Mirkowska PJWSTK 15 listopad 2000
Wykład 10 Metody Analizy Programów Specyfikacja Struktur Danych
Grafy inaczej, czyli inne modele grafów
Kolorowanie grafów Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem nieskierowanym bez pętli. Kolorowaniem wierzchołków grafu nazywa się przypisanie wierzchołkom.
Homologia, Rozdział I „Przegląd” Homologia, Rozdział 1.
WYKŁAD 6. Kolorowanie krawędzi
ELEMENTY TEORII GRAFÓW
Wykład 6 Najkrótsza ścieżka w grafie z jednym źródłem
Minimalne drzewa rozpinające
Temat: WIELOŚCIANY KLASA III P r.
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
Twierdzenie Thevenina-Nortona
Ciągi de Bruijna generowanie, własności
-skeletony w przestrzeniach R 2 i R 3 Mirosław Kowaluk Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski.
WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy
WYKŁAD 2. Kolorowanie wierzchołków
WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.
WYKŁAD 4. Skojarzenia Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych konców). Skojarzenie M w G traktujemy jak podgraf.
WYKŁAD 8. Siła spójności Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy.
WĘDRÓWKI PO GRAFACH Obchody Eulera Cykle Hamiltona.
WYKŁAD 8. Siła spójności A,B – dowolne podzbiory V(G)
KOLOROWANIE MAP.
WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne
GRAFY PLANARNE To grafy, które można narysować na płaszczyźnie tak, by krawędzie nie przecinały się (poza swoimi końcami). Na przykład K_4, ale nie K_5.
WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy
WYKŁAD 4. Skojarzenia Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych konców). Skojarzenie M w G traktujemy jak podgraf G.
Analiza Matematyczna część 2
Dariusz Odejewski Krzysztof Wójcik
Teoretyczne podstawy informatyki
12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 11 Elementy Kombinatoryki.
Elementy Kombinatoryki (c.d.)
Macierz incydencji Macierzą incydencji grafu skierowanego D = (V, A), gdzie V = {1, ..., n} oraz A = {a1, ..., am}, nazywamy macierz I(D) = [aij]i=1,...,n,
Algorytmy grafowe Reprezentacja w pamięci
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja.
Minimalne drzewa rozpinające
Przepływy w sieciach. Twierdzenie minimaksowe.
SKIEROWANE Marek Bil Krzysztof Fitrzyk Krzysztof Godek.
Graf - jest to zbiór wierzchołków, który na rysunku przedstawiamy za pomocą kropek oraz krawędzi łączących wierzchołki. Czasami dopuszcza się krawędzie.
Algorytmy i struktury danych
Reprezentacja grafów i operacje na grafach na przykładzie algorytmu Dijkstry i algorytmu na odnajdywanie Silnych Spójnych Składowych Temat Opracowali:
Rodzaje, przechodzenie grafu
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI PRZESTRZENI
Opracowała: Iwona Kowalik
Algorytmy i Struktury Danych
PLANARNOŚĆ i KOLOROWANIE MAP. Problem Jaka jest minimalna liczba kolorów, za pomocą których można pokolorować obszary województw na mapie Polski tak,
Algorytmy i Struktury Danych Grafy
Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych
WĘDRÓWKI PO GRAFACH Obchody Eulera Cykle Hamiltona.
Algorytmy grafowe Minimalne drzewa rozpinające
GRA CHOMP. Czym jest chomp? Jest to gra dla dwóch osób, rozgrywana na prostokątnej tablicy, zwanej „tabliczką czekolady”
WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α’(G) – moc największego skojarzenia.
Autor: Michał Salewski
METODY NUMERYCZNE Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych
Grafy.
Zarządzanie projektami
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów
Zagadnienia transportowe Katedra Ekonomiki i Funkcjonowania Przedsiębiorstw Transportowych.
Działania na grafach Autor: Anna Targońska.
Algorytmy i struktury danych
Obwody elektryczne wykład z 14.12
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
Zapis prezentacji:

WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką (będącą podgrafem danego grafu). (ćw) Ścieżka to graf postaci: V={v_1,...v_k}, E={v_1v_2,...,v_{k-1}v_k}. Wierzchołki v_1 i v_k to końce ścieżki.

Składowe spójności Relacja ,,być połączonymi ścieżką” (tzn. być końcami ścieżki) jest relacją równoważności (zwrotna, symetryczna, przechodnia). (ćw) Klasy abstrakcji tej relacji indukują składowe spójności grafu. Inaczej, składowe spójności to maksymalne podgrafy spójne.

Wierzchołki i krawędzie cięcia Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy krawędzią cięcia grafu G, gdy podgraf G-e ma więcej składowych spójności niż G. Wniosek: Krawędź e jest krawędzią cięcia grafu G, wgdy nie leży na żadnym cyklu w G. (ćw)

Minimalne grafy spójne Ile najmniej krawędzi ma graf spójny G? Jeśli G ma cykl, to można z niego usunąć dowolną krawędź bez rozspójniania G. Wiemy, że jeśli e(G)>n-1, to G zawiera cykl (ćw). Stąd, G ma co najwyżej n-1 krawędzi. Wiemy też, że istnieje ciąg v_1,...,v_n taki, że dla każdego i istnieje j>i takie, że v_iv_j jest krawędzią (patrz: algorytm zachłanny). Zatem e(G)=n-1.

Drzewa, lasy, liście Drzewo to graf spójny bez cykli (a więc, minimalny graf spójny). Las to graf acykliczny (a więc, rozłączna suma drzew). Liść to wierzchołek wiszący drzewa. Fakt: Każde drzewo ma co najmniej dwa liście. Dowód: Spójrz na końce najdłuższej ścieżki.

Własności drzew Tw. Dla spójnego grafu G, następujące warunki są równoważne: T jest drzewem; e(T)=n-1; każde 2 wierzchołki są połączone dokładnie 1 ścieżką; każda krawędź jest krawędzią cięcia; dla dowolnej krawędzi e nie należącej do G, graf G+e ma dokładnie 1 cykl.

Drzewa rozpięte Drzewo rozpięte w grafie G, to podgraf T taki, że V(T)=V(G) i T jest drzewem. Każdy graf spójny zawiera przynajmniej 1 rozpięte drzewo. Graf pełny K_n ma ich n^{n-2} (Cayley, 1889)

Rozłączne rozpięte drzewa Lepszą miarą spójności grafu jest maksymalna liczba rozłącznych rozpiętych drzew (RRD). Jeśli G ma k RRD, to Nie jest to jednak warunek dostateczny !

Ilustracja 1 v=5 e=8 k=2

Ilustracja 2 v=7 e=12 k=2 ? A A v=3 e=3 k=1

Dziel i ściągaj ! Dla danego podziału Π definiujemy multigraf G(Π)=(W,F), gdzie W={1,2...,l}, a krotność krawędzi ij jest liczbą e(V_i,V_j) wszystkich krawędzi z V_i do V_j

Ilustracja G a b Π: {{a,d},{b,e},{c}} c c ad be G(Π) e d

Tw. Nash-Williamsa Jeśli G jest spójny, to G(Π) też. (ćw) Stąd, jeśli G ma k RRD T_1,...,T_k, to Tw. (Nash-Williams, 1961) G ma co najmniej k RRD wgdy powyższa nierówność zachodzi dla wszystkich podziałów Π zbioru V(G) na niepuste podzbiory. (Bez dowodu)

Odległości w grafie Odległość d_G(u,v) między wierzchołkami u i v w spójnym grafie G to długość najkrótszej ścieżki łączącej u i v. Odległość wierzchołków jest metryką (ćw) Średnicą diam(G) grafu G nazywamy największą odległość w G. Np. diam(K_n)=1, diam(C_{2n})=n, diam(P_n)=n-1 Ale diam(K_n-e)=diam(K_{1,n})=2

Zastosowanie średnicy grafu W pewnym kraju n miast ma lotniska. Każde lotnisko może mieć nie więcej niż k bezpośrednich połączeń z innymi, a przynajmniej jedno ma ich mieć dokładnie k. Chcemy optymalnie zaprojektować siatkę połączeń, by żadna podróż nie wymagała więcej niż d-1 przesiadek. Jest to więc pytanie o

Przypadek d=2, k>n-6 e_2(n,n-1)=n-1 (weź G=K_{1,n-1}) Tw. Dla n>12 e_2(n,n-2)=e_2(n,n-5)=2n-4 e_2(n,n-3)=e_2(n,n-4)=2n-5 Dowód (k=n-2): Graf K_{2,n-2} daje oszacowanie z góry. Oszacowanie z dołu na ćwiczeniach.