WYKŁAD 7. Spójność i rozpięte drzewa Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką (będącą podgrafem danego grafu). (ćw) Ścieżka to graf postaci: V={v_1,...v_k}, E={v_1v_2,...,v_{k-1}v_k}. Wierzchołki v_1 i v_k to końce ścieżki.

Składowe spójności Relacja ,,być połączonymi ścieżką” (tzn. być końcami ścieżki) jest relacją równoważności (zwrotna, symetryczna, przechodnia). (ćw) Klasy abstrakcji tej relacji indukują składowe spójności grafu. Inaczej, składowe spójności to maksymalne podgrafy spójne.

Wierzchołki i krawędzie cięcia Wierzchołek v nazywamy wierzchołkiem cięcia grafu G, gdy podgraf G-v ma więcej składowych spójności niż G. Krawędź e nazywamy krawędzią cięcia grafu G, gdy podgraf G-e ma więcej składowych spójności niż G. Wniosek: Krawędź e jest krawędzią cięcia grafu G, wgdy nie leży na żadnym cyklu w G. (ćw)

Minimalne grafy spójne Ile najmniej krawędzi ma graf spójny G? Jeśli G ma cykl, to można z niego usunąć dowolną krawędź bez rozspójniania G. Wiemy, że jeśli e(G)>n-1, to G zawiera cykl (ćw). Stąd, G ma co najwyżej n-1 krawędzi. Wiemy też, że istnieje ciąg v_1,...,v_n taki, że dla każdego i istnieje j>i takie, że v_iv_j jest krawędzią (patrz: algorytm zachłanny). Zatem e(G)=n-1.

Drzewa, lasy, liście Drzewo to graf spójny bez cykli (a więc, minimalny graf spójny). Las to graf acykliczny (a więc, rozłączna suma drzew). Liść to wierzchołek wiszący drzewa. Fakt: Każde drzewo ma co najmniej dwa liście. Dowód: Spójrz na końce najdłuższej ścieżki.

Własności drzew Tw. Dla spójnego grafu G, następujące warunki są równoważne: T jest drzewem; e(T)=n-1; każde 2 wierzchołki są połączone dokładnie 1 ścieżką; każda krawędź jest krawędzią cięcia; dla dowolnej krawędzi e nie należącej do G, graf G+e ma dokładnie 1 cykl.

Drzewa rozpięte Drzewo rozpięte w grafie G, to podgraf T taki, że V(T)=V(G) i T jest drzewem. Każdy graf spójny zawiera przynajmniej 1 rozpięte drzewo. Graf pełny K_n ma ich n^{n-2} (Cayley, 1889)

Rozłączne rozpięte drzewa Lepszą miarą spójności grafu jest maksymalna liczba rozłącznych rozpiętych drzew (RRD). Jeśli G ma k RRD, to Nie jest to jednak warunek dostateczny !

Ilustracja 1 v=5 e=8 k=2

Ilustracja 2 v=7 e=12 k=2 ? A A v=3 e=3 k=1

Dziel i ściągaj ! Dla danego podziału Π definiujemy multigraf G(Π)=(W,F), gdzie W={1,2...,l}, a krotność krawędzi ij jest liczbą e(V_i,V_j) wszystkich krawędzi z V_i do V_j

Ilustracja G a b Π: {{a,d},{b,e},{c}} c c ad be G(Π) e d

Tw. Nash-Williamsa Jeśli G jest spójny, to G(Π) też. (ćw) Stąd, jeśli G ma k RRD T_1,...,T_k, to Tw. (Nash-Williams, 1961) G ma co najmniej k RRD wgdy powyższa nierówność zachodzi dla wszystkich podziałów Π zbioru V(G) na niepuste podzbiory. (Bez dowodu)

Odległości w grafie Odległość d_G(u,v) między wierzchołkami u i v w spójnym grafie G to długość najkrótszej ścieżki łączącej u i v. Odległość wierzchołków jest metryką (ćw) Średnicą diam(G) grafu G nazywamy największą odległość w G. Np. diam(K_n)=1, diam(C_{2n})=n, diam(P_n)=n-1 Ale diam(K_n-e)=diam(K_{1,n})=2

Zastosowanie średnicy grafu W pewnym kraju n miast ma lotniska. Każde lotnisko może mieć nie więcej niż k bezpośrednich połączeń z innymi, a przynajmniej jedno ma ich mieć dokładnie k. Chcemy optymalnie zaprojektować siatkę połączeń, by żadna podróż nie wymagała więcej niż d-1 przesiadek. Jest to więc pytanie o

Przypadek d=2, k>n-6 e_2(n,n-1)=n-1 (weź G=K_{1,n-1}) Tw. Dla n>12 e_2(n,n-2)=e_2(n,n-5)=2n-4 e_2(n,n-3)=e_2(n,n-4)=2n-5 Dowód (k=n-2): Graf K_{2,n-2} daje oszacowanie z góry. Oszacowanie z dołu na ćwiczeniach.