Dwie sprawy wymagające wyjaśnienia: Analogowa i cyfrowa reprezentacja informacji, Obliczenia analogowe i cyfrowe. Czy obliczenie musi koniecznie przebiegać w jakichś krokach ? Jeżeli już istotnie przebiega ‘krokowo’, to jakie elementarne kroki są dopuszczalne? Model obliczeń sekwencyjnych, Maszyna Turinga, Hipoteza Churcha-Turinga, Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Analogowa i cyfrowa reprezentacja informacji Wstęp do Informatyki, część 3

Reprezentowanie informacji Potrzeby: Zapisywanie, przechowywanie, wyszukiwanie, odtwarzanie, Przesyłanie, rozpowszechnianie, Przetwarzanie. Stąd: Metody, Nośniki, kanały, Urządzenia. Analogowe (ciągłe, proporcjonalne) Cyfrowe (nieciągłe, dyskretne) Informatyka Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Reprezentacja analogowa (ciągła, proporcjonalna) proporcjonalność Oryginał Analog Liniowe odwzorowanie Inna wielkość fizyczna Mierzalna wielkość fizyczna Przechowywanie, przetwarzanie, przesyłanie itd. Odwzorowanie odwrotne Wynik (analogowy Wynikowa wielkość fizyczna odtwarzanie Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

‘Nie-elektroniczne’ obliczenia analogowe w życiu codziennym Domowe pomiary i obliczenia przy użyciu sznurka, Szkolne techniki typu ‘cyrkiel + linijka’, Mapa, globus, Waga uchylna (lub szalkowa bez odważników), Różne wykresy i nomogramy, Pantograf (powiększanie rysunków), Suwak logarytmiczny, .... Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Wynalazek Edisona jako reprezentacja analogowa Zmienne w czasie ciśnienie akustyczne Głębokość rowka Postulowana proporcjonalność (liniowość) ...ideał osiągalny w praktyce jedynie w przybliżeniu Oryginał Analog Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Analogowe przesyłanie dźwięku (Alexander G. Bell) Sygnał akustyczny Sygnał elektryczny Sygnał akustyczny Wzmacniacz Te same typowe problemy Jakie fizyczne zasady przekształcania ? Jak zapewnić dokładność przekształcania (czułość, szum) ? Jak zapewnić liniowość odwzorowania ? Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Analogowy pomiar prędkości obrotowej min Wał obrotowy maszyny parowej max Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Analogowa regulacja prędkości obrotowej (James Watt) min Silnik parowy max Dopływ pary Sprzężenie zwrotne, zagadnienie stabilności Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sygnały i analogowa elektronika Sygnały: zmienne w czasie wielkości fizyczne: Czujniki (sensory) Nieelektryczne: Prędkość, Masa, Temperatura, Wilgotność, Ciśnienie, Stężenie (pewnej substancji) Itd. Analogowe wielkości elektryczne: Napięcie, Natężenie prądu, Natężenie pola Indukcja magn. Itd. Elementy wykonawcze Elektryczne: Napięcie, natężenie prądu, Oporność, pojemność, ... Natężenie pola elektromagn. itd. Sygnały biomedyczne, radarowe, geo- i astrofizyczne, itd. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sygnały i analogowa elektronika Sygnały: zmienne w czasie wielkości fizyczne: Czujniki (sensory) Nieelektryczne: Prędkość, Masa, Temperatura, Wilgotność, Ciśnienie, Stężenie (pewnej substancji) Itd. Analogowe wielkości elektryczne: Napięcie, Natężenie prądu, Natężenie pola Indukcja magn. Itd. Elementy wykonawcze Elektryczne: Napięcie, natężenie prądu, Oporność, pojemność, ... Natężenie pola elektromagn. itd. Wspólna baza koncepcyjna i technologiczna Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Analogowa elektronika Uniwersalne metody i układy do celów: Rejestracji (zapamiętywanie i odtwarzanie), Przesyłania, Wizualizacji, Przetwarzania: Wzmacnianie Sumowanie Całkowanie Różniczkowanie Modulacja i demodulacja Automatyczna regulacja .... Typowe, wspólne problemy: dokładność, szum, liniowość, stabilność, a także: szybkość, niezawodność, pobór mocy Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Reprezentacja cyfrowa (nieciągła, dyskretna) Określony jest alfabet danego sposobu reprezentacji, Alfabet ::= co najmniej dwuelementowy, skończony zbiór symboli, Symbole – atomowe (elementarne, niepodzielne), Wszelkie informacje (dane, wyrażenia, instrukcje, ...) są ciągami (sekwencjami) złożonymi z symboli tego alfabetu, Przetwarzanie ::= przekształcanie sekwencji symboli w nowe sekwencje symboli. Ponieważ dane są ciągami – przetwarzanie również ma postać ciągu kroków. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

{I, V, X, L, C, D, M} – do liczb rzymskich, Przykłady alfabetów {0, 1, 2, ...., 9, + -, .} – trzynastoelementowy alfabet do reprezentowania liczb arabskich, {I, V, X, L, C, D, M} – do liczb rzymskich, 26 – literowy alfabet łaciński (antiqua, duże litery), (2 x 35) – literowe ‘abecadło’ polskie (litery duże i małe), 123 – znakowy (wliczając spację, ale nie znaki sterujące) alfabet polskiej klawiatury PC, Alfabet pisma klinowego, hieroglificznego egipskiego, cyrylica, alfabet hebrajski, gruziński, tajski ... i zapewne parę tysięcy innych, Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Ale także pełnoprawnymi alfabetami są: Przykłady alfabetów Ale także pełnoprawnymi alfabetami są: { |, >, * } – alfabet do przedstawiania stopni podoficerskich i oficerskich w polskim wojskach lądowych, np. | | - kapral, > - sierżant, * * * | | - pułkownik, itd. {czerwone, żółte, zielone} – do sygnalizacji ulicznej, np. ‘wyrazy’ poprawne ‘wyrazy’ niepoprawne Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

.... I oczywiście reprezentacja dwójkowa (binarna) Najprostszy alfabet np. {0, 1}, {L, H}, {tak, nie}, {+, -}, Najmniejsza niepewność przy zapamiętywaniu i odtwarzaniu informacji, Najprostsza realizacja techniczna (elementarne układy dwustanowe, a nie wielo-stanowe), Gotowe i czekające od stuleci koncepcyjne narzędzie do opisu, analizy i syntezy: logika dwuwartościowa. Arystoteles – V wiek p.n.e, W średniowieczu i czasach nowożytnych – nauka o zasadach poprawnego formułowania myśli i poprawnego wnioskowania, George Boole: 1856 – algebra Boole’a Claude Shannon: 1938 – o zastosowaniu algebry Boole’a do syntezy układów przekaźnikowych, (Później, w 1948 r., wspólnie z Christopherem Weaverem – matematyczna ‘teoria komunikacji’). Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Alfabet, składnia, semantyka Oprócz alfabetu muszą być określone są: Składnia (reguły rządzące budową poprawnych sekwencji), Semantyka (reguły określające znaczenie poprawnych sekwencji). Np. A – alfabet łaciński (ze spacją), ‘Ala ma kota’ – ciąg składniowo poprawny (w języku polskim), ‘Ala ma kota’ – ciąg składniowo niepoprawny (w języku angielskim), ‘Ala am kota’ – ciąg niepoprawny (w języku polskim), (Względy leksykalne) ‘Ala ma siedzi’ – ciąg niepoprawny (w języku polskim), (Względy składniowe) Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

leksykalnie niepoprawne Dalsze przykłady leksykalnie poprawne leksykalnie niepoprawne Poprawna ‘wypowiedź’ świateł ulicznych cykl ‘wypowiedź’ składniowo niepoprawna Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Zbiór A*, język, gramatyka Dany pewien alfabet A, A* - zbiór nad alfabetem A, A* A* jest zbiorem wszystkich możliwych (skończonych) ciągów, które dają się utworzyć z symboli należących do A, A* jest zbiorem nieskończonym, przeliczalnym, L Każdy podzbiór L  A*, jest językiem, ... być może nieskończonym, gramatyka Jak przy pomocy skończonej liczby reguł opisać zasady generowania poprawnych sekwencji, rozpoznawania, czy dana sekwencja jest poprawna. Lingwistyka matematyczna Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sygnały i analogowa elektronika Sygnały: zmienne w czasie wielkości fizyczne: Czujniki (sensory) Nieelektryczne: Prędkość, Masa, Temperatura, Wilgotność, Ciśnienie, Stężenie (pewnej substancji) Itd. Analogowe wielkości elektryczne: Napięcie, Natężenie prądu, Natężenie pola Indukcja magn. Itd. Elementy wykonawcze Elektryczne: Napięcie, natężenie prądu, Oporność, pojemność, ... Natężenie pola elektromagn. itd. Wspólna baza koncepcyjna i technologiczna Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Sygnały: zmienne w czasie, ciągłe wielkości fizyczne: Czujniki (sensory) Analogowe wielkości elektryczne Konwersja AC Nieelektryczne Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Elementy wykonawcze Elektryczne Konwersja CA Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Konwersja A-C (ang. A-D, Analog to Digital) u(t) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 umin umax  Konieczna dyskretyzacja: w czasie = próbkowanie (sampling), co stały czas , na osi wartości – z założoną dokładnością. Tutaj – sekwencja: 5, 6, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 3,.... z dokładnością ±10% Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Potencjalne zniekształcenie konwersji u(t) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 umin umax  Odtworzony z powrotem sygnał 5, 6, 7, 8, 8, 7, 5, 3, 3,.... Trzeba zapewnić właściwą dyskretyzację zarówno ‘w pionie’, jak ‘w poziomie’. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Dyskretyzacja ‘w pionie’ i ‘w poziomie’ ‘W pionie’: zejść poniżej progu dokładności źródła sygnału lub czułości odbiorcy sygnału, Podział na 1000 poziomów – dokładność 0.1%, Konwersja 8 - bitowa – dokładność 1/256 = ok. 0.4%, Konwersja 16–bitowa – dokładność 2-16 = ok. 0.0015 % , Itd. ‘W poziomie’ – próbkowanie – okazuje się, że Przy odpowiednio małym czasie próbkowania  można nie ponieść dokładnie żadnej straty informacji. Twierdzenie o próbkowaniu (Shannona – Kotielnikowa) Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

y(t) = a*sin(2*f*t + ) Sinusoida Czas [s], zmienna niezależna Przesunięcie fazy [stopnie] Amplituda Częstotliwość [1/s], [Hz] Okres T=1/f [s] Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sumowanie sinusoid 1 1 2 a f [Hz]  [stop] 1 0.5 1000 2 0.2 5000 2 0.2 5000 1 1 2 Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sumowanie dwóch sinusoid Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sumowanie sinusoid, c.d. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Suma sześciu sinusoid Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Przekształcenie Fouriera (J. B. Joseph Fourier, 1768 -- 1830) Każdy przebieg okresowy da się przedstawić jako suma (być może nieskończona) przebiegów sinusoidalnych), Przebieg okresowy Przekształcenie (Transformata) Fouriera ‘Wykaz’ ‘uczestniczących’ sinusoid FFT - Fast Fourier Transform, DFT – Discrete Fourier Transform, Widmo (spectrum) Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Widmo modułu i fazy (zasada) Jedna sinusoida y(t) = a*sin(2*f*t + ) log log f a Moduł a a Częstotliwość f f   +1800 Przesunięcie fazy Częstotliwość f -1800 Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Twierdzenie o próbkowaniu (Shannon – Kotielnikow) Jeśli najszybciej zmienna sinusoidalna składowa sygnału ma częstotliwość fmax, To przy próbkowaniu z częstotliwością nie mniejszą niż 2fmax nie ponosi się straty informacji (na skutek próbkowania), Inaczej: czas próbkowania  1/(2fmax) Np. ludzkie ucho słyszy dźwięki z zakresu częstotliwości 20 – 20 000 Hz, Przyjmuje się częstotliwość próbkowania 46000 Hz. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Przykładowy przebieg prostokątny Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Widmo modułu (liniowa skala częstotliwości !) Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Widmo modułu w skali loglog Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Widmo modułu i fazy Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Pierwsza składowa sinusoida przebiegu prostokątnego Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Suma pierwszych dwóch składowych Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

... Pierwszych pięciu składowych Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

... Pierwszych dziesięciu składowych itd. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Sygnał w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości Dyskretna, ‘szybka’ Widmo sygnału: ‘wykaz’ amplitud i faz 1024 sinusoid FFT 1024 1024 2048 próbek Time domain Frequency domain Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Dyskretyzacja sygnału Była to suma sześciu sinusoid, fmax= 15 000 Hz, stąd częstość próbkowania > 30 000 razy na sekundę,   33 s, Przyjmijmy, że dyskretyzacja ‘w pionie’ jest 12-bitowa (212 = 4096 wartości, dokładność 0.024%, Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Dyskretyzacja sygnału Okres T=1 ms   30 s 110....101 101....011 Ponad 30 liczb 12-bitowych na jeden okres T Strumień bitów do rejestracji i przetwarzania .... Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Pewien paradoks cyfrowej reprezentacji sygnału ciągłego ....1 1 0 1 0 1..... Ciąg bitów, np. ..... ... też musi mieć jakąś fizyczną reprezentację High = 5 V Low = 0 V u(t) t Np. 1 okres zegara Pomiędzy sąsiednimi próbkami musi się zmieścić co najmniej 12 okresów zegara Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Inne formy fizycznej reprezentacji sygnałów dwójkowych u(t) ‘1’ ‘0’ Modulacja amplitudy t u(t) Modulacja częstotliwości t ‘0’ ‘1’ ‘0’ u(t) Modulacja fazy t ‘0’ ‘1’ ‘0’ Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Paradoks cyfrowej reprezentacji sygnału Konwersja AC ? Równie ‘fizyczny’ przebieg, dodatkowo o znacznie większej częstotliwości zmian Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3

Warunek: odpowiednia szybkość konwersji i przetwarzania. ... w zamian – korzyści: Większa odporność na szum i zakłócenia, Możliwość wykorzystania gotowych metod i algorytmów, opracowanych wcześniej dla potrzeb telekomunikacji i informatyki (np. detekcja i korekcja błędów, złożone struktury danych, itd.) Ogromne możliwości algorytmicznego (nie zaś ‘układowego’) przetwarzania, np.: Filtrowanie, Kompresja, Wizualizacja i edycja, Rozpoznawanie, .... Specjalizowane układy i systemy: Karty graficzne, Karty dźwiękowe, Procesory sygnałowe, ... Warunek: odpowiednia szybkość konwersji i przetwarzania. Jerzy Mieścicki, Wstęp do Informatyki, część 3